有限元方法與ANSYS應(yīng)用(修改)

2023/2/31有限元方法與ANSYS應(yīng)用

FiniteElementsMethod&ANSYS張陵2023/2/32有限元方法與ANSYS應(yīng)用★

課程設(shè)置的相關(guān)背景

工程問題的現(xiàn)代設(shè)計,科學(xué)研究虛擬現(xiàn)實與計算仿真近似計算的“精確逼近”2023/2/33有限元方法與ANSYS應(yīng)用★

課程設(shè)置的相關(guān)背景

工程問題的研究對象：

連續(xù)體離散體混合系統(tǒng)/結(jié)構(gòu)

2023/2/34有限元方法與ANSYS應(yīng)用★

課程學(xué)習(xí)的目的連續(xù)體：建模與分析方法離散體：建模與分析方法

涉及的先修課程:

材料力學(xué)彈性力學(xué)有限元法

作業(yè):試總結(jié)三門課程解決問題的思路和步驟,指出其異同點.(3千字)2023/2/35有限元方法與ANSYS應(yīng)用★

課程學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備國內(nèi)外有限元，ANSYS課程學(xué)習(xí)網(wǎng)站國內(nèi)外ANSYS應(yīng)用論壇，專題網(wǎng)站

ANSYS應(yīng)用的各種實例

ANSYS軟件自備上機條件自行解決2023/2/36有限元方法與ANSYS應(yīng)用★

課程學(xué)習(xí)的條件課件下載:ansysxjtu@163.com密碼:ansysxjtu13課件請勿外傳!!!

作業(yè)提交:ansysxjtu@163.com作業(yè)文件名：學(xué)號+姓名+第幾次作業(yè)

例如：2013001+西交大+1

2023/2/37有限元方法與ANSYS應(yīng)用★

課程學(xué)習(xí)特點“實踐出真知”★

課程學(xué)習(xí)要求

基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)與“實戰(zhàn)”結(jié)合

★

課程學(xué)習(xí)安排上課,上機,設(shè)計作業(yè)2023/2/38有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程教學(xué)主要內(nèi)容★有限元法分析的基本理論與方法★有限元建模方法及應(yīng)用★

ANSYS軟件系統(tǒng)介紹★

ANSYS軟件系統(tǒng)案例分析相互交叉,相互結(jié)合2023/2/39大型通用有限元軟件ANSYS概述2023/2/310ANSYS公司是由美國匹茲堡大學(xué)力學(xué)系教授、有限元法的權(quán)威、著名力學(xué)專家JohnSwanson博士于1970年創(chuàng)建而發(fā)展起來的，其總部位于美國賓夕法尼亞州的Canonsburg(匹茲堡南部)。目前是世界CAE行業(yè)最大的公司之一。2023/2/311ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、流體、熱、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件。因此,它可應(yīng)用于航空航天、汽車工業(yè)、生物醫(yī)學(xué)、橋梁、建筑、電子產(chǎn)品、重型機械、微機電系統(tǒng)、運動器械等工業(yè)領(lǐng)域。12ANSYS的產(chǎn)品家族ANSYS/FLOTRAN?ANSYS/Emag?ANSYS/Structural?ANSYS/MultiphysicsANSYS/LS-DYNA?ANSYS/Mechanical?ANSYS/LinearPlus?ANSYS/Thermal?2023/2/313ANSYS——CAE仿真分析軟件CAE(ComputerAidedEngineering)，工程設(shè)計中的計算機輔助工程.指用計算機輔助求解分析復(fù)雜工程和產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)力學(xué)性能，以及優(yōu)化結(jié)構(gòu)性能等。而CAE軟件可作靜態(tài)結(jié)構(gòu)分析，動態(tài)分析；研究線性、非線性問題；分析結(jié)構(gòu)（固體）、流體、電磁等。2023/2/314ANSYS——CAE仿真分析軟件CAE的技術(shù)種類有很多，其中包括有限元法(FEM,即FiniteElementMethod),邊界元法(BEM,即BoundaryElementMethod)，有限差法(FDM,即FiniteDifferenceElementMethod)等。每一種方法各有其應(yīng)用的領(lǐng)域，而其中有限元法應(yīng)用的領(lǐng)域越來越廣，現(xiàn)已應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)、熱力學(xué)、流體力學(xué)、電路學(xué)、電磁學(xué)等。2023/2/315ANSYS主要包括三個部分：前處理模塊，分析計算模塊和后處理模塊。前處理模塊提供一個強大的實體建模及網(wǎng)格劃分工具，用戶可以方便地構(gòu)造有限元模型；2023/2/316分析計算模塊包括結(jié)構(gòu)分析（可進行線性分析、非線性分析和高度非線性分析）、流體動力學(xué)分析、電磁場分析、聲場分析、壓電分析以及多物理場的耦合分析，可模擬多種物理介質(zhì)的相互作用，具有靈敏度分析及優(yōu)化分析能力；2023/2/317后處理模塊可將計算結(jié)果以彩色等值線顯示、梯度顯示、矢量顯示、粒子流跡顯示、立體切片顯示、透明及半透明顯示（可看到結(jié)構(gòu)內(nèi)部）等圖形方式顯示出來，也可將計算結(jié)果以圖表、曲線形式顯示或輸出。2023/2/318ANSYS功能概覽結(jié)構(gòu)分析熱分析電磁分析流體分析(CFD)耦合場分析-多物理場2023/2/3191.ANSYS結(jié)構(gòu)分析

結(jié)構(gòu)分析用于確定結(jié)構(gòu)的變形、應(yīng)變、應(yīng)力及反作用力等.2023/2/3201.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:靜力分析模態(tài)分析譜分析諧響應(yīng)分析瞬態(tài)動力學(xué)分析動力分析2023/2/3211.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:靜力分析-用于靜態(tài)載荷.可以考慮結(jié)構(gòu)的線性及非線性行為，例如:大變形、大應(yīng)變、應(yīng)力剛化、接觸、塑性、超彈及蠕變等.2023/2/3221.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:特征屈曲分析-用于計算線性屈曲載荷并確定屈曲模態(tài)形狀.(結(jié)合瞬態(tài)動力學(xué)分析可以實現(xiàn)非線性屈曲分析.)2023/2/3231.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:模態(tài)分析

-計算線性結(jié)構(gòu)的自振頻率及振形.譜分析

是模態(tài)分析的擴展，用于計算由于隨機振動引起的結(jié)構(gòu)應(yīng)力和應(yīng)變(也叫作

響應(yīng)譜或

PSD).2023/2/3241.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:諧響應(yīng)分析-確定線性結(jié)構(gòu)對隨時間按正弦曲線變化的載荷的響應(yīng).2023/2/3251.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:瞬態(tài)動力學(xué)分析-確定結(jié)構(gòu)對隨時間任意變化的載荷的響應(yīng).可以考慮與靜力分析相同的結(jié)構(gòu)非線性行為.2023/2/3261.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:專項分析-

斷裂分析,復(fù)合材料分析，疲勞分析2023/2/327專項分析-

斷裂分析,復(fù)合材料分析，疲勞分析2023/2/3282.ANSYS熱分析ANSYS熱分析計算物體的穩(wěn)態(tài)或瞬態(tài)溫度分布，以及熱量的獲取或損失、熱梯度、熱通量等.2023/2/3292.ANSYS熱分析

功能:相變

(熔化及凝固),內(nèi)熱源(例如電阻發(fā)熱等)三種熱傳遞方式

(熱傳導(dǎo)、熱對流、熱輻射)2023/2/3302.ANSYS熱分析注意：熱分析之后往往進行結(jié)構(gòu)分析,計算由于熱膨脹或收縮不均勻引起的應(yīng)力.2023/2/3313.ANSYS電磁分析

磁場可由電流、永磁體、外加磁場等產(chǎn)生.磁場分析

用于計算磁場.

磁場分析中考慮的物理量是磁通量密度、磁場密度、磁力、磁力矩、阻抗、電感、渦流、能耗及磁通量泄漏等.2023/2/332磁場分析的類型:靜磁場分析

-計算直流電（DC)或永磁體產(chǎn)生的磁場.交變磁場分析-計算由于交流電(AC)產(chǎn)生的磁場.2023/2/333磁場分析的類型:瞬態(tài)磁場分析-計算隨時間隨機變化的電流或外界引起的磁場.電場分析-

用于計算電阻或電容系統(tǒng)的電場.典型的物理量有電流密度、電荷密度、電場及電阻熱等.2023/2/334磁場分析的類型:高頻電磁場分析用于微波及RF無源組件，波導(dǎo)、雷達系統(tǒng)、同軸連接器等分析.2023/2/3354.ANSYS流體分析流體分析分以下幾類:CFD-ANSYS/FLOTRAN

提供強大的計算流體動力學(xué)分析功能，包括不可壓縮或可壓縮流體、層流及湍流，以及多組份流等.流體分析--用于確定流體的流動及熱行為.2023/2/3364.ANSYS流體分析流體分析分以下幾類:聲學(xué)分析-考慮流體介質(zhì)與周圍固體的相互作用,進行聲波傳遞或水下結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析等.流體分析

用于確定流體的流動及熱行為.2023/2/3374.ANSYS流體分析流體分析分以下幾類:流體分析

用于確定流體的流動及熱行為.容器內(nèi)流體分析

-考慮容器內(nèi)的非流動流體的影響.可以確定由于晃動引起的靜水壓力.2023/2/3384.ANSYS流體分析流體分析分以下幾類:流體分析

用于確定流體的流動及熱行為.流體動力學(xué)耦合分析

-考慮流體約束質(zhì)量的動力響應(yīng)基礎(chǔ)上，在結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中使用流體耦合單元.2023/2/3395.ANSYS耦合場分析耦合場分析

考慮兩個或多個物理場之間的相互作用。如果兩個物理場之間相互影響，單獨求解一個物理場是不可能得到正確結(jié)果的，因此你需要一個能夠?qū)蓚€物理場組合到一起求解的分析軟件。2023/2/3405.ANSYS耦合場分析

其他需要耦合場分析的典型情況有：熱—應(yīng)力分析流體—結(jié)構(gòu)相互作用聲場—結(jié)構(gòu)耦合振動June3,199641ANSYS分析中通?？紤]的分析因素建模是數(shù)值仿真分析有效與否的關(guān)鍵。一般考慮下列問題：分析領(lǐng)域分析目標(biāo)線性/非線性問題靜力/動力問題分析細節(jié)的考慮幾何模型對稱性

奇異單元類型網(wǎng)格密度單位制材料特性載荷求解器June3,199642ANSYS分析中通?？紤]的分析因素

奇異單元類型網(wǎng)格密度單位制材料特性載荷求解器

所建模型的好壞直接影響分析的精度和成本（人耗工時，計算機資源等），但通常情況下精度和成本是相互沖突。June3,199643確定合適的分析學(xué)科領(lǐng)域?qū)嶓w運動，承受壓力，或?qū)嶓w間存在接觸施加熱、高溫或存在溫度變化恒定的磁場或磁場電流（直流或交流）氣（液）體的運動，或受限制的氣體/液體以上各種情況的耦合結(jié)構(gòu)熱磁流體電耦合場準(zhǔn)則2023/2/344有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/345有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/346有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/347有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/348有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/349有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/350有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/351有限元方法與ANSYS應(yīng)用十大論壇學(xué)習(xí)ANSYS

1、安世亞太

2、仿真論壇

3、中國CAE聯(lián)盟

4、傲雪論壇

5、仿真在線

2023/2/352有限元方法與ANSYS應(yīng)用十大論壇學(xué)習(xí)ANSYS

6、中國機械CAD論壇

7、開思網(wǎng)

8、

9、振動聯(lián)盟

10、

2023/2/353有限元法分析的基本理論與方法相關(guān)課程的比較2023/2/354有限元法分析的基本理論與方法相關(guān)課程的比較變形體----物體內(nèi)任意兩點之間的距離可發(fā)生相對移動.變形體有四種形變：拉伸壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲。2023/2/355有限元法分析的基本理論與方法相關(guān)課程的比較材力：

借助于直觀和實驗現(xiàn)象作一些假定，如平面假設(shè)等，然后由靜力學(xué)、幾何關(guān)系、物理方程三方面進行分析。彈力：

僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分析，放棄了材力中的大部分假定。2023/2/356有限元法分析的基本理論與方法相關(guān)課程的比較材力:——常微分方程（4階，一個變量）彈力:——偏微分方程（高階，二、三個變量）。數(shù)值解法：能量法（變分法）、差分法、有限單元法等。2023/2/357作業(yè):試總結(jié)三門課程解決問題的思路和步驟,指出其異同點.(3千字)作業(yè)電子文檔名稱：學(xué)號——姓名---遞交作業(yè)次數(shù)序號2023/2/35858力學(xué)研究工程問題的一般思路工程問題力學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)解答觀察總結(jié)歸納概念假設(shè)等數(shù)學(xué)描述微分方程的定解問題解析解近似解數(shù)值解力學(xué)解釋物理意義工程解釋驗證指導(dǎo)工程實踐2023/2/359附：工程力學(xué)問題的建模分析過程2023/2/36060力學(xué)模型的建立基本原則科學(xué)性：盡可能地近似表示原型實用性：能方便地應(yīng)用模型的建立——近似材料近似結(jié)構(gòu)近似載荷近似模型的表述假設(shè)概念所有的力學(xué)模型均是實際問題的某種程度上的近似，受限于科技發(fā)展水平，受限于人類對該問題科學(xué)本質(zhì)的認識，也受限于工程需求。2023/2/361

在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，通常要注意分清問題的性質(zhì)進行簡化：線性化

對高階小量進行處理，能進行線性化的，進行線性化。

模型建立以后，對計算的結(jié)果進行分析整理，返回實際問題進行驗證，一般通過實驗驗證：直接實驗驗證

直接實驗比較簡單時可以直接進行，但有時十分困難。相似模型實驗

相似實驗的模型一般應(yīng)與實際問題的邊界條件和形態(tài)是幾何相似的。2023/2/362

工程力學(xué)問題建立力學(xué)模型的過程中，一般作三方面進行簡化：結(jié)構(gòu)簡化

如空間問題向平面問題的簡化，向軸對稱問題的簡化，實體結(jié)構(gòu)向板、殼結(jié)構(gòu)的簡化。受力簡化

如：根據(jù)圣維南原理，復(fù)雜力系簡化為等效力系等。材料簡化根據(jù)各向同性、連續(xù)、均勻等假設(shè)進行簡化。2023/2/363結(jié)構(gòu)簡化2023/2/364結(jié)構(gòu)簡化對稱性的利用2023/2/365受力簡化2023/2/366

圣維南原理問題的提出：PPP

求解彈性力學(xué)問題時，使應(yīng)力分量、形變分量、位移分量完全滿足8個基本方程相對容易，但要使邊界條件完全滿足，往往很困難。

如圖所示，其力的作用點處的邊界條件無法列寫。1.靜力等效的概念

兩個力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個力系為靜力等效力系。

這種等效只是從平衡的觀點而言的，對剛體來而言完全正確，但對變形體而言一般是不等效的。2023/2/3672.圣維南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠處所受的影響可忽略不計。PPPP/2P/22023/2/3683.圣維南原理的應(yīng)用(1)對復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。(2)有些位移邊界不易滿足時，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。如：AB主要邊界P次要邊界2023/2/369材料簡化2023/2/370工程問題的復(fù)雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困難，將使得問題無法求解。根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設(shè)。使問題的研究限定在一個可行的范圍。基本假設(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。

材料簡化彈性力學(xué)基本假設(shè)2023/2/371工程材料通?？梢苑譃榫w和非晶體兩種。金屬材料——晶體材料，是由許多原子，離子按一定規(guī)則排列起來的空間格子構(gòu)成，其中間經(jīng)常會有缺陷存在。高分子材料——非晶體材料，由許多分子的集合組成的分子化合物。工程材料內(nèi)部的缺陷、夾雜和孔洞等構(gòu)成了固體材料微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性?！?.2基本假設(shè)22023/2/37272彈性力學(xué)基本假設(shè)連續(xù)性假設(shè)完全彈性假設(shè)均勻性假設(shè)各向同性假設(shè)小位移和小形變假設(shè)材料的假設(shè)理想彈性體幾何假設(shè)2023/2/37373彈性力學(xué)：研究理想彈性體的小變形問題彈性力學(xué)問題的研究思路：已知：物體的形狀、大小、彈性常數(shù)、所受的外力和邊界約束條件，求：應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量2023/2/37474基本假設(shè)與其他理學(xué)分支連續(xù)性假設(shè)：完全彈性假設(shè)：非線性彈性力學(xué)、非彈性力學(xué)均勻性假設(shè)：非均質(zhì)彈性力學(xué)各向同性假設(shè)：各向異性彈性力學(xué)小位移和小形變假設(shè)：非線性彈性力學(xué)2023/2/37575751821年，克勞德·路易斯·瑪麗·亨利·納維爾(1785——1836)發(fā)表了題為“彈性體平衡和運動方程”的論文，文中首次寫出了彈性體的控制方程1829年，法國科學(xué)家西蒙·丹尼斯·泊松(1781－1840)考慮了單向拉伸時的橫向收縮問題。為紀(jì)念他的貢獻，橫向收縮與縱向伸長比值的負值被命名為泊松比。另外，泊松發(fā)現(xiàn)了橫波和縱波，開創(chuàng)了彈性動力學(xué)分析彈性力學(xué)簡史2023/2/3767676奧古斯丁·路易斯·柯西

(1789——1857)1822-1823年，在三維情況下規(guī)范了應(yīng)力的概念，揭示了應(yīng)力具有三階對稱張量的性質(zhì)提出將面力矢量和應(yīng)力張量聯(lián)系起來的柯西原理，提出主應(yīng)力和主應(yīng)變的概念，推廣胡克定律，建立了用應(yīng)力分量表示的連續(xù)體運動方程和邊界條件給出了幾何方程，即當(dāng)位移對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)遠小于1時，六個應(yīng)變分量(三個拉伸分量和三個剪切分量)可以表示為位移的導(dǎo)數(shù)。從原子論的觀點討論了物體的彈性，利用對勢導(dǎo)出了所謂的彈性張量的柯西關(guān)系，指出彈性張量具有完全對稱性。2023/2/3777777彈性力學(xué)基本解及應(yīng)用在十九世紀(jì)的中后期，科學(xué)家們得到了大量的彈性力學(xué)基本解，并應(yīng)用于工程實踐或者解釋自然現(xiàn)象納維爾的學(xué)生圣·維南在其中做出了卓越的貢獻1853年，提出了半逆解法，并得到了梁的彎曲和非圓截面桿扭轉(zhuǎn)問題的精確解，從而檢驗了材料力學(xué)中在一定假設(shè)簡化下得到的近似解的準(zhǔn)確程度提出了著名的圣·維南原理，為數(shù)學(xué)家和工程師創(chuàng)造了無數(shù)機遇和挑戰(zhàn)2023/2/3787878電磁學(xué)的奠基人之一，普魯士物理學(xué)家古斯塔夫·羅伯特·基爾霍夫(1824——1887)多才多藝，在彈性力學(xué)領(lǐng)域也頗有建樹。1876年，他出版了著作“力學(xué)”，將彈性力學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域擴展到一種新的幾何構(gòu)形——板，在直法線假設(shè)的前提下，他運用虛功原理和變分法導(dǎo)出了控制方程。在一維情況下，基爾霍夫板退化為歐拉——柏努利梁。電磁學(xué)的另一奠基人，赫爾曼·路德維希·費迪南德·馮·亥姆霍茲(1821——1894)在彈性力學(xué)領(lǐng)域同樣功勛卓著。他建立了彈性自由能的概念，以他的名字命名為亥姆霍茲自由能。另外，他還利用亥姆霍茲變換得到無限大彈性體中的應(yīng)力波解。2023/2/3797979體系形成(1880——1950)在這一時期，彈性力學(xué)的知識如百川逐漸匯集大海，形成了一套完整的體系代表性著作是勒夫的“關(guān)于彈性力學(xué)數(shù)學(xué)理論的論述”(1892——1893)。該部著作的問世同時標(biāo)志著十九世紀(jì)整個數(shù)學(xué)物理的研究中心是彈性力學(xué)。除此之外，勒夫本人還在點源解和勒夫波等方面對彈性力學(xué)做出貢獻2023/2/3808080鐵木辛柯

（1878-1972）

彈性力學(xué)在工程領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用應(yīng)歸功于鐵木辛柯的巨大熱情。鐵木辛柯出身于前俄羅斯貴族，師從空氣動力學(xué)之父普朗特。他尤其熱心于彈性力學(xué)的工程應(yīng)用，在彈性地基梁、鐵木辛柯梁、板殼力學(xué)和彈性振動等方面都做出了巨大的貢獻。鐵木辛柯不僅是一位科學(xué)家、工程師，同時也是一名偉大的教育家。由他編寫的教材幾十年來一直在美國工學(xué)院使用。他同馮·卡門一起促進了應(yīng)用力學(xué)在美國的繁榮。經(jīng)典教材：《材料力學(xué)》、《高等材料力學(xué)》、《結(jié)構(gòu)力學(xué)》、《工程力學(xué)》、《高等動力學(xué)》、《彈性力學(xué)》、《彈性穩(wěn)定性理論》、《工程中的振動問題》、《板殼理論》和《材料力學(xué)史》等2023/2/3818181分支發(fā)展(1950——至今)1950年荷蘭力學(xué)家和工程師K.T.Koiter提出彈性穩(wěn)定性的概念，隨后有關(guān)靜力穩(wěn)定性、運動穩(wěn)定性和動力穩(wěn)定性和缺陷敏感性的問題也被提出，并充分地加以研究。2023/2/3828282斷裂力學(xué)的先驅(qū)是英國航空工程師A.A.Griffith提出了脆斷準(zhǔn)則：如果裂紋擴展釋放的彈性應(yīng)變能等于產(chǎn)生新表面所做的功，則裂紋處于臨界擴展?fàn)顟B(tài)。從二十世紀(jì)中葉以來斷裂力學(xué)一直處于固體力學(xué)研究的中心地位，主要推動力是對第二次世界大戰(zhàn)期間造成美國海軍艦隊重大損失的原因的研究以及美國物理學(xué)家和工程師GeorgeR.Irwin投入的巨大熱情與精力1957年Irwin提出應(yīng)力強度因子的概念，用來度量裂尖附近應(yīng)力場的強度在Irwin的大力推動下，從十九世紀(jì)40年代一直延續(xù)到二十一世紀(jì)，在裂紋擴展和結(jié)構(gòu)破壞方面出現(xiàn)了大量成果，包括疲勞裂紋和應(yīng)力腐蝕導(dǎo)致裂紋1968年，美國力學(xué)家和地學(xué)家J.R.Rice奠定了非線性斷裂力學(xué)的基礎(chǔ)。斷裂力學(xué)中的關(guān)鍵參量，能量釋放率G

，應(yīng)力強度因子K

和

J－積分分別用來紀(jì)念Griffith,Irwin和Rice的對這一領(lǐng)域的貢獻。

A.Griffith(1893——1963)2023/2/3838383有限元方法(FiniteElementMethod)1943年數(shù)學(xué)家RichardCourant描述了有限元的理論框架50到60年代，這一理論在幾個國家獨立的發(fā)展，并編制了可用于工程計算的計算機程序。代表學(xué)者有美國航空工程師M.J.Taylor和RayW.Clough，英國土木工程師J.H.Argyris和O.C.Zienkiewicz，以及中國數(shù)學(xué)家馮康有限元方法源于求解彈性力學(xué)問題，它的發(fā)展超出這一領(lǐng)域，成為計算力學(xué)的基本組成部分，目前又被進一步應(yīng)用到材料微結(jié)構(gòu)、生物力學(xué)和醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。有限元方法(FEM)的發(fā)明為工程領(lǐng)域提供了基本的計算工具2023/2/3848484最新進展：大變形彈性理論是經(jīng)典彈性力學(xué)未開發(fā)的處女地橡膠之類的高分子材料的廣泛應(yīng)用使得建立彈性大變形理論成為必需1960年，英國應(yīng)用數(shù)學(xué)家和工程師RonaldS.Rivlin給出了拉伸、扭轉(zhuǎn)、彎曲和翻轉(zhuǎn)在彈性大變形下的解。他還致力于各向同性彈性的張量表示理論，提出著名的Rivlin-Ericksen定理。他的其他貢獻還包括提出Mooney-Rivlin理論，精確地描述了橡膠彈性2023/2/3858585力學(xué)是最早形成科學(xué)體系的一門學(xué)科。物理學(xué)的建立是從力學(xué)開始的，當(dāng)物理學(xué)擺脫力學(xué)發(fā)展時，力學(xué)則在工程技術(shù)的推動下按自身邏輯進一步演化，最終，力學(xué)和物理學(xué)各自發(fā)展成為自然學(xué)科中兩個相互獨立的、自成體系的學(xué)科分類。力學(xué)既是基礎(chǔ)科學(xué)又是技術(shù)科學(xué)的二重性，為溝通人類認識自然和改造自然兩個方面作出了突出貢獻，力學(xué)工作者為此而自豪。2023/2/38686連續(xù)性假設(shè)說明：1、工程材料都是非連續(xù)的，但其非連續(xù)性通常表現(xiàn)在細觀甚至微觀尺度，空隙的尺度遠遠小于研究物體的尺度，從宏觀上，可以近似認為是連續(xù)的2、對于宏觀尺度的非連續(xù)性問題，是彈性力學(xué)的研究范疇假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙物理量連續(xù)，用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)描述保證中極限的存在2023/2/3871.連續(xù)性假設(shè)

——假設(shè)所研究的整個彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿，各個質(zhì)點之間不存在任何空隙?！冃魏笕匀槐３诌B續(xù)性，不出現(xiàn)開裂和重疊。根據(jù)這一假設(shè)，物體所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均為空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。2023/2/3881.連續(xù)性假定

該假定在研究物體的宏觀力學(xué)特性時，與工程實際吻合較好；研究物體的微觀力學(xué)性質(zhì)時不適用。使得σ、ε、u

等量表示成坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。保證中極限的存在。2023/2/38989完全彈性假設(shè)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是線性、單值的常系數(shù)微分方程說明：1、脆性材料：在應(yīng)力未超過比例極限時，可近似為完全彈性體2、塑性材料：在應(yīng)力未達到屈服極限時，可近似為完全彈性體3、非線性彈性體、非彈性體的問題，不是彈性力學(xué)的研究范疇假定物體完全服從胡克定律，應(yīng)變和引起該應(yīng)變的那個應(yīng)力分量成比例，且比例系數(shù)為常數(shù)2023/2/3902.完全彈性假設(shè)——對應(yīng)一定的溫度，如果應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，而且這個關(guān)系和時間無關(guān)，也和變形歷史無關(guān)，稱為完全彈性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學(xué)研究限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。2023/2/39191均勻性假設(shè)假設(shè)整個物體是由同一材料組成的各部分彈性相同、彈性常數(shù)與坐標(biāo)無關(guān)微元代表整體說明：1、工程材料都是非均勻的，但其非均勻性通常表現(xiàn)在細觀甚至微觀尺度，從宏觀上，可以近似認為是均勻的2、對于宏觀非均勻的材料，彈性力學(xué)的研究方法仍然適用，但基本方程將有所不同2023/2/3923.均勻性假設(shè)

——假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標(biāo)位置的變化而改變?！矬w的彈性性質(zhì)處處都是相同的。工程材料，例如混凝土顆粒遠遠小于物體的的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。彈性常數(shù)（E、μ）——不隨位置坐標(biāo)而變化；取微元體分析的結(jié)果可應(yīng)用于整個物體。2023/2/39393各向同性假設(shè)彈性常數(shù)與方向無關(guān)說明：1、一般工程材料，都在不同的尺度上表現(xiàn)出或強或弱的各向異性，但在很多時候，可以忽略各向異性的影響，尤其是各項異性主要表現(xiàn)在微觀尺度上的時候2、對于宏觀各項異性彈性體，可以應(yīng)用彈性力學(xué)的研究方法物體內(nèi)一點的彈性所有各個方向均相同2023/2/3944.各向同性假設(shè)——假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標(biāo)方向的改變而變化。

——宏觀假設(shè)，材料性能是顯示各向同性。如金屬材料.當(dāng)然，像木材，竹子以及纖維增強材料等，屬于各向異性材料。這些材料的研究屬于復(fù)合材料力學(xué)研究的對象。彈性常數(shù)（E、μ）——不隨坐標(biāo)方向而變化；2023/2/395

材料的均勻性假設(shè)與各向同性假設(shè)的區(qū)別

均勻性和各向同性是完全不同的性質(zhì)，不應(yīng)混淆。如用矢量的長短來表示材料某力學(xué)性能的強弱，則圖a表示均勻而非各向同性的材料；圖b表示各向同性而非均勻的材料；圖c表示均勻且各向同性的材料。(a)(b)(c)2023/2/39696小位移和小形變假設(shè)建立變形后的平衡方程時，可以用變形前的尺寸代替而不因其顯著的誤差假定位移均遠遠小于物體原來的尺寸假定正應(yīng)變和剪應(yīng)變均遠遠小于1應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的二次冪或乘積均可略去方程線性化2023/2/3975.小變形假設(shè)——假設(shè)在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量。即物體受力后物體內(nèi)各點位移遠遠小物體的原來的尺寸?！趶椥泽w的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化。可用變形前的尺寸代替變形后的尺寸?！⒎匠虝r，可略去位移、應(yīng)變和應(yīng)力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。2023/2/398——假設(shè)物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內(nèi)部沒有應(yīng)力。彈性力學(xué)求解的應(yīng)力僅僅是荷載或溫度變化而產(chǎn)生的。若存在初應(yīng)力，理論求得的應(yīng)力應(yīng)疊加初應(yīng)力才是實際應(yīng)力。6.無初始應(yīng)力的附加假設(shè)2023/2/399扭轉(zhuǎn)問題的附加假設(shè)柱體扭轉(zhuǎn)橫截面翹曲自由扭轉(zhuǎn)——翹曲不受限制-等翹曲剛性轉(zhuǎn)動假設(shè)約束扭轉(zhuǎn)——翹曲受到限制-軸向力彈性力學(xué)討論自由扭轉(zhuǎn)2023/2/3100彈性力學(xué)的基本方法與思路

彈性力學(xué)有應(yīng)力、應(yīng)變和位移三大類變量，它所依據(jù)的基本規(guī)律有三個：變形連續(xù)規(guī)律、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和運動(或平衡)規(guī)律，它們有時被稱為彈性力學(xué)三大基本規(guī)律。彈性力學(xué)中許多定理、公式和結(jié)論等，都可以從三大基本規(guī)律推導(dǎo)出來。2023/2/3101彈性力學(xué)的基本方法與思路1.應(yīng)力的概念彈性體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生應(yīng)力。為了描述彈性體內(nèi)某一點P的應(yīng)力，在這一點從彈性體內(nèi)割取一個微小的平行六面體PABC，它的六面分別垂直于相應(yīng)的坐標(biāo)軸，如圖1。2023/2/3102彈性力學(xué)的基本方法與思路從圖中看出：將每一面上的應(yīng)力分解為一個正應(yīng)力和兩個剪應(yīng)力，分別與三個坐標(biāo)軸平行。正應(yīng)力用字母σ表示。為了表明這個正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個下標(biāo)，例如：正應(yīng)力σx是作用在垂直于x軸的面上同時也沿著x軸方向作用的。2023/2/3103彈性力學(xué)的基本方法與思路剪應(yīng)力用字母τ表示，并加上兩個下標(biāo)，前一個下標(biāo)表明作用面垂直于哪一個坐標(biāo)軸，后一個下標(biāo)表明作用方向沿著哪一個坐標(biāo)軸。例如：剪應(yīng)力τxy是作用在垂直于x軸的面上而沿著y軸方向作用的。2023/2/3104彈性力學(xué)的基本方法與思路應(yīng)力的正負方向的判定如果某一個面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向為正，沿坐標(biāo)軸負方向為負。相反，如果某一個面上的外法線是沿坐標(biāo)軸的負方向，這個面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸負方向為正，沿坐標(biāo)軸正方向為負。2023/2/3105彈性力學(xué)的基本方法與思路剪應(yīng)力互等定律根據(jù)微小平行六面體的平衡條件，作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的(大小相等，正負號也相同)。即：2023/2/3106彈性力學(xué)的基本方法與思路考慮到通過彈性體中的一點總可做出三個相互垂直的坐標(biāo)平面，所以總共可得九個應(yīng)力分量。即σx，τxy，τxz，σy，τyx，τyz，σz，τzx，τzy。由于剪應(yīng)力互等，只有σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx六個應(yīng)力分量是獨立的。2023/2/3107彈性力學(xué)的基本方法與思路因此，這六個量可以完全確定該點的應(yīng)力狀態(tài)，它們就成為在該點的應(yīng)力分量。一般說來，彈性體內(nèi)各點的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)x，y，z的應(yīng)力函數(shù)。2023/2/3108彈性力學(xué)的基本方法與思路6個應(yīng)力分量的總體，可用如下應(yīng)力矢量（或列陣）來表示：2023/2/3109彈性力學(xué)的基本方法與思路2.應(yīng)變的概念為了描述彈性體內(nèi)任一點P的形變，在這一點沿著坐標(biāo)軸的正方向取三個微小線段PA=Δx，PB=Δy，PC=Δz。彈性體變形以后，這三個線段的長度以及它們之間的直角都將有所改變。線段的每單位長度的伸縮稱為正應(yīng)變，線段之間的直角的改變稱為剪應(yīng)變。2023/2/3110彈性力學(xué)的基本方法與思路2.應(yīng)變的概念正應(yīng)變正應(yīng)變用字母ε表示：εx表示x方向的線段（即PA）的正應(yīng)變，其余類推。正應(yīng)變以伸長時為正，縮短時為負，與正應(yīng)力的正負號規(guī)定相對應(yīng)。2023/2/3111彈性力學(xué)的基本方法與思路2.應(yīng)變的概念剪應(yīng)變剪應(yīng)變用字母γ表示：γxy表示x與y兩方向的線段（即PA與PB）之間的直角的改變，其余類推。剪應(yīng)變以直角變小時為正，變大時為負，與剪應(yīng)力的正負號規(guī)定相對應(yīng)（正的τxy引起正的γxy，等等）。2023/2/3112彈性力學(xué)的基本方法與思路2.應(yīng)變的概念應(yīng)變分量如果εx，εy，εz，γxy，γyz，γzx這6個應(yīng)變量在P點是巳知的，就可求得經(jīng)過該點的任一微小線段的正應(yīng)變，以及經(jīng)過該點的任意兩個微小線段之間的夾角改變，并且可求得該點的最大與最小的正應(yīng)變。因此，這6個量可以完全確定該點的形變狀態(tài)，它們就稱為在該點的應(yīng)變分量。當(dāng)然，一般說來，應(yīng)變分量也是坐標(biāo)x，y、z的函數(shù)2023/2/3113彈性力學(xué)的基本方法與思路2.應(yīng)變的概念6個應(yīng)變分量的總體，可用應(yīng)變矢量表示：2023/2/3114彈性力學(xué)的基本方法與思路3.位移的概念彈性體在受外力以后，還將發(fā)生位移和形變，也就是位置的移動和形狀的改變。

彈性體內(nèi)任一點的位移，用它在坐標(biāo)軸x，y、z上的投影u，v，w來表明，以沿坐標(biāo)軸正方向為正，沿坐標(biāo)軸負方向為負。這三個投影稱為該點的位移分量。當(dāng)然，一般說來，位移分量也是坐標(biāo)x，y、z的函數(shù)。2023/2/3115彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程應(yīng)變分量與位移分量之間有一定的幾何關(guān)系。這就是所謂幾何方程。2023/2/3116彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程6個幾何方程的總體可以用一個矩陣方程來表示2023/2/3117彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程由幾何方程可見，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時，應(yīng)變分量是完全確定的。反過來，當(dāng)應(yīng)變分量是完全確定，位移分量卻不完全確定。這是因為，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。2023/2/3118彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程例如，令2023/2/3119彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程積分以后，得2023/2/3120彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程式中u0、v0、w0、wx

、wy

、wz是積分常數(shù)。其物理意義表示的位移分量，是當(dāng)應(yīng)變分量為零時的位移，即與變形無關(guān)的位移，顯然此種位移必然是物體的剛體位移。由幾何關(guān)系不難證明：u0、v0、w0代表彈性體沿坐標(biāo)軸的剛體平動，wx、wy、wz代表彈性體繞坐標(biāo)軸的剛體轉(zhuǎn)動。2023/2/3121彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程為了完全確定彈性體的位移，必須有6個適當(dāng)?shù)募s束條件來確定這6個剛體位移。2023/2/3122彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系物理方程假定彈性體是連續(xù)的，均勻的，完全彈性的，而且是各向同性的。這樣，應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系式就是：物理方程.其第一種形式為：2023/2/3123彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系物理方程

式中的：E是拉壓彈性模量(或簡稱為彈性模量)，G是剪切彈性模量，μ是泊松比，三者之間有如下的關(guān)系：2023/2/3124彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系物理方程物理方程另一種形式為：2023/2/3125彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系物理方程簡寫成為：其中的[D]稱為彈性矩陣。2023/2/3126彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程設(shè)有受外力作用的彈性體，如圖。它在i點所受的外力沿坐標(biāo)軸分解為分量Ui

、Vi、Wi，在j點所受的外力沿坐標(biāo)軸分解為分量Uj、Vj、Wj，等等，總起來用列陣{F}表示，而這些外力引起的應(yīng)力用列陣{σ}表示。2023/2/3127彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程2023/2/3128彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程現(xiàn)在，假設(shè)彈性體發(fā)生了某種虛位移，與各個外力分量相應(yīng)的虛位移分量為ui*、vi*，wi*，uj*，vj*，wj*，等等，總起采用列陣{δ*}表示，而引起的虛應(yīng)變用列陣{ε*}表示。2023/2/3129彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程這個虛位移和虛應(yīng)變一般并不是上述實際外力引起的，更多的是我們?yōu)榱朔治鰡栴}而假想在彈性體中發(fā)生的。2023/2/3130彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程虛位移原理把虛位移原理應(yīng)用于連續(xù)彈性體，可以導(dǎo)出這樣的引理：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體是處于平衡狀態(tài)，那末，在虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上的虛功就等于(整個彈性體內(nèi))應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功。2023/2/3131彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程

在虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上的虛功是：2023/2/3132彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程在彈性體的單位體積內(nèi)，應(yīng)力在應(yīng)變上的虛功是：2023/2/3133彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程因此，在整個彈性體內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是：2023/2/3134彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程由上述推理得到

這就是彈性體的虛功方程，它通過虛位移和虛應(yīng)變表明外力與應(yīng)力之間的關(guān)系。

2023/2/3135彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題任何實際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡化為近似的平面問題，不考慮某些位移分量、應(yīng)變分量或應(yīng)力分量。這樣處理，分析和計算的工作量將大大地減少2023/2/3136彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題設(shè)有很薄的均勻薄板，如圖，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時，體力也平行于板面并且不沿厚度變化。例如平板壩的甲板支墩，以及圖中所示的深梁，都屬于此類。2023/2/3137彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題設(shè)薄板的厚度為t。以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，所以有:2023/2/3138彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題因為板很薄，外力又不沿厚度變化，所以，可以認為在整個薄板的所有各點都有:2023/2/3139彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題這樣就只剩下平行于xy面的三個應(yīng)力分量，即σx，σy

，τxy，所以這種問題就稱為平面應(yīng)力問題。2023/2/3140彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題應(yīng)力的矩陣表示簡化為2023/2/3141彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題由物理方程中的第三式可見2023/2/3142彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題εz一般不等于零,可由σx及σy求得，在分析問題時不必考慮。于是只需考慮三個形變分量εx、εy、γxy。2023/2/3143彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題物理方程簡化為:2023/2/3144彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題可以簡寫成為2023/2/3145彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題設(shè)有無限長的柱形體，它的橫截面如圖所示，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力，同時，體力也平行于橫截面而且不沿長度變化。2023/2/3146彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題此外，在這一情況下，由于對稱(任一橫截面都可以看做對稱面)，所有各點都只會有x和y方向的位移而不會有z方向的位移．即w=0。因此，這種問題稱為平面位移問題，但在習(xí)慣上常常稱為平面應(yīng)變問題。2023/2/3147彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸，則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿z方向變化，它們都只是x和y的函數(shù)。2023/2/3148彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題既然w=0，而且u及v又只是x和y的函數(shù)，由幾何方程可見εz=γyz=γzx=0。于是只剩下三個應(yīng)變分量εx、εy、γxy。2023/2/3149彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題由物理方程中的后兩式可見τyz=0，τzx=0（因為γyz=0，γzx=0）又由物理方程中的第三式可見（因為εz=0）2023/2/3150彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題由物理方程中的后兩式可見τyz=0，τzx=0（因為γyz=0，γzx=0）又由物理方程中的第三式可見（因為εz=0）2023/2/3151彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題雖然σz一般并不等于零，但它可以由σx及σy求得，在分析問題時不必考慮。于是也就只有三個應(yīng)力分量σx，σy，τxy需要考慮。這樣，物理方程就簡化為:2023/2/3152彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題2023/2/3153彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題注意對于兩種平面問題，物理方程的形式都是一樣的。但是，對于平面應(yīng)力情況下的彈性矩陣[D]卻不同于對于平面應(yīng)變情況下的彈性矩陣[D]。2023/2/3154彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題彈性體的幾何形狀、約束情況、以及所受的外力，都是繞某一軸對稱的(通過這個軸的任一平面都是對稱面)，則所有的應(yīng)力、形變和位移也就對稱于這一軸。這種問題稱為軸對稱問題。2023/2/3155彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題在描述軸對稱問題中的應(yīng)力和形變時，用圓柱坐標(biāo)r,θ,z比用直角坐標(biāo)x,y,z方便。如果以彈性體的對稱軸為z軸，則所有的應(yīng)力分量、形變分量和位移分量都將只是r和z的函數(shù)，不隨θ而變。2023/2/3156彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題用相距Δr的兩個圓柱面，互成Δθ角的兩個鉛垂面和相距Δz的兩個水平面，從彈性體割取一個微小六面體，如圖。2023/2/3157彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題沿r方向的正應(yīng)力，稱為徑向正應(yīng)力，用σr代表；沿θ方向的正應(yīng)力，稱為環(huán)向正應(yīng)力，用σθ代表；沿z方向的正應(yīng)力，稱為軸向正應(yīng)力，用σz代表；2023/2/3158彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題在垂直于z軸的面上而沿r方向作用的剪應(yīng)力用τzr代表；在圓柱面上而沿z方向作用的剪應(yīng)力用τrz代表；根據(jù)剪應(yīng)力互等定律，τzr=τrz，以后統(tǒng)一用τzr代表。2023/2/3159彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題根據(jù)對稱條件，其余的剪應(yīng)力分量τrθ=τθr及τθz=τzθ都不存在。這樣，總共只有四個應(yīng)力分量σr,σθ,σz,τzr需要考慮。相應(yīng)的形變分量也只有四個：εr,εθ,εz,γzr。2023/2/3160彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題軸對稱問題中的應(yīng)力及應(yīng)變定義為:2023/2/3161彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題

彈性體內(nèi)任意一點的位移，可以分解為兩個分量：沿r方向的位移分量，稱為徑向位移，用u代表；沿z方向的位移分量，稱為軸向位移，用w代表；由于對稱，不會有θ方向的位移（環(huán)向位移）。2023/2/3162彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題根據(jù)幾何關(guān)系，可以導(dǎo)出形變分量和位移分量之間的關(guān)系式，即幾何方程為：2023/2/3163彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題物理方程可以根據(jù)虎克定律直接寫出2023/2/3164彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題它仍然可以寫成如下簡單形式：[D]為彈性矩陣。2023/2/3165直角坐標(biāo)下平面問題的多項式解答要點——逆解法、半逆解法彈性力學(xué)求解問題的基本方法和思路2023/2/3166

多項式解法適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：考察一些簡單多項式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

，能解決什么樣的力學(xué)問題?！娼夥ㄆ渲校篴、b、c

為待定系數(shù)。檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程：顯然φ(x,y)

滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。（1）1.

一次多項式（2）（3）對應(yīng)的應(yīng)力分量：若體力：X=Y=0，則有：2023/2/3167結(jié)論1：（1）（2）一次多項式對應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；在該函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應(yīng)力無影響。2.

二次多項式（1）其中：a、b、c

為待定系數(shù)。(假定：X=Y=0;a>0,b>0,c>0)檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù))（3）由式（2-26）計算應(yīng)力分量：xy2c2c2a2a結(jié)論2：二次多項式對應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。xy2023/2/3168xy試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：xy3.

三次多項式（1）其中:a、b、c

、d為待定系數(shù)。檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù))(假定：X=Y=0)（3）由式（2-26）計算應(yīng)力分量：結(jié)論3：三次多項式對應(yīng)于線性應(yīng)力分布。2023/2/3169討論：可算得：xy1ll圖示梁對應(yīng)的邊界條件：MM可見：——對應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問題應(yīng)力分布。常數(shù)d與彎矩M的關(guān)系：(1)由梁端部的邊界條件：(2)可見：此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，說明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。2023/2/3170xy1llMM說明：(1)組成梁端力偶M

的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。(2)若按其它形式分布，如：則此結(jié)果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠處誤差較小。(3)當(dāng)l

遠大于h

時，誤差較??；反之誤差較大。4.

四次多項式（1）檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程（2）代入：得2023/2/3171可見，對于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：（3）應(yīng)力分量：——應(yīng)力分量為x、y的二次函數(shù)。（4）特例：（須滿足：a+e=0）2023/2/3172總結(jié)：（多項式應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)）

（1）多項式次數(shù)n

<4時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足。多項式次數(shù)n

≥4時，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足。多項式次數(shù)n

越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2）一次多項式，對應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應(yīng)力無影響。二次多項式，對應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項式，對應(yīng)于線性分布應(yīng)力。（3）2023/2/3173（4）用多項式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

的方法——逆解法（只能解決簡單直線應(yīng)力邊界問題）。按應(yīng)力求解平面問題，其基本未知量為：，本節(jié)說明如何由求出形變分量、位移分量？問題：2023/2/3174以純彎曲梁為例，說明如何由求出形變分量、位移分量？xyl1hMM1.

形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應(yīng)力分量為：平面應(yīng)力情況下的物理方程：（1）形變分量(a)將式（a）代入得：(b)（2）位移分量將式（b）代入幾何方程得：(c)2023/2/3175（2）位移分量(c)將式（c）前兩式積分，得：(d)將式(d)代入(c)中第三式，得：式中：為待定函數(shù)。整理得：（僅為x的函數(shù)）（僅為y的函數(shù)）要使上式成立，須有(e)式中：ω為常數(shù)。積分上式，得將上式代入式（d），得(f)2023/2/3176（1）(f)討論：式中：u0、v0、ω

由位移邊界條件確定。當(dāng)x=x0=常數(shù)（2）位移分量xyl1hMM——u關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。說明：

同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同。橫截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假設(shè)成立。2023/2/3177（2）將下式中的第二式對x求二階導(dǎo)數(shù)：說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即——材料力學(xué)中撓曲線微分方程2023/2/31782.

位移邊界條件的利用（1）兩端簡支(f)其邊界條件：將其代入(f)式，有將其代回(f)式，有(3-3)梁的撓曲線方程：——與材力中結(jié)果相同2023/2/3179（2）懸臂梁(f)邊界條件h/2h/2由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：（中點不動）（軸線在端部不轉(zhuǎn)動）代入式（f），有可求得：2023/2/3180（2）若為平面應(yīng)變問題，則將材料常數(shù)E、μ作相應(yīng)替換。（3）若取固定端邊界條件為：h/2h/2（中點不動）（中點處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）得到：求得：此結(jié)果與前面情形相同。（為什么？）2023/2/3181（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。按應(yīng)力求解平面問題的基本步驟：按應(yīng)力求解平面問題的方法：逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的φ(x,y)

的形式；（2）然后利用應(yīng)力分量計算式（2-26），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來考察這些應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

對應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

可以求解什么問題。2023/2/3182（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的關(guān)系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。——半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分量（2）（3）代入物理方程，求得應(yīng)變分量將應(yīng)變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達式；由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結(jié)果。2023/2/3183

簡支梁受均布載荷要點——用半逆解法求解梁、長板類平面問題。xyllqlql1yzh/2h/2q1.

應(yīng)力函數(shù)的確定(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（擠壓應(yīng)力）。又∵q=常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對稱，∴不隨x變化。推得：(2)由應(yīng)力分量表達式確定應(yīng)力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定函數(shù)2023/2/3184(3-4)h/2h/2撓曲線方程：與材料力學(xué)中結(jié)果相同說明：（1）求位移的過程：（a）將應(yīng)力分量代入物理方程（b）再將應(yīng)變分量代入幾何方程（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。2023/2/3185xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)——任意的待定函數(shù)(3)由確定：代入相容方程：2023/2/3186xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點：關(guān)于x的二次方程，且要求－l≤x≤l內(nèi)方程均成立。由“高等代數(shù)”理論，須有x的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：對前兩個方程積分：(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項對第三個方程得：積分得：(d)2023/2/3187(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)將(c)(d)代入(b)，有(e)此處略去了f2(y)中的一次項和常數(shù)項式中含有9個待定常數(shù)。2023/2/3188(e)2.

應(yīng)力分量的確定(f)(g)(h)2023/2/31893.

對稱條件與邊界條件的應(yīng)用（1）對稱條件的應(yīng)用：xyllqlql1yzh/2h/2q由q對稱、幾何對稱：——x的偶函數(shù)——x的奇函數(shù)由此得：要使上式對任意的y成立，須有：2023/2/3190xyllqlql1yzh/2h/2q（2）邊界條件的應(yīng)用：(a)上下邊界（主要邊界）：由此解得：代入應(yīng)力公式2023/2/3191xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)(b)左右邊界（次要邊界）：（由于對稱，只考慮右邊界即可。）——難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：軸力N=0；彎矩M=0；剪力Q=－ql；2023/2/3192(i)(j)(k)可見，這一條件自動滿足。2023/2/3193xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的應(yīng)力分布：三次拋物線2023/2/3194xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4.

與材料力學(xué)結(jié)果比較材力中幾個參數(shù)：截面寬：b=1,截面慣矩：靜矩：彎矩：剪力：將其代入式(p)，有（3-6）2023/2/3195xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）比較，得：（1）第一項與材力結(jié)果相同，為主要項。第二項為修正項。當(dāng)h/l<<1，該項誤差很小，可略；當(dāng)h/l較大時，須修正。（2）為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮。（3）與材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右邊界存在水平面力：說明式（3-6）在兩端不適用。2023/2/3196解題步驟小結(jié)：（1）（2）（3）根據(jù)問題的條件：幾何特點、受力特點、約束特點（面力分布規(guī)律、對稱性等），估計某個應(yīng)力分量（）的變化形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力函數(shù)的具體形式（具有待定函數(shù)）。（4）（5）將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù)代入相容方程：確定中的待定函數(shù)形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力分量。由邊界條件確定中的待定常數(shù)。用半逆解法求解梁、矩形長板類彈性力學(xué)平面問題的基本步驟：2023/2/3197應(yīng)力函數(shù)法求解平面問題的基本步驟：（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。求解方法：逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的φ(x,y)

的形式；（2）然后利用應(yīng)力分量計算式（2-26），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來考察這些應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

對應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

可以求解什么問題。2023/2/3198——半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的關(guān)系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分量（2）（3）代入物理方程，求得應(yīng)變分量將應(yīng)變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達式；由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結(jié)果。2023/2/31991.

應(yīng)力函數(shù)的確定(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（擠壓應(yīng)力）。又∵q=常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對稱，∴不隨x變化。推得：(2)由應(yīng)力分量表達式確定應(yīng)力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定函數(shù)簡支梁受均布載荷xyllqlql1yzh/2h/2q2023/2/3200(e)xyllqlql1yzh/2h/2q2023/2/32012.

應(yīng)力分量的確定(f)(g)(h)3.

由邊界條件確定待定常數(shù)xyllqlql1yzh/2h/2q2023/