計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

2010年控制工程基礎(chǔ)

第十章

COMPUTERCONTROLSYSTEM

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的控制規(guī)律是由計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)的10.1計(jì)算機(jī)內(nèi)信號(hào)的處理和傳遞過(guò)程10.2z變換10.3線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述10.4線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析10.5計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的模擬化設(shè)計(jì)方法10.1計(jì)算機(jī)內(nèi)信號(hào)的處理和傳遞過(guò)程輸出反饋計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖表示參考輸入信號(hào)（給定信號(hào)）表示系統(tǒng)的反饋信號(hào)

數(shù)字控制器用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，一般由計(jì)算機(jī)核心硬件、控制算法（或稱控制律，由計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)）、模-數(shù)(A/D)轉(zhuǎn)換器、數(shù)-模(D/A)轉(zhuǎn)換器組成。采樣周期：兩次相鄰采樣之間的時(shí)間，記作。采樣時(shí)刻：把實(shí)測(cè)信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字形式的時(shí)刻。

最常用的是周期性采樣。表示偏差信號(hào)表示控制信號(hào)量化以后的數(shù)字偏差信號(hào)。計(jì)算機(jī)計(jì)算出的數(shù)字控制信號(hào)。由經(jīng)數(shù)-模轉(zhuǎn)換后的離散模擬控制信號(hào)。經(jīng)過(guò)保持器變成的模擬控制信號(hào)。計(jì)算機(jī)內(nèi)信號(hào)的主要處理過(guò)程包括采樣、量化、運(yùn)算和保持。采樣和量化由A/D轉(zhuǎn)換器完成，運(yùn)算在計(jì)算機(jī)的CPU內(nèi)進(jìn)行，而計(jì)算機(jī)輸出信號(hào)經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換器通常在采樣間隔內(nèi)保持不變。采樣

采樣：指每隔一定的時(shí)間間隔把連續(xù)信號(hào)抽樣成采樣信號(hào)的過(guò)程。理想采樣器：理想采樣器是一種數(shù)學(xué)抽象。單位脈沖序列：理想采樣器圖示采樣示意圖采樣信號(hào)可以看成是和的乘積。在時(shí)刻的脈沖沖量為，而表示出脈沖發(fā)生的時(shí)刻。采樣周期應(yīng)該滿足采樣定理，否則會(huì)發(fā)生混疊現(xiàn)象。采樣定理：采樣頻率要高于信號(hào)中最高頻率的2倍。

乃奎斯特頻率:C.Shannon(1916-2001)MIT教授，信息論創(chuàng)始人連續(xù)信號(hào)與采樣信號(hào)的頻譜量化：把離散模擬信號(hào)轉(zhuǎn)變成數(shù)字信號(hào)的過(guò)程。量化精度取決于A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)n。當(dāng)位數(shù)足夠多時(shí)，轉(zhuǎn)換可以達(dá)到足夠高的精度。量化單位：量化

其中，分別表示轉(zhuǎn)換器輸入的最大值和最小值。量化誤差：保持器

保持：把離散模擬信號(hào)轉(zhuǎn)變成模擬信號(hào)的過(guò)程。

保持器：實(shí)現(xiàn)保持作用的電路。保持器起外推器的作用，根據(jù)過(guò)去時(shí)刻的離散值，外推出采樣點(diǎn)之間的數(shù)值。

零階保持器(ZeroOrderHolder，縮寫(xiě)ZOH)

把時(shí)刻的信號(hào)一直保持到時(shí)刻前的瞬間，其外推公式為零階保持器的單位脈沖響應(yīng)零階保持器的傳遞函數(shù)零階保持器的頻率特性零階保持器的幅頻特性和相頻特性零階保持器具有低通特性和相角滯后特性。由于數(shù)字信號(hào)所固有的時(shí)間上離散、幅值上量化的效應(yīng)，從而使得計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)在本質(zhì)上有許多不相同的性質(zhì)。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中包含有數(shù)字環(huán)節(jié)，即是典型的數(shù)字控制系統(tǒng)，對(duì)時(shí)變非線性的數(shù)字環(huán)節(jié)進(jìn)行嚴(yán)格的分析十分困難。若忽略數(shù)字信號(hào)的量化效應(yīng)，則計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)可看成是采樣控制系統(tǒng)。

把執(zhí)行器、被控對(duì)象用傳遞函數(shù)來(lái)表示，A/D轉(zhuǎn)換器表示成一個(gè)理想的采樣器，D/A轉(zhuǎn)換器表示為一個(gè)采樣器后接零階保持器的理想采樣保持電路，計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)的算法用表示。在線性離散系統(tǒng)中，可以對(duì)采樣信號(hào)作拉氏變換，采樣信號(hào)表達(dá)式為

令，則稱為的離散拉氏變換。一般稱

為離散時(shí)間序列的z變換。是復(fù)變量的函數(shù)。10.2z變換典型信號(hào)的z變換（1）單位脈沖時(shí)間序列則延遲的單位脈沖時(shí)間序列

則（2）單位階躍時(shí)間序列

（3）單位斜坡時(shí)間序列

（4）衰減指數(shù)序列（5）指數(shù)序列z變換的性質(zhì)設(shè)(1)

線性性質(zhì)z變換是一種線性變換，即(2)

滯后性質(zhì)設(shè)時(shí)，則滯后步序列的z變換為

代表滯后（延遲）環(huán)節(jié)，表示把信號(hào)延遲個(gè)采樣周期。(3)

超前性質(zhì)超前步序列的z變換為

代表超前環(huán)節(jié)，表示輸出信號(hào)超前輸入信

號(hào)個(gè)采樣周期。(4)

象函數(shù)尺度變化規(guī)則(5)初值定理(6)終值定理(7)卷積定理

一些典型時(shí)間序列的Z變換可以由查表得到。(2)由Z變換定義、性質(zhì)和定理可以很方便地求出復(fù)雜函數(shù)的Z變換。由連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉氏變換求相應(yīng)采樣序列的z變換已知連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉氏變換為對(duì)取拉氏反變換得到，按采樣周期對(duì)采樣，得到相應(yīng)采樣序列對(duì)取z變換，得到。記作(1)部分分式法如果已知某函數(shù)的拉式變換，先把它分解為一些基本的部分分式

然后再分別求出其相應(yīng)的原函數(shù)。對(duì)

離散化得，對(duì)求z變換。由z變換的線性性質(zhì)可得例：

對(duì)采樣得因此

(2)留數(shù)計(jì)算法由復(fù)變函數(shù)中留數(shù)定理可知，函數(shù)除有限個(gè)極點(diǎn)外，在某域G內(nèi)是解析的，則C為G內(nèi)的一段封閉積分回路，應(yīng)包含的所有極點(diǎn)。表示函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)。等于在各極點(diǎn)處的留數(shù)之和。留數(shù)的計(jì)算方法因是否有重極點(diǎn)而異。如果在處有階極點(diǎn)，則如果在處只有一階極點(diǎn)，則如果具有個(gè)不同的極點(diǎn)每

個(gè)的階數(shù)為（時(shí)為單極點(diǎn)），則例：已知某連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉氏變換為試用留數(shù)法求相應(yīng)采樣序列的Z變換。解：例：已知某連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉氏變換為試用留數(shù)法求相應(yīng)采樣序列的Z變換。解：2、Z反變換(1)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法）把展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)，的系數(shù)相應(yīng)

于在第個(gè)采樣時(shí)刻的時(shí)間函數(shù)的值。冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法只能得到離散時(shí)間序列的前若干項(xiàng)，得不到序列的數(shù)學(xué)解析式。例

則

(2)部分分式法設(shè)是的有理分式，當(dāng)其實(shí)根是互不相同的情形時(shí)，利用部分分式法求z反變換的步驟為：①展開(kāi)其中②把展開(kāi)式乘以，得：

③反演展開(kāi)式，得：

例：(3)留數(shù)計(jì)算法由留數(shù)定理，得:積分回路C應(yīng)包含被積式中的所有極點(diǎn)。是的極點(diǎn)。等于的各極點(diǎn)留數(shù)之和。如果在處有階極點(diǎn)，則如果在處只有一階極點(diǎn)，則如果具有個(gè)不同的極點(diǎn)

每個(gè)的階數(shù)為（時(shí)為單極點(diǎn)），則例：求的Z反變換。解：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，10.3線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述對(duì)于單輸入單輸出線性離散時(shí)不變系統(tǒng)，人們習(xí)慣用線性常系數(shù)差分方程或脈沖傳遞函數(shù)來(lái)表示。對(duì)于多變量、時(shí)變和非線性系統(tǒng)用狀態(tài)空間方法處理比較方便。

單輸入單輸出線性離散時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以用線性常系數(shù)差分方程描述

上述差分方程為階差分方程。差分方程可寫(xiě)成緊縮算子形式：其中，是引入的后移算子齊次差分方程：差分方程右端各階差分項(xiàng)的系數(shù)均為零。表征線性離散系統(tǒng)在沒(méi)有外界作用的情況下系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)，反映了系統(tǒng)本身的固有特性。非齊次差分方程：差分方程右端各階差分項(xiàng)的系數(shù)不全為零，即包含輸入作用。

解差分方程線性差分方程的解法主要有迭代法、古典法和變換法。1、迭代法已知差分方程和輸入序列，并且給出輸出序列的初始值，就可以利用迭代關(guān)系逐步計(jì)算出所需要的輸出序列。該方法便于計(jì)算機(jī)運(yùn)算，但不能得到數(shù)學(xué)解析式。例：已知差分方程

輸入序列為，初始條件為，試用迭代法求解差分方程。解：逐步以代入差分方程，則有利用迭代法可以得到任意時(shí)刻的輸出序

列。2、古典法線性常系數(shù)差分方程的全解由齊次方程的通解和非齊次方程的特解兩部分組成，即其中特解可用試探法求出，關(guān)鍵在于求出齊次方程的通解。階線性差分方程的特征方程為設(shè)為特征方程的根。根據(jù)特

征根的不同情況，齊次方程的通解形式也不

同。(1)無(wú)重根時(shí)，即，則通解為

式中待定系數(shù)，由的個(gè)初始條件確定。(2)全為重根時(shí)，即，則通解為

式中待定系數(shù)，由的個(gè)初始條件確定。(3)有個(gè)重根，其余的不是重根，即則通解為

其中，為待定系數(shù)。一般情況，假設(shè)是特征方程的重根，那么在通解中相應(yīng)于的部分將有項(xiàng)，即假設(shè)階差分方程的特征方程具有個(gè)不同的根，的階數(shù)為，，則差分方程的通解為

式中待定系數(shù)，

由的個(gè)初始條件確定。從上面討論中，可以歸納出解線性常系數(shù)差分方程的古典法如下：(1)求齊次方程的通解；(2)求非齊次方程的一個(gè)特解；(3)利用個(gè)初始條件或根據(jù)起始條件利用迭代法求出的初始條件確定通解中的個(gè)待定系數(shù)。非齊次方程的特解反映了離散系統(tǒng)在外界

作用下的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。特解用試探法求出，與幾種典型輸入信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解形式如下表輸入信號(hào)輸出響應(yīng)的特解

不是差分方程的特征根

是差分方程的特征根之一相異根次重根例：考慮二階差分方程，求差分方程的解。解：特征方程為特征根為齊次方程的通解為設(shè)特解為，代入方程試探

解得方程的全解為代入初始條件得

因而非齊次差分方程的解為例考慮三階差分方程初始條件為，，，求解差分方程。解：特征方程為其特征根為（二重根）和。這時(shí)，，，。齊次方程的通解為

該差分方程是一個(gè)齊次方程，因此齊次方程的通解也是差分方程的全解代入初始條件，得求出，和。因而

差分方程的全解為3、變換法

在連續(xù)系統(tǒng)中引入拉氏變換使得求解繁雜的微、積分問(wèn)題變成了簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算。在求解差分方程時(shí)，同樣可以用變換法，引入z變換后，可以使求解差分方程變得簡(jiǎn)便。用z變換求解差分方程

利用z變換中的滯后和超前定理，以及已知函數(shù)的z變換，可以求解線性常系數(shù)差分方程的解。它把解差分方程變?yōu)橐詚為變量的代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題?？紤]差分方程：對(duì)差分方程兩邊作z變換：

差分方程的全解由與初始條件有關(guān)的通解和輸入有關(guān)的特解兩部分組成

步驟：對(duì)n階差分方程作z變換將已知初始條件或由迭代法求出的y(0)，y(T)，代入z變換式由z變換式求出Y(z)對(duì)Y(z)取z反變換，得到差分方程的解y(kT)例：用z變換求解差分方程解：對(duì)差分方程兩邊求z變換，得:脈沖傳遞函數(shù)

在初始靜止的條件下，脈沖傳遞函數(shù)是系統(tǒng)輸出脈沖序列的z變換和輸入脈沖序列的z變換之比，即

用脈沖傳遞函數(shù)描述的線性離散系統(tǒng)

在連續(xù)系統(tǒng)中傳遞函數(shù)反映了系統(tǒng)的固有動(dòng)態(tài)特性，僅取決于描述線性連續(xù)系統(tǒng)的微分方程。同樣在離散系統(tǒng)中，脈沖傳遞函數(shù)也反映了系統(tǒng)的固有動(dòng)態(tài)特性，僅取決于描述線性離散系統(tǒng)的差分方程。

對(duì)用如下線性常系數(shù)差分方程所代表的離散系統(tǒng)當(dāng)考慮初始條件為零時(shí)，兩邊取z變換得系統(tǒng)的特征方程為由特征方程可求出系統(tǒng)的極點(diǎn)，極點(diǎn)數(shù)目等于系統(tǒng)的階數(shù)。由可求出系統(tǒng)的零點(diǎn)。例：求線性離散系統(tǒng)

的脈沖傳遞函數(shù)。解：在線性連續(xù)系統(tǒng)中，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換。對(duì)于線性離散系統(tǒng)，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)等于單位脈沖響應(yīng)的z變換。即系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)為一z變換對(duì)。線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的離散化

(1)沖激響應(yīng)不變法基本思路：讓和所代表的系統(tǒng)在采樣點(diǎn)具有相同的單位脈沖響應(yīng)。步驟：a.由求出連續(xù)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)b.按采樣周期對(duì)采樣，得到，作為相應(yīng)離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；c.對(duì)取z變換，得到離散系統(tǒng)的脈沖

傳遞函數(shù)這里用到了與是一對(duì)拉氏變換對(duì)，與是一對(duì)z變換對(duì)的關(guān)系。沖激不變法表述為利用沖激不變法離散化示意圖利用沖激不變法由求，可以用部分分式法和留數(shù)計(jì)算法。例：已知某連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試用沖激不變法求相應(yīng)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。解：連續(xù)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為對(duì)采樣，得：則離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為(2)帶零階保持器法這就是控制信號(hào)經(jīng)D/A變換器轉(zhuǎn)換成模擬量控制被控對(duì)象的情形。下面求帶零階保持器的離散化系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。帶零階保持器的離散化方法示意圖設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍時(shí)間序列則經(jīng)過(guò)零階保持器后對(duì)采樣得，并取z變換得由于系統(tǒng)輸入為單位階躍時(shí)間序列，其z變換為因此帶零階保持器的離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為帶零階保持器的離散化方法也可看作是用沖激不變法離散化傳遞函數(shù)為的廣義對(duì)象（帶有零階保持器的對(duì)象稱為廣義對(duì)象），即

稱為廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)。

3)乘以得用帶零階保持器的離散化方法求廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)的步驟為：1）求時(shí)間函數(shù)

2）對(duì)離散時(shí)間序列作z變換實(shí)際系統(tǒng)常常由一些子系統(tǒng)組成，子系統(tǒng)之間又以一定的方式相互聯(lián)系著。最基本的聯(lián)系形式有三種：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋。首先介紹一些寫(xiě)法。

系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

（1）串聯(lián)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（2）并聯(lián)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（3）反饋系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)或輸出量的z變換的推導(dǎo)步驟：1）在主通道上建立輸出與中間變量的關(guān)系；2）在閉環(huán)回路中建立中間變量與輸入或的關(guān)系；3）消去中間變量，建立輸出與或的關(guān)系。

采樣開(kāi)關(guān)的位置對(duì)分子、分母部分都有影響，不僅閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的形式不同，而且會(huì)有不能寫(xiě)出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的情況，只能寫(xiě)出輸出量的z變換表達(dá)式。利用脈沖傳遞函數(shù)分析離散系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)10.4線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1、s平面和z平面之間的映射關(guān)系2、線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù) s平面 z平面極點(diǎn)： 極點(diǎn)：

虛軸： 單位圓上：右半平面： 單位圓外：左半平面： 單位圓內(nèi)：s平面與z平面的映射關(guān)系

s平面與z平面之間的映射關(guān)系是“多對(duì)一”的關(guān)系，即在s左半平面上每個(gè)寬的帶子都映射到z平面上同一單位圓內(nèi)。是采樣角頻率的周期函數(shù)，當(dāng)s平面上不變，角頻率由0變到無(wú)窮時(shí)，的模不變，只是相角作周期性變化。設(shè)則，即在復(fù)平面上是同一

個(gè)點(diǎn)。線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是特征方程的全部根或閉環(huán)z傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)都分布在z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。說(shuō)明：設(shè)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的特征方程為線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性條件設(shè)特征根為，則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是全部特征根都位于s左半平面。根據(jù)s-z平面的映射關(guān)系，設(shè)s平面上左半平面的映射到z平面上為。則是特征方程的根。穩(wěn)定系統(tǒng)的特征根必然分布在z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位園內(nèi)。

根據(jù)s平面與z平面的映射關(guān)系，可以將線性離散系統(tǒng)分為：穩(wěn)定系統(tǒng)：系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)均分布在z平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。臨界穩(wěn)定系統(tǒng)：系統(tǒng)有極點(diǎn)分布在z平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，而其他極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)。不穩(wěn)定系統(tǒng)：系統(tǒng)有極點(diǎn)分布在在z平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心的單位圓外。線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性取決于閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)極點(diǎn)在z平面上分布的情況。極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列單位圓內(nèi)的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)是衰減序列，而且極點(diǎn)越接近原點(diǎn)，輸出衰減越快，系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間越快。當(dāng)極點(diǎn)分布在單位圓內(nèi)左半平面時(shí)，雖然單位脈沖響應(yīng)是衰減的，但是由于交替變號(hào)，過(guò)渡特性不好。因此設(shè)計(jì)線性離散系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)該盡量選擇極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的右半平面，而且盡量靠近原點(diǎn)。單位圓上和單位圓外的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)是等幅或發(fā)散序列。例：設(shè)線性離散系統(tǒng)的z特征方程為 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由z特征方程可求得特征根 由于特征根全部位于z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。例判斷如下圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：則特征方程為1+G(z)=0即解得

＞1，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。

線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)

離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程的根全都位于z平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。代數(shù)判據(jù)法(Schour-Cohn，Jury)，或通過(guò)雙線性變換把z平面問(wèn)題變成s平面的問(wèn)題，再用連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)等?！脛谒古袚?jù)判系統(tǒng)穩(wěn)定性對(duì)于較高階次的離散系統(tǒng)，也可通過(guò)變換，利用勞斯判據(jù)判其穩(wěn)定性。設(shè)雙線性變換

式中，z=x＋jy

r=u+jv

其實(shí)部為可見(jiàn)，當(dāng)＜1，即時(shí)，u＜0

當(dāng)>1，即時(shí)，u＞0

當(dāng)=1，即時(shí)，u=0例某離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為試判其穩(wěn)定性。解：將代入特征方程，得

即特征式系數(shù)不同號(hào)，容易根據(jù)勞斯判據(jù)，判出該系統(tǒng)不穩(wěn)定。

朱里(Jury)代數(shù)判據(jù)如果已知一個(gè)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式Jury把它的系數(shù)排列成如下的算表：---------------------------------------------------------------------------------------------------其中，Jury穩(wěn)定性判據(jù)：如果，方程的根全部位于單位圓內(nèi)的充分必要條件是：算表中所有奇數(shù)行的第一個(gè)元素都是正數(shù)。如果這些元素中有的為負(fù)數(shù)，則負(fù)元素的個(gè)數(shù)代表方程中含有在單位圓以外根的個(gè)數(shù)。例：已知特征方程為

求使二階系統(tǒng)穩(wěn)定的系數(shù)的范圍。解：寫(xiě)出Jury算表為

如果要求特征方程的根全在單位圓內(nèi)，則必須滿足：

即系數(shù)和使此二階系統(tǒng)穩(wěn)定的區(qū)間如下圖所示。

例：求如圖所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，并判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解：先求出開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，然后求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，可根據(jù)特征方程的根判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。閉環(huán)特征方程為解之，得因?yàn)樗栽撓到y(tǒng)穩(wěn)定。線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

考慮單位反饋控制系統(tǒng)，其誤差脈沖傳遞函數(shù)為誤差為

如果z特征方程根全部位于以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)，則此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)的誤差還與系統(tǒng)的輸入型式有關(guān)。系統(tǒng)在各采樣時(shí)刻的誤差值，可以由展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)來(lái)確定。利用z變換的終值定理可以分析系統(tǒng)在各種輸入條件下的穩(wěn)態(tài)誤差。

離散控制系統(tǒng)的類(lèi)型連續(xù)控制系統(tǒng)中，根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中包含的積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)來(lái)定義系統(tǒng)的型次。由于z平面內(nèi)z=1的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于s平面內(nèi)s=0的極點(diǎn)，因此，對(duì)于離散系統(tǒng)，可根據(jù)開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)中包含z=1的極點(diǎn)數(shù)目來(lái)定義離散系統(tǒng)的型次，如將開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)中含有z=1的極點(diǎn)數(shù)用來(lái)表示，把系統(tǒng)分別稱為0型、I型、II型、III型…系統(tǒng)。靜態(tài)位置誤差系數(shù)離散系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為定義靜態(tài)位置誤差系數(shù)為靜態(tài)位置誤差系數(shù)可以根據(jù)開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)直接求得。它反映了系統(tǒng)在單位階躍輸入時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差的大小。用靜態(tài)位置誤差系數(shù)表示的單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為單位階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為靜態(tài)速度誤差系數(shù)離散系統(tǒng)對(duì)單位速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)為用靜態(tài)速度誤差系數(shù)表示的單位速度輸入

下的穩(wěn)態(tài)誤差為單位速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)離散系統(tǒng)對(duì)單位加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)為用靜態(tài)速度誤差系數(shù)表示的單位速度輸入下

的穩(wěn)態(tài)誤差為單位加速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為

對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求決定了的結(jié)構(gòu)形式。系統(tǒng)類(lèi)別單位階躍輸入單位速度輸入單位加速度輸入0型系統(tǒng)I型系統(tǒng)0II型系統(tǒng)00例：如圖所示(1)試求出閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)；(2)試求出使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍，設(shè)采樣周期T=0.1s；(3)若輸入為單位階躍函數(shù)，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。(1)廣義對(duì)象傳遞函數(shù)為

則系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

(2)由閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)知閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為特征根為系統(tǒng)穩(wěn)定須滿足條件解之，得使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為(3)若誤差脈沖傳遞函數(shù)誤差為利用終值定理可以求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差10.5計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的模擬化設(shè)計(jì)方法計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的的設(shè)計(jì)是指設(shè)計(jì)數(shù)字控制器，使系統(tǒng)達(dá)到要求的性能指標(biāo)。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法包括：模擬化設(shè)計(jì)方法、離散化設(shè)計(jì)方法（例如最少拍設(shè)計(jì)）等。所謂計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的模擬化設(shè)計(jì)方法就是首先設(shè)計(jì)出符合技術(shù)要求的連續(xù)控制系統(tǒng)，再用離散時(shí)間控制器近似連續(xù)時(shí)間控制器。

模擬化的設(shè)計(jì)方法就是首先按照連續(xù)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法如對(duì)數(shù)頻率特性法、根軌跡法等設(shè)計(jì)出符合技術(shù)要求的連續(xù)校正環(huán)節(jié)，再用相應(yīng)的數(shù)字校正環(huán)節(jié)去代替連續(xù)校正環(huán)節(jié)。逼近的程度取決于采樣速率和離散化的方法。相應(yīng)于連續(xù)控制系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用的PID控制器，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中也有數(shù)字PID控制器。連續(xù)控制系統(tǒng)框圖代替連續(xù)控制系統(tǒng)的采樣控制系統(tǒng)框圖將采樣控制系統(tǒng)中的連續(xù)環(huán)節(jié)離散化得到的離散控制系統(tǒng)框圖模擬化設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)：通常計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度相對(duì)于控制對(duì)象是足夠高的，經(jīng)過(guò)運(yùn)算不會(huì)降低精度，也不會(huì)產(chǎn)生大的滯后。對(duì)于A/D和D/A，可以根據(jù)精度和信息帶寬的要求，選擇具有相應(yīng)位數(shù)和適當(dāng)轉(zhuǎn)換速度的轉(zhuǎn)換器，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換的信息不會(huì)帶來(lái)大的誤差和滯后。但當(dāng)信息經(jīng)過(guò)保持器時(shí)，會(huì)產(chǎn)生幅值衰減和相位滯后?？梢宰C明當(dāng)系統(tǒng)的通頻帶比采樣角頻率低很多時(shí)，可以忽略零階保持器的影響。典型的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，盡管是一個(gè)離散系統(tǒng)，但只要合理選擇計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的元部件，選擇足夠高的采樣頻率，離散的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)可以近似看成連續(xù)系統(tǒng)。把計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)近似看成連續(xù)系統(tǒng)，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)就可以按照連續(xù)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，求出連續(xù)校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)后，對(duì)其離散化，由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)數(shù)字控制規(guī)律。

當(dāng)采樣周期足夠短時(shí)，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可以按照連續(xù)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法。首先根據(jù)性能指標(biāo)利用連續(xù)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法求出校正環(huán)節(jié)，然后利用一些近似的方法對(duì)離散化，得到近似等效的數(shù)字校正環(huán)節(jié)，據(jù)此可寫(xiě)出由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的控制算法。近似設(shè)計(jì)方法包括沖激不變法，帶零階保持器的離散化方法，前向差分法，后向差分法，雙線性變換法等。數(shù)字校正環(huán)節(jié)的近似設(shè)計(jì)方法1、連續(xù)校正環(huán)節(jié)的離散化方法(1)沖激響應(yīng)不變法

優(yōu)點(diǎn)是和的脈沖響應(yīng)是一樣的，

而且如果是穩(wěn)定的，則也是穩(wěn)定

的。例：已知?jiǎng)t取反z變換得到計(jì)算機(jī)可實(shí)現(xiàn)的 控制算法為(2)帶零階保持器法

當(dāng)穩(wěn)定時(shí)，也穩(wěn)定。例：已知?jiǎng)t

控制算法為(3)前向差分法相當(dāng)于用代替s，不能保證總是穩(wěn)定的，而且不能保證具有與相同的脈沖響應(yīng)和頻率響應(yīng)。(4)后向差分法相當(dāng)于用代替s，當(dāng)是穩(wěn)定的，總是穩(wěn)定的，但不能保證具有與相同的脈沖響應(yīng)和頻率響應(yīng)。(5)雙線性變換法相當(dāng)于用代替s，當(dāng)是穩(wěn)定的，總是穩(wěn)定的，但不能保證具有相同的脈沖響應(yīng)和頻率響應(yīng)。香農(nóng)采樣定理采樣周期的選擇與許多因素有關(guān)。零階保持器相當(dāng)于具有半個(gè)采樣周期延時(shí)的環(huán)節(jié)，因此當(dāng)用零階保持電路后接連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)來(lái)近似采樣系統(tǒng)時(shí)，保持電路會(huì)引起相位滯后。如果相位裕量允許減少5°~15°，就可以給出下面的經(jīng)驗(yàn)法則：其中,是連續(xù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)剪切頻率。一般Nyquist頻率取為剪切頻率的5~20倍，典型數(shù)據(jù)為。對(duì)數(shù)頻率法校正

對(duì)數(shù)頻率法是基于連續(xù)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性，首先做出系統(tǒng)的固有對(duì)數(shù)頻率特性，再根據(jù)性能指標(biāo)的要求，畫(huà)出希望的對(duì)數(shù)頻率特性，校正網(wǎng)絡(luò)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線為有了便可得到相應(yīng)的校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，對(duì)離散化便可得到，由計(jì)算機(jī)予以實(shí)現(xiàn)。例：計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)如下圖所示，采樣周期，要求速度誤差系數(shù)剪切頻率，諧振峰值，試設(shè)計(jì)串聯(lián)校正裝置。解：

由控制理論得知，閉環(huán)系統(tǒng)的通頻帶所以可以忽略零階保持器的影響，可以用連續(xù)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。1）根據(jù)速度誤