有限元方法與ANSYS應用(修改)

2023/2/31有限元方法與ANSYS應用

FiniteElementsMethod&ANSYS張陵2023/2/32有限元方法與ANSYS應用★

課程設置的相關背景

工程問題的現(xiàn)代設計,科學研究虛擬現(xiàn)實與計算仿真近似計算的“精確逼近”2023/2/33有限元方法與ANSYS應用★

課程設置的相關背景

工程問題的研究對象：

連續(xù)體離散體混合系統(tǒng)/結構

2023/2/34有限元方法與ANSYS應用★

課程學習的目的連續(xù)體：建模與分析方法離散體：建模與分析方法

涉及的先修課程:

材料力學彈性力學有限元法

作業(yè):試總結三門課程解決問題的思路和步驟,指出其異同點.(3千字)2023/2/35有限元方法與ANSYS應用★

課程學習的準備國內(nèi)外有限元，ANSYS課程學習網(wǎng)站國內(nèi)外ANSYS應用論壇，專題網(wǎng)站

ANSYS應用的各種實例

ANSYS軟件自備上機條件自行解決2023/2/36有限元方法與ANSYS應用★

課程學習的條件課件下載:ansysxjtu@163.com密碼:ansysxjtu13課件請勿外傳!!!

作業(yè)提交:ansysxjtu@163.com作業(yè)文件名：學號+姓名+第幾次作業(yè)

例如：2013001+西交大+1

2023/2/37有限元方法與ANSYS應用★

課程學習特點“實踐出真知”★

課程學習要求

基礎理論學習與“實戰(zhàn)”結合

★

課程學習安排上課,上機,設計作業(yè)2023/2/38有限元方法與ANSYS應用課程教學主要內(nèi)容★有限元法分析的基本理論與方法★有限元建模方法及應用★

ANSYS軟件系統(tǒng)介紹★

ANSYS軟件系統(tǒng)案例分析相互交叉,相互結合2023/2/39大型通用有限元軟件ANSYS概述2023/2/310ANSYS公司是由美國匹茲堡大學力學系教授、有限元法的權威、著名力學專家JohnSwanson博士于1970年創(chuàng)建而發(fā)展起來的，其總部位于美國賓夕法尼亞州的Canonsburg(匹茲堡南部)。目前是世界CAE行業(yè)最大的公司之一。2023/2/311ANSYS軟件是融結構、流體、熱、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件。因此,它可應用于航空航天、汽車工業(yè)、生物醫(yī)學、橋梁、建筑、電子產(chǎn)品、重型機械、微機電系統(tǒng)、運動器械等工業(yè)領域。12ANSYS的產(chǎn)品家族ANSYS/FLOTRAN?ANSYS/Emag?ANSYS/Structural?ANSYS/MultiphysicsANSYS/LS-DYNA?ANSYS/Mechanical?ANSYS/LinearPlus?ANSYS/Thermal?2023/2/313ANSYS——CAE仿真分析軟件CAE(ComputerAidedEngineering)，工程設計中的計算機輔助工程.指用計算機輔助求解分析復雜工程和產(chǎn)品的結構力學性能，以及優(yōu)化結構性能等。而CAE軟件可作靜態(tài)結構分析，動態(tài)分析；研究線性、非線性問題；分析結構（固體）、流體、電磁等。2023/2/314ANSYS——CAE仿真分析軟件CAE的技術種類有很多，其中包括有限元法(FEM,即FiniteElementMethod),邊界元法(BEM,即BoundaryElementMethod)，有限差法(FDM,即FiniteDifferenceElementMethod)等。每一種方法各有其應用的領域，而其中有限元法應用的領域越來越廣，現(xiàn)已應用于結構力學、結構動力學、熱力學、流體力學、電路學、電磁學等。2023/2/315ANSYS主要包括三個部分：前處理模塊，分析計算模塊和后處理模塊。前處理模塊提供一個強大的實體建模及網(wǎng)格劃分工具，用戶可以方便地構造有限元模型；2023/2/316分析計算模塊包括結構分析（可進行線性分析、非線性分析和高度非線性分析）、流體動力學分析、電磁場分析、聲場分析、壓電分析以及多物理場的耦合分析，可模擬多種物理介質的相互作用，具有靈敏度分析及優(yōu)化分析能力；2023/2/317后處理模塊可將計算結果以彩色等值線顯示、梯度顯示、矢量顯示、粒子流跡顯示、立體切片顯示、透明及半透明顯示（可看到結構內(nèi)部）等圖形方式顯示出來，也可將計算結果以圖表、曲線形式顯示或輸出。2023/2/318ANSYS功能概覽結構分析熱分析電磁分析流體分析(CFD)耦合場分析-多物理場2023/2/3191.ANSYS結構分析

結構分析用于確定結構的變形、應變、應力及反作用力等.2023/2/3201.ANSYS結構分析結構分析的類型:靜力分析模態(tài)分析譜分析諧響應分析瞬態(tài)動力學分析動力分析2023/2/3211.ANSYS結構分析結構分析的類型:靜力分析-用于靜態(tài)載荷.可以考慮結構的線性及非線性行為，例如:大變形、大應變、應力剛化、接觸、塑性、超彈及蠕變等.2023/2/3221.ANSYS結構分析結構分析的類型:特征屈曲分析-用于計算線性屈曲載荷并確定屈曲模態(tài)形狀.(結合瞬態(tài)動力學分析可以實現(xiàn)非線性屈曲分析.)2023/2/3231.ANSYS結構分析結構分析的類型:模態(tài)分析

-計算線性結構的自振頻率及振形.譜分析

是模態(tài)分析的擴展，用于計算由于隨機振動引起的結構應力和應變(也叫作

響應譜或

PSD).2023/2/3241.ANSYS結構分析結構分析的類型:諧響應分析-確定線性結構對隨時間按正弦曲線變化的載荷的響應.2023/2/3251.ANSYS結構分析結構分析的類型:瞬態(tài)動力學分析-確定結構對隨時間任意變化的載荷的響應.可以考慮與靜力分析相同的結構非線性行為.2023/2/3261.ANSYS結構分析結構分析的類型:專項分析-

斷裂分析,復合材料分析，疲勞分析2023/2/327專項分析-

斷裂分析,復合材料分析，疲勞分析2023/2/3282.ANSYS熱分析ANSYS熱分析計算物體的穩(wěn)態(tài)或瞬態(tài)溫度分布，以及熱量的獲取或損失、熱梯度、熱通量等.2023/2/3292.ANSYS熱分析

功能:相變

(熔化及凝固),內(nèi)熱源(例如電阻發(fā)熱等)三種熱傳遞方式

(熱傳導、熱對流、熱輻射)2023/2/3302.ANSYS熱分析注意：熱分析之后往往進行結構分析,計算由于熱膨脹或收縮不均勻引起的應力.2023/2/3313.ANSYS電磁分析

磁場可由電流、永磁體、外加磁場等產(chǎn)生.磁場分析

用于計算磁場.

磁場分析中考慮的物理量是磁通量密度、磁場密度、磁力、磁力矩、阻抗、電感、渦流、能耗及磁通量泄漏等.2023/2/332磁場分析的類型:靜磁場分析

-計算直流電（DC)或永磁體產(chǎn)生的磁場.交變磁場分析-計算由于交流電(AC)產(chǎn)生的磁場.2023/2/333磁場分析的類型:瞬態(tài)磁場分析-計算隨時間隨機變化的電流或外界引起的磁場.電場分析-

用于計算電阻或電容系統(tǒng)的電場.典型的物理量有電流密度、電荷密度、電場及電阻熱等.2023/2/334磁場分析的類型:高頻電磁場分析用于微波及RF無源組件，波導、雷達系統(tǒng)、同軸連接器等分析.2023/2/3354.ANSYS流體分析流體分析分以下幾類:CFD-ANSYS/FLOTRAN

提供強大的計算流體動力學分析功能，包括不可壓縮或可壓縮流體、層流及湍流，以及多組份流等.流體分析--用于確定流體的流動及熱行為.2023/2/3364.ANSYS流體分析流體分析分以下幾類:聲學分析-考慮流體介質與周圍固體的相互作用,進行聲波傳遞或水下結構的動力學分析等.流體分析

用于確定流體的流動及熱行為.2023/2/3374.ANSYS流體分析流體分析分以下幾類:流體分析

用于確定流體的流動及熱行為.容器內(nèi)流體分析

-考慮容器內(nèi)的非流動流體的影響.可以確定由于晃動引起的靜水壓力.2023/2/3384.ANSYS流體分析流體分析分以下幾類:流體分析

用于確定流體的流動及熱行為.流體動力學耦合分析

-考慮流體約束質量的動力響應基礎上，在結構動力學分析中使用流體耦合單元.2023/2/3395.ANSYS耦合場分析耦合場分析

考慮兩個或多個物理場之間的相互作用。如果兩個物理場之間相互影響，單獨求解一個物理場是不可能得到正確結果的，因此你需要一個能夠將兩個物理場組合到一起求解的分析軟件。2023/2/3405.ANSYS耦合場分析

其他需要耦合場分析的典型情況有：熱—應力分析流體—結構相互作用聲場—結構耦合振動June3,199641ANSYS分析中通?？紤]的分析因素建模是數(shù)值仿真分析有效與否的關鍵。一般考慮下列問題：分析領域分析目標線性/非線性問題靜力/動力問題分析細節(jié)的考慮幾何模型對稱性

奇異單元類型網(wǎng)格密度單位制材料特性載荷求解器June3,199642ANSYS分析中通?？紤]的分析因素

奇異單元類型網(wǎng)格密度單位制材料特性載荷求解器

所建模型的好壞直接影響分析的精度和成本（人耗工時，計算機資源等），但通常情況下精度和成本是相互沖突。June3,199643確定合適的分析學科領域實體運動，承受壓力，或實體間存在接觸施加熱、高溫或存在溫度變化恒定的磁場或磁場電流（直流或交流）氣（液）體的運動，或受限制的氣體/液體以上各種情況的耦合結構熱磁流體電耦合場準則2023/2/344有限元方法與ANSYS應用課程學習相關網(wǎng)站2023/2/345有限元方法與ANSYS應用課程學習相關網(wǎng)站2023/2/346有限元方法與ANSYS應用課程學習相關網(wǎng)站2023/2/347有限元方法與ANSYS應用課程學習相關網(wǎng)站2023/2/348有限元方法與ANSYS應用課程學習相關網(wǎng)站2023/2/349有限元方法與ANSYS應用課程學習相關網(wǎng)站2023/2/350有限元方法與ANSYS應用課程學習相關網(wǎng)站2023/2/351有限元方法與ANSYS應用十大論壇學習ANSYS

1、安世亞太

2、仿真論壇

3、中國CAE聯(lián)盟

4、傲雪論壇

5、仿真在線

2023/2/352有限元方法與ANSYS應用十大論壇學習ANSYS

6、中國機械CAD論壇

7、開思網(wǎng)

8、

9、振動聯(lián)盟

10、

2023/2/353有限元法分析的基本理論與方法相關課程的比較2023/2/354有限元法分析的基本理論與方法相關課程的比較變形體----物體內(nèi)任意兩點之間的距離可發(fā)生相對移動.變形體有四種形變：拉伸壓縮、剪切、扭轉和彎曲。2023/2/355有限元法分析的基本理論與方法相關課程的比較材力：

借助于直觀和實驗現(xiàn)象作一些假定，如平面假設等，然后由靜力學、幾何關系、物理方程三方面進行分析。彈力：

僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分析，放棄了材力中的大部分假定。2023/2/356有限元法分析的基本理論與方法相關課程的比較材力:——常微分方程（4階，一個變量）彈力:——偏微分方程（高階，二、三個變量）。數(shù)值解法：能量法（變分法）、差分法、有限單元法等。2023/2/357作業(yè):試總結三門課程解決問題的思路和步驟,指出其異同點.(3千字)作業(yè)電子文檔名稱：學號——姓名---遞交作業(yè)次數(shù)序號2023/2/35858力學研究工程問題的一般思路工程問題力學模型數(shù)學模型數(shù)學解答觀察總結歸納概念假設等數(shù)學描述微分方程的定解問題解析解近似解數(shù)值解力學解釋物理意義工程解釋驗證指導工程實踐2023/2/359附：工程力學問題的建模分析過程2023/2/36060力學模型的建立基本原則科學性：盡可能地近似表示原型實用性：能方便地應用模型的建立——近似材料近似結構近似載荷近似模型的表述假設概念所有的力學模型均是實際問題的某種程度上的近似，受限于科技發(fā)展水平，受限于人類對該問題科學本質的認識，也受限于工程需求。2023/2/361

在建立數(shù)學模型的過程中，通常要注意分清問題的性質進行簡化：線性化

對高階小量進行處理，能進行線性化的，進行線性化。

模型建立以后，對計算的結果進行分析整理，返回實際問題進行驗證，一般通過實驗驗證：直接實驗驗證

直接實驗比較簡單時可以直接進行，但有時十分困難。相似模型實驗

相似實驗的模型一般應與實際問題的邊界條件和形態(tài)是幾何相似的。2023/2/362

工程力學問題建立力學模型的過程中，一般作三方面進行簡化：結構簡化

如空間問題向平面問題的簡化，向軸對稱問題的簡化，實體結構向板、殼結構的簡化。受力簡化

如：根據(jù)圣維南原理，復雜力系簡化為等效力系等。材料簡化根據(jù)各向同性、連續(xù)、均勻等假設進行簡化。2023/2/363結構簡化2023/2/364結構簡化對稱性的利用2023/2/365受力簡化2023/2/366

圣維南原理問題的提出：PPP

求解彈性力學問題時，使應力分量、形變分量、位移分量完全滿足8個基本方程相對容易，但要使邊界條件完全滿足，往往很困難。

如圖所示，其力的作用點處的邊界條件無法列寫。1.靜力等效的概念

兩個力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個力系為靜力等效力系。

這種等效只是從平衡的觀點而言的，對剛體來而言完全正確，但對變形體而言一般是不等效的。2023/2/3672.圣維南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應力分布將有顯著改變，而遠處所受的影響可忽略不計。PPPP/2P/22023/2/3683.圣維南原理的應用(1)對復雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。(2)有些位移邊界不易滿足時，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。如：AB主要邊界P次要邊界2023/2/369材料簡化2023/2/370工程問題的復雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復雜，數(shù)學推導的困難，將使得問題無法求解。根據(jù)問題性質，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設。使問題的研究限定在一個可行的范圍。基本假設是學科的研究基礎。

材料簡化彈性力學基本假設2023/2/371工程材料通常可以分為晶體和非晶體兩種。金屬材料——晶體材料，是由許多原子，離子按一定規(guī)則排列起來的空間格子構成，其中間經(jīng)常會有缺陷存在。高分子材料——非晶體材料，由許多分子的集合組成的分子化合物。工程材料內(nèi)部的缺陷、夾雜和孔洞等構成了固體材料微觀結構的復雜性?！?.2基本假設22023/2/37272彈性力學基本假設連續(xù)性假設完全彈性假設均勻性假設各向同性假設小位移和小形變假設材料的假設理想彈性體幾何假設2023/2/37373彈性力學：研究理想彈性體的小變形問題彈性力學問題的研究思路：已知：物體的形狀、大小、彈性常數(shù)、所受的外力和邊界約束條件，求：應力分量、應變分量和位移分量2023/2/37474基本假設與其他理學分支連續(xù)性假設：完全彈性假設：非線性彈性力學、非彈性力學均勻性假設：非均質彈性力學各向同性假設：各向異性彈性力學小位移和小形變假設：非線性彈性力學2023/2/37575751821年，克勞德·路易斯·瑪麗·亨利·納維爾(1785——1836)發(fā)表了題為“彈性體平衡和運動方程”的論文，文中首次寫出了彈性體的控制方程1829年，法國科學家西蒙·丹尼斯·泊松(1781－1840)考慮了單向拉伸時的橫向收縮問題。為紀念他的貢獻，橫向收縮與縱向伸長比值的負值被命名為泊松比。另外，泊松發(fā)現(xiàn)了橫波和縱波，開創(chuàng)了彈性動力學分析彈性力學簡史2023/2/3767676奧古斯丁·路易斯·柯西

(1789——1857)1822-1823年，在三維情況下規(guī)范了應力的概念，揭示了應力具有三階對稱張量的性質提出將面力矢量和應力張量聯(lián)系起來的柯西原理，提出主應力和主應變的概念，推廣胡克定律，建立了用應力分量表示的連續(xù)體運動方程和邊界條件給出了幾何方程，即當位移對坐標的導數(shù)遠小于1時，六個應變分量(三個拉伸分量和三個剪切分量)可以表示為位移的導數(shù)。從原子論的觀點討論了物體的彈性，利用對勢導出了所謂的彈性張量的柯西關系，指出彈性張量具有完全對稱性。2023/2/3777777彈性力學基本解及應用在十九世紀的中后期，科學家們得到了大量的彈性力學基本解，并應用于工程實踐或者解釋自然現(xiàn)象納維爾的學生圣·維南在其中做出了卓越的貢獻1853年，提出了半逆解法，并得到了梁的彎曲和非圓截面桿扭轉問題的精確解，從而檢驗了材料力學中在一定假設簡化下得到的近似解的準確程度提出了著名的圣·維南原理，為數(shù)學家和工程師創(chuàng)造了無數(shù)機遇和挑戰(zhàn)2023/2/3787878電磁學的奠基人之一，普魯士物理學家古斯塔夫·羅伯特·基爾霍夫(1824——1887)多才多藝，在彈性力學領域也頗有建樹。1876年，他出版了著作“力學”，將彈性力學的應用領域擴展到一種新的幾何構形——板，在直法線假設的前提下，他運用虛功原理和變分法導出了控制方程。在一維情況下，基爾霍夫板退化為歐拉——柏努利梁。電磁學的另一奠基人，赫爾曼·路德維?！べM迪南德·馮·亥姆霍茲(1821——1894)在彈性力學領域同樣功勛卓著。他建立了彈性自由能的概念，以他的名字命名為亥姆霍茲自由能。另外，他還利用亥姆霍茲變換得到無限大彈性體中的應力波解。2023/2/3797979體系形成(1880——1950)在這一時期，彈性力學的知識如百川逐漸匯集大海，形成了一套完整的體系代表性著作是勒夫的“關于彈性力學數(shù)學理論的論述”(1892——1893)。該部著作的問世同時標志著十九世紀整個數(shù)學物理的研究中心是彈性力學。除此之外，勒夫本人還在點源解和勒夫波等方面對彈性力學做出貢獻2023/2/3808080鐵木辛柯

（1878-1972）

彈性力學在工程領域的廣泛應用應歸功于鐵木辛柯的巨大熱情。鐵木辛柯出身于前俄羅斯貴族，師從空氣動力學之父普朗特。他尤其熱心于彈性力學的工程應用，在彈性地基梁、鐵木辛柯梁、板殼力學和彈性振動等方面都做出了巨大的貢獻。鐵木辛柯不僅是一位科學家、工程師，同時也是一名偉大的教育家。由他編寫的教材幾十年來一直在美國工學院使用。他同馮·卡門一起促進了應用力學在美國的繁榮。經(jīng)典教材：《材料力學》、《高等材料力學》、《結構力學》、《工程力學》、《高等動力學》、《彈性力學》、《彈性穩(wěn)定性理論》、《工程中的振動問題》、《板殼理論》和《材料力學史》等2023/2/3818181分支發(fā)展(1950——至今)1950年荷蘭力學家和工程師K.T.Koiter提出彈性穩(wěn)定性的概念，隨后有關靜力穩(wěn)定性、運動穩(wěn)定性和動力穩(wěn)定性和缺陷敏感性的問題也被提出，并充分地加以研究。2023/2/3828282斷裂力學的先驅是英國航空工程師A.A.Griffith提出了脆斷準則：如果裂紋擴展釋放的彈性應變能等于產(chǎn)生新表面所做的功，則裂紋處于臨界擴展狀態(tài)。從二十世紀中葉以來斷裂力學一直處于固體力學研究的中心地位，主要推動力是對第二次世界大戰(zhàn)期間造成美國海軍艦隊重大損失的原因的研究以及美國物理學家和工程師GeorgeR.Irwin投入的巨大熱情與精力1957年Irwin提出應力強度因子的概念，用來度量裂尖附近應力場的強度在Irwin的大力推動下，從十九世紀40年代一直延續(xù)到二十一世紀，在裂紋擴展和結構破壞方面出現(xiàn)了大量成果，包括疲勞裂紋和應力腐蝕導致裂紋1968年，美國力學家和地學家J.R.Rice奠定了非線性斷裂力學的基礎。斷裂力學中的關鍵參量，能量釋放率G

，應力強度因子K

和

J－積分分別用來紀念Griffith,Irwin和Rice的對這一領域的貢獻。

A.Griffith(1893——1963)2023/2/3838383有限元方法(FiniteElementMethod)1943年數(shù)學家RichardCourant描述了有限元的理論框架50到60年代，這一理論在幾個國家獨立的發(fā)展，并編制了可用于工程計算的計算機程序。代表學者有美國航空工程師M.J.Taylor和RayW.Clough，英國土木工程師J.H.Argyris和O.C.Zienkiewicz，以及中國數(shù)學家馮康有限元方法源于求解彈性力學問題，它的發(fā)展超出這一領域，成為計算力學的基本組成部分，目前又被進一步應用到材料微結構、生物力學和醫(yī)學領域。有限元方法(FEM)的發(fā)明為工程領域提供了基本的計算工具2023/2/3848484最新進展：大變形彈性理論是經(jīng)典彈性力學未開發(fā)的處女地橡膠之類的高分子材料的廣泛應用使得建立彈性大變形理論成為必需1960年，英國應用數(shù)學家和工程師RonaldS.Rivlin給出了拉伸、扭轉、彎曲和翻轉在彈性大變形下的解。他還致力于各向同性彈性的張量表示理論，提出著名的Rivlin-Ericksen定理。他的其他貢獻還包括提出Mooney-Rivlin理論，精確地描述了橡膠彈性2023/2/3858585力學是最早形成科學體系的一門學科。物理學的建立是從力學開始的，當物理學擺脫力學發(fā)展時，力學則在工程技術的推動下按自身邏輯進一步演化，最終，力學和物理學各自發(fā)展成為自然學科中兩個相互獨立的、自成體系的學科分類。力學既是基礎科學又是技術科學的二重性，為溝通人類認識自然和改造自然兩個方面作出了突出貢獻，力學工作者為此而自豪。2023/2/38686連續(xù)性假設說明：1、工程材料都是非連續(xù)的，但其非連續(xù)性通常表現(xiàn)在細觀甚至微觀尺度，空隙的尺度遠遠小于研究物體的尺度，從宏觀上，可以近似認為是連續(xù)的2、對于宏觀尺度的非連續(xù)性問題，是彈性力學的研究范疇假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙物理量連續(xù)，用坐標的連續(xù)函數(shù)描述保證中極限的存在2023/2/3871.連續(xù)性假設

——假設所研究的整個彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質所充滿，各個質點之間不存在任何空隙?！冃魏笕匀槐３诌B續(xù)性，不出現(xiàn)開裂和重疊。根據(jù)這一假設，物體所有物理量，例如位移、應變和應力等均為空間坐標的連續(xù)函數(shù)。2023/2/3881.連續(xù)性假定

該假定在研究物體的宏觀力學特性時，與工程實際吻合較好；研究物體的微觀力學性質時不適用。使得σ、ε、u

等量表示成坐標的連續(xù)函數(shù)。保證中極限的存在。2023/2/38989完全彈性假設應力-應變關系是線性、單值的常系數(shù)微分方程說明：1、脆性材料：在應力未超過比例極限時，可近似為完全彈性體2、塑性材料：在應力未達到屈服極限時，可近似為完全彈性體3、非線性彈性體、非彈性體的問題，不是彈性力學的研究范疇假定物體完全服從胡克定律，應變和引起該應變的那個應力分量成比例，且比例系數(shù)為常數(shù)2023/2/3902.完全彈性假設——對應一定的溫度，如果應力和應變之間存在一一對應關系，而且這個關系和時間無關，也和變形歷史無關，稱為完全彈性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學研究限于線性的應力與應變關系。2023/2/39191均勻性假設假設整個物體是由同一材料組成的各部分彈性相同、彈性常數(shù)與坐標無關微元代表整體說明：1、工程材料都是非均勻的，但其非均勻性通常表現(xiàn)在細觀甚至微觀尺度，從宏觀上，可以近似認為是均勻的2、對于宏觀非均勻的材料，彈性力學的研究方法仍然適用，但基本方程將有所不同2023/2/3923.均勻性假設

——假設彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個部分的物理性質都是相同的，不隨坐標位置的變化而改變。——物體的彈性性質處處都是相同的。工程材料，例如混凝土顆粒遠遠小于物體的的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。彈性常數(shù)（E、μ）——不隨位置坐標而變化；取微元體分析的結果可應用于整個物體。2023/2/39393各向同性假設彈性常數(shù)與方向無關說明：1、一般工程材料，都在不同的尺度上表現(xiàn)出或強或弱的各向異性，但在很多時候，可以忽略各向異性的影響，尤其是各項異性主要表現(xiàn)在微觀尺度上的時候2、對于宏觀各項異性彈性體，可以應用彈性力學的研究方法物體內(nèi)一點的彈性所有各個方向均相同2023/2/3944.各向同性假設——假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質，這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標方向的改變而變化。

——宏觀假設，材料性能是顯示各向同性。如金屬材料.當然，像木材，竹子以及纖維增強材料等，屬于各向異性材料。這些材料的研究屬于復合材料力學研究的對象。彈性常數(shù)（E、μ）——不隨坐標方向而變化；2023/2/395

材料的均勻性假設與各向同性假設的區(qū)別

均勻性和各向同性是完全不同的性質，不應混淆。如用矢量的長短來表示材料某力學性能的強弱，則圖a表示均勻而非各向同性的材料；圖b表示各向同性而非均勻的材料；圖c表示均勻且各向同性的材料。(a)(b)(c)2023/2/39696小位移和小形變假設建立變形后的平衡方程時，可以用變形前的尺寸代替而不因其顯著的誤差假定位移均遠遠小于物體原來的尺寸假定正應變和剪應變均遠遠小于1應變和轉角的二次冪或乘積均可略去方程線性化2023/2/3975.小變形假設——假設在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量。即物體受力后物體內(nèi)各點位移遠遠小物體的原來的尺寸?！趶椥泽w的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化?？捎米冃吻暗某叽绱孀冃魏蟮某叽?。——建立方程時，可略去位移、應變和應力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。2023/2/398——假設物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內(nèi)部沒有應力。彈性力學求解的應力僅僅是荷載或溫度變化而產(chǎn)生的。若存在初應力，理論求得的應力應疊加初應力才是實際應力。6.無初始應力的附加假設2023/2/399扭轉問題的附加假設柱體扭轉橫截面翹曲自由扭轉——翹曲不受限制-等翹曲剛性轉動假設約束扭轉——翹曲受到限制-軸向力彈性力學討論自由扭轉2023/2/3100彈性力學的基本方法與思路

彈性力學有應力、應變和位移三大類變量，它所依據(jù)的基本規(guī)律有三個：變形連續(xù)規(guī)律、應力-應變關系和運動(或平衡)規(guī)律，它們有時被稱為彈性力學三大基本規(guī)律。彈性力學中許多定理、公式和結論等，都可以從三大基本規(guī)律推導出來。2023/2/3101彈性力學的基本方法與思路1.應力的概念彈性體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生應力。為了描述彈性體內(nèi)某一點P的應力，在這一點從彈性體內(nèi)割取一個微小的平行六面體PABC，它的六面分別垂直于相應的坐標軸，如圖1。2023/2/3102彈性力學的基本方法與思路從圖中看出：將每一面上的應力分解為一個正應力和兩個剪應力，分別與三個坐標軸平行。正應力用字母σ表示。為了表明這個正應力的作用面和作用方向，加上一個下標，例如：正應力σx是作用在垂直于x軸的面上同時也沿著x軸方向作用的。2023/2/3103彈性力學的基本方法與思路剪應力用字母τ表示，并加上兩個下標，前一個下標表明作用面垂直于哪一個坐標軸，后一個下標表明作用方向沿著哪一個坐標軸。例如：剪應力τxy是作用在垂直于x軸的面上而沿著y軸方向作用的。2023/2/3104彈性力學的基本方法與思路應力的正負方向的判定如果某一個面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個面上的應力就以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。相反，如果某一個面上的外法線是沿坐標軸的負方向，這個面上的應力就以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負。2023/2/3105彈性力學的基本方法與思路剪應力互等定律根據(jù)微小平行六面體的平衡條件，作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應力是互等的(大小相等，正負號也相同)。即：2023/2/3106彈性力學的基本方法與思路考慮到通過彈性體中的一點總可做出三個相互垂直的坐標平面，所以總共可得九個應力分量。即σx，τxy，τxz，σy，τyx，τyz，σz，τzx，τzy。由于剪應力互等，只有σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx六個應力分量是獨立的。2023/2/3107彈性力學的基本方法與思路因此，這六個量可以完全確定該點的應力狀態(tài)，它們就成為在該點的應力分量。一般說來，彈性體內(nèi)各點的應力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應力狀態(tài)的上述六個應力分量并不是常量，而是坐標x，y，z的應力函數(shù)。2023/2/3108彈性力學的基本方法與思路6個應力分量的總體，可用如下應力矢量（或列陣）來表示：2023/2/3109彈性力學的基本方法與思路2.應變的概念為了描述彈性體內(nèi)任一點P的形變，在這一點沿著坐標軸的正方向取三個微小線段PA=Δx，PB=Δy，PC=Δz。彈性體變形以后，這三個線段的長度以及它們之間的直角都將有所改變。線段的每單位長度的伸縮稱為正應變，線段之間的直角的改變稱為剪應變。2023/2/3110彈性力學的基本方法與思路2.應變的概念正應變正應變用字母ε表示：εx表示x方向的線段（即PA）的正應變，其余類推。正應變以伸長時為正，縮短時為負，與正應力的正負號規(guī)定相對應。2023/2/3111彈性力學的基本方法與思路2.應變的概念剪應變剪應變用字母γ表示：γxy表示x與y兩方向的線段（即PA與PB）之間的直角的改變，其余類推。剪應變以直角變小時為正，變大時為負，與剪應力的正負號規(guī)定相對應（正的τxy引起正的γxy，等等）。2023/2/3112彈性力學的基本方法與思路2.應變的概念應變分量如果εx，εy，εz，γxy，γyz，γzx這6個應變量在P點是巳知的，就可求得經(jīng)過該點的任一微小線段的正應變，以及經(jīng)過該點的任意兩個微小線段之間的夾角改變，并且可求得該點的最大與最小的正應變。因此，這6個量可以完全確定該點的形變狀態(tài)，它們就稱為在該點的應變分量。當然，一般說來，應變分量也是坐標x，y、z的函數(shù)2023/2/3113彈性力學的基本方法與思路2.應變的概念6個應變分量的總體，可用應變矢量表示：2023/2/3114彈性力學的基本方法與思路3.位移的概念彈性體在受外力以后，還將發(fā)生位移和形變，也就是位置的移動和形狀的改變。

彈性體內(nèi)任一點的位移，用它在坐標軸x，y、z上的投影u，v，w來表明，以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。這三個投影稱為該點的位移分量。當然，一般說來，位移分量也是坐標x，y、z的函數(shù)。2023/2/3115彈性力學的基本方法與思路4.位移、應力、應變之間的相互關系幾何方程應變分量與位移分量之間有一定的幾何關系。這就是所謂幾何方程。2023/2/3116彈性力學的基本方法與思路4.位移、應力、應變之間的相互關系幾何方程6個幾何方程的總體可以用一個矩陣方程來表示2023/2/3117彈性力學的基本方法與思路4.位移、應力、應變之間的相互關系幾何方程由幾何方程可見，當彈性體的位移分量完全確定時，應變分量是完全確定的。反過來，當應變分量是完全確定，位移分量卻不完全確定。這是因為，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。2023/2/3118彈性力學的基本方法與思路4.位移、應力、應變之間的相互關系幾何方程例如，令2023/2/3119彈性力學的基本方法與思路4.位移、應力、應變之間的相互關系幾何方程積分以后，得2023/2/3120彈性力學的基本方法與思路4.位移、應力、應變之間的相互關系幾何方程式中u0、v0、w0、wx

、wy

、wz是積分常數(shù)。其物理意義表示的位移分量，是當應變分量為零時的位移，即與變形無關的位移，顯然此種位移必然是物體的剛體位移。由幾何關系不難證明：u0、v0、w0代表彈性體沿坐標軸的剛體平動，wx、wy、wz代表彈性體繞坐標軸的剛體轉動。2023/2/3121彈性力學的基本方法與思路4.位移、應力、應變之間的相互關系幾何方程為了完全確定彈性體的位移，必須有6個適當?shù)募s束條件來確定這6個剛體位移。2023/2/3122彈性力學的基本方法與思路4.位移、應力、應變之間的相互關系物理方程假定彈性體是連續(xù)的，均勻的，完全彈性的，而且是各向同性的。這樣，應力分量與應變分量之間的關系式就是：物理方程.其第一種形式為：2023/2/3123彈性力學的基本方法與思路4.位移、應力、應變之間的相互關系物理方程

式中的：E是拉壓彈性模量(或簡稱為彈性模量)，G是剪切彈性模量，μ是泊松比，三者之間有如下的關系：2023/2/3124彈性力學的基本方法與思路4.位移、應力、應變之間的相互關系物理方程物理方程另一種形式為：2023/2/3125彈性力學的基本方法與思路4.位移、應力、應變之間的相互關系物理方程簡寫成為：其中的[D]稱為彈性矩陣。2023/2/3126彈性力學的基本方法與思路5.外力與應力之間的相互關系平衡方程----虛功及虛功方程設有受外力作用的彈性體，如圖。它在i點所受的外力沿坐標軸分解為分量Ui

、Vi、Wi，在j點所受的外力沿坐標軸分解為分量Uj、Vj、Wj，等等，總起來用列陣{F}表示，而這些外力引起的應力用列陣{σ}表示。2023/2/3127彈性力學的基本方法與思路5.外力與應力之間的相互關系平衡方程----虛功及虛功方程2023/2/3128彈性力學的基本方法與思路5.外力與應力之間的相互關系平衡方程----虛功及虛功方程現(xiàn)在，假設彈性體發(fā)生了某種虛位移，與各個外力分量相應的虛位移分量為ui*、vi*，wi*，uj*，vj*，wj*，等等，總起采用列陣{δ*}表示，而引起的虛應變用列陣{ε*}表示。2023/2/3129彈性力學的基本方法與思路5.外力與應力之間的相互關系平衡方程----虛功及虛功方程這個虛位移和虛應變一般并不是上述實際外力引起的，更多的是我們?yōu)榱朔治鰡栴}而假想在彈性體中發(fā)生的。2023/2/3130彈性力學的基本方法與思路5.外力與應力之間的相互關系平衡方程----虛功及虛功方程虛位移原理把虛位移原理應用于連續(xù)彈性體，可以導出這樣的引理：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體是處于平衡狀態(tài)，那末，在虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上的虛功就等于(整個彈性體內(nèi))應力在虛應變上的虛功。2023/2/3131彈性力學的基本方法與思路5.外力與應力之間的相互關系平衡方程----虛功及虛功方程

在虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上的虛功是：2023/2/3132彈性力學的基本方法與思路5.外力與應力之間的相互關系平衡方程----虛功及虛功方程在彈性體的單位體積內(nèi)，應力在應變上的虛功是：2023/2/3133彈性力學的基本方法與思路5.外力與應力之間的相互關系平衡方程----虛功及虛功方程因此，在整個彈性體內(nèi)，應力在虛應變上的虛功是：2023/2/3134彈性力學的基本方法與思路5.外力與應力之間的相互關系平衡方程----虛功及虛功方程由上述推理得到

這就是彈性體的虛功方程，它通過虛位移和虛應變表明外力與應力之間的關系。

2023/2/3135彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題任何實際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、應變分量和應力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡化為近似的平面問題，不考慮某些位移分量、應變分量或應力分量。這樣處理，分析和計算的工作量將大大地減少2023/2/3136彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應力問題設有很薄的均勻薄板，如圖，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時，體力也平行于板面并且不沿厚度變化。例如平板壩的甲板支墩，以及圖中所示的深梁，都屬于此類。2023/2/3137彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應力問題設薄板的厚度為t。以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，所以有:2023/2/3138彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應力問題因為板很薄，外力又不沿厚度變化，所以，可以認為在整個薄板的所有各點都有:2023/2/3139彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應力問題這樣就只剩下平行于xy面的三個應力分量，即σx，σy

，τxy，所以這種問題就稱為平面應力問題。2023/2/3140彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應力問題應力的矩陣表示簡化為2023/2/3141彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應力問題由物理方程中的第三式可見2023/2/3142彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應力問題εz一般不等于零,可由σx及σy求得，在分析問題時不必考慮。于是只需考慮三個形變分量εx、εy、γxy。2023/2/3143彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應力問題物理方程簡化為:2023/2/3144彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應力問題可以簡寫成為2023/2/3145彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應變問題設有無限長的柱形體，它的橫截面如圖所示，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力，同時，體力也平行于橫截面而且不沿長度變化。2023/2/3146彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應變問題此外，在這一情況下，由于對稱(任一橫截面都可以看做對稱面)，所有各點都只會有x和y方向的位移而不會有z方向的位移．即w=0。因此，這種問題稱為平面位移問題，但在習慣上常常稱為平面應變問題。2023/2/3147彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應變問題以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸，則所有一切應力分量、應變分量和位移分量都不沿z方向變化，它們都只是x和y的函數(shù)。2023/2/3148彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應變問題既然w=0，而且u及v又只是x和y的函數(shù)，由幾何方程可見εz=γyz=γzx=0。于是只剩下三個應變分量εx、εy、γxy。2023/2/3149彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應變問題由物理方程中的后兩式可見τyz=0，τzx=0（因為γyz=0，γzx=0）又由物理方程中的第三式可見（因為εz=0）2023/2/3150彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應變問題由物理方程中的后兩式可見τyz=0，τzx=0（因為γyz=0，γzx=0）又由物理方程中的第三式可見（因為εz=0）2023/2/3151彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應變問題雖然σz一般并不等于零，但它可以由σx及σy求得，在分析問題時不必考慮。于是也就只有三個應力分量σx，σy，τxy需要考慮。這樣，物理方程就簡化為:2023/2/3152彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應變問題2023/2/3153彈性力學的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應變問題注意對于兩種平面問題，物理方程的形式都是一樣的。但是，對于平面應力情況下的彈性矩陣[D]卻不同于對于平面應變情況下的彈性矩陣[D]。2023/2/3154彈性力學的基本方法與思路7.軸對稱問題彈性體的幾何形狀、約束情況、以及所受的外力，都是繞某一軸對稱的(通過這個軸的任一平面都是對稱面)，則所有的應力、形變和位移也就對稱于這一軸。這種問題稱為軸對稱問題。2023/2/3155彈性力學的基本方法與思路7.軸對稱問題在描述軸對稱問題中的應力和形變時，用圓柱坐標r,θ,z比用直角坐標x,y,z方便。如果以彈性體的對稱軸為z軸，則所有的應力分量、形變分量和位移分量都將只是r和z的函數(shù)，不隨θ而變。2023/2/3156彈性力學的基本方法與思路7.軸對稱問題用相距Δr的兩個圓柱面，互成Δθ角的兩個鉛垂面和相距Δz的兩個水平面，從彈性體割取一個微小六面體，如圖。2023/2/3157彈性力學的基本方法與思路7.軸對稱問題沿r方向的正應力，稱為徑向正應力，用σr代表；沿θ方向的正應力，稱為環(huán)向正應力，用σθ代表；沿z方向的正應力，稱為軸向正應力，用σz代表；2023/2/3158彈性力學的基本方法與思路7.軸對稱問題在垂直于z軸的面上而沿r方向作用的剪應力用τzr代表；在圓柱面上而沿z方向作用的剪應力用τrz代表；根據(jù)剪應力互等定律，τzr=τrz，以后統(tǒng)一用τzr代表。2023/2/3159彈性力學的基本方法與思路7.軸對稱問題根據(jù)對稱條件，其余的剪應力分量τrθ=τθr及τθz=τzθ都不存在。這樣，總共只有四個應力分量σr,σθ,σz,τzr需要考慮。相應的形變分量也只有四個：εr,εθ,εz,γzr。2023/2/3160彈性力學的基本方法與思路7.軸對稱問題軸對稱問題中的應力及應變定義為:2023/2/3161彈性力學的基本方法與思路7.軸對稱問題

彈性體內(nèi)任意一點的位移，可以分解為兩個分量：沿r方向的位移分量，稱為徑向位移，用u代表；沿z方向的位移分量，稱為軸向位移，用w代表；由于對稱，不會有θ方向的位移（環(huán)向位移）。2023/2/3162彈性力學的基本方法與思路7.軸對稱問題根據(jù)幾何關系，可以導出形變分量和位移分量之間的關系式，即幾何方程為：2023/2/3163彈性力學的基本方法與思路7.軸對稱問題物理方程可以根據(jù)虎克定律直接寫出2023/2/3164彈性力學的基本方法與思路7.軸對稱問題它仍然可以寫成如下簡單形式：[D]為彈性矩陣。2023/2/3165直角坐標下平面問題的多項式解答要點——逆解法、半逆解法彈性力學求解問題的基本方法和思路2023/2/3166

多項式解法適用性：由一些直線邊界構成的彈性體。目的：考察一些簡單多項式函數(shù)作為應力函數(shù)φ(x,y)

，能解決什么樣的力學問題?！娼夥ㄆ渲校篴、b、c

為待定系數(shù)。檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程：顯然φ(x,y)

滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應力函數(shù)。（1）1.

一次多項式（2）（3）對應的應力分量：若體力：X=Y=0，則有：2023/2/3167結論1：（1）（2）一次多項式對應于無體力和無應力狀態(tài)；在該函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應力無影響。2.

二次多項式（1）其中：a、b、c

為待定系數(shù)。(假定：X=Y=0;a>0,b>0,c>0)檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應力函數(shù))（3）由式（2-26）計算應力分量：xy2c2c2a2a結論2：二次多項式對應于均勻應力分布。xy2023/2/3168xy試求圖示板的應力函數(shù)。例：xy3.

三次多項式（1）其中:a、b、c

、d為待定系數(shù)。檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應力函數(shù))(假定：X=Y=0)（3）由式（2-26）計算應力分量：結論3：三次多項式對應于線性應力分布。2023/2/3169討論：可算得：xy1ll圖示梁對應的邊界條件：MM可見：——對應于矩形截面梁的純彎曲問題應力分布。常數(shù)d與彎矩M的關系：(1)由梁端部的邊界條件：(2)可見：此結果與材力中結果相同，說明材力中純彎曲梁的應力結果是正確的。2023/2/3170xy1llMM說明：(1)組成梁端力偶M

的面力須線性分布，且中心處為零，結果才是精確的。(2)若按其它形式分布，如：則此結果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠處誤差較小。(3)當l

遠大于h

時，誤差較小；反之誤差較大。4.

四次多項式（1）檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程（2）代入：得2023/2/3171可見，對于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關系才能作為應函數(shù)：（3）應力分量：——應力分量為x、y的二次函數(shù)。（4）特例：（須滿足：a+e=0）2023/2/3172總結：（多項式應力函數(shù)的性質）

（1）多項式次數(shù)n

<4時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足。多項式次數(shù)n

≥4時，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足。多項式次數(shù)n

越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2）一次多項式，對應于無體力和無應力狀態(tài)；任意應力函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應力無影響。二次多項式，對應均勻應力狀態(tài)，即全部應力為常量；三次多項式，對應于線性分布應力。（3）2023/2/3173（4）用多項式構造應力函數(shù)φ(x,y)

的方法——逆解法（只能解決簡單直線應力邊界問題）。按應力求解平面問題，其基本未知量為：，本節(jié)說明如何由求出形變分量、位移分量？問題：2023/2/3174以純彎曲梁為例，說明如何由求出形變分量、位移分量？xyl1hMM1.

形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應力分量為：平面應力情況下的物理方程：（1）形變分量(a)將式（a）代入得：(b)（2）位移分量將式（b）代入幾何方程得：(c)2023/2/3175（2）位移分量(c)將式（c）前兩式積分，得：(d)將式(d)代入(c)中第三式，得：式中：為待定函數(shù)。整理得：（僅為x的函數(shù)）（僅為y的函數(shù)）要使上式成立，須有(e)式中：ω為常數(shù)。積分上式，得將上式代入式（d），得(f)2023/2/3176（1）(f)討論：式中：u0、v0、ω

由位移邊界條件確定。當x=x0=常數(shù)（2）位移分量xyl1hMM——u關于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉角。說明：

同一截面上的各鉛垂線段轉角相同。橫截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假設成立。2023/2/3177（2）將下式中的第二式對x求二階導數(shù)：說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即——材料力學中撓曲線微分方程2023/2/31782.

位移邊界條件的利用（1）兩端簡支(f)其邊界條件：將其代入(f)式，有將其代回(f)式，有(3-3)梁的撓曲線方程：——與材力中結果相同2023/2/3179（2）懸臂梁(f)邊界條件h/2h/2由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：（中點不動）（軸線在端部不轉動）代入式（f），有可求得：2023/2/3180（2）若為平面應變問題，則將材料常數(shù)E、μ作相應替換。（3）若取固定端邊界條件為：h/2h/2（中點不動）（中點處豎向線段轉角為零）得到：求得：此結果與前面情形相同。（為什么？）2023/2/3181（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應力分量：先由方程（2-27）求出應力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。按應力求解平面問題的基本步驟：按應力求解平面問題的方法：逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設各種滿足相容方程（2-27）的φ(x,y)

的形式；（2）然后利用應力分量計算式（2-26），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應力邊界條件式（2-18），來考察這些應力函數(shù)φ(x,y)

對應什么樣的邊界面力問題，從而得知所設應力函數(shù)φ(x,y)

可以求解什么問題。2023/2/3182（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設部分應力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應力函數(shù)φ(x,y)的關系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。——半逆解法的數(shù)學基礎：數(shù)理方程中分離變量法。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應力分量（2）（3）代入物理方程，求得應變分量將應變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達式；由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結果。2023/2/3183

簡支梁受均布載荷要點——用半逆解法求解梁、長板類平面問題。xyllqlql1yzh/2h/2q1.

應力函數(shù)的確定(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（擠壓應力）。又∵q=常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱，∴不隨x變化。推得：(2)由應力分量表達式確定應力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定函數(shù)2023/2/3184(3-4)h/2h/2撓曲線方程：與材料力學中結果相同說明：（1）求位移的過程：（a）將應力分量代入物理方程（b）再將應變分量代入幾何方程（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。2023/2/3185xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)——任意的待定函數(shù)(3)由確定：代入相容方程：2023/2/3186xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點：關于x的二次方程，且要求－l≤x≤l內(nèi)方程均成立。由“高等代數(shù)”理論，須有x的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：對前兩個方程積分：(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項對第三個方程得：積分得：(d)2023/2/3187(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)將(c)(d)代入(b)，有(e)此處略去了f2(y)中的一次項和常數(shù)項式中含有9個待定常數(shù)。2023/2/3188(e)2.

應力分量的確定(f)(g)(h)2023/2/31893.

對稱條件與邊界條件的應用（1）對稱條件的應用：xyllqlql1yzh/2h/2q由q對稱、幾何對稱：——x的偶函數(shù)——x的奇函數(shù)由此得：要使上式對任意的y成立，須有：2023/2/3190xyllqlql1yzh/2h/2q（2）邊界條件的應用：(a)上下邊界（主要邊界）：由此解得：代入應力公式2023/2/3191xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)(b)左右邊界（次要邊界）：（由于對稱，只考慮右邊界即可。）——難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：軸力N=0；彎矩M=0；剪力Q=－ql；2023/2/3192(i)(j)(k)可見，這一條件自動滿足。2023/2/3193xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的應力分布：三次拋物線2023/2/3194xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4.

與材料力學結果比較材力中幾個參數(shù)：截面寬：b=1,截面慣矩：靜矩：彎矩：剪力：將其代入式(p)，有（3-6）2023/2/3195xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）比較，得：（1）第一項與材力結果相同，為主要項。第二項為修正項。當h/l<<1，該項誤差很小，可略；當h/l較大時，須修正。（2）為梁各層纖維間的擠壓應力，材力中不考慮。（3）與材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右邊界存在水平面力：說明式（3-6）在兩端不適用。2023/2/3196解題步驟小結：（1）（2）（3）根據(jù)問題的條件：幾何特點、受力特點、約束特點（面力分布規(guī)律、對稱性等），估計某個應力分量（）的變化形式。由與應力函數(shù)的關系式（2-26），求得應力函數(shù)的具體形式（具有待定函數(shù)）。（4）（5）將具有待定函數(shù)的應力函數(shù)代入相容方程：確定中的待定函數(shù)形式。由與應力函數(shù)的關系式（2-26），求得應力分量。由邊界條件確定中的待定常數(shù)。用半逆解法求解梁、矩形長板類彈性力學平面問題的基本步驟：2023/2/3197應力函數(shù)法求解平面問題的基本步驟：（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應力分量：先由方程（2-27）求出應力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。求解方法：逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設各種滿足相容方程（2-27）的φ(x,y)

的形式；（2）然后利用應力分量計算式（2-26），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應力邊界條件式（2-18），來考察這些應力函數(shù)φ(x,y)

對應什么樣的邊界面力問題，從而得知所設應力函數(shù)φ(x,y)

可以求解什么問題。2023/2/3198——半逆解法的數(shù)學基礎：數(shù)理方程中分離變量法。（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設部分應力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應力函數(shù)φ(x,y)的關系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應力分量（2）（3）代入物理方程，求得應變分量將應變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達式；由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結果。2023/2/31991.

應力函數(shù)的確定(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（擠壓應力）。又∵q=常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱，∴不隨x變化。推得：(2)由應力分量表達式確定應力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定函數(shù)簡支梁受均布載荷xyllqlql1yzh/2h/2q2023/2/3200(e)xyllqlql1yzh/2h/2q2023/2/32012.

應力分量的確定(f)(g)(h)3.

由邊界條件確定待定常數(shù)xyllqlql1yzh/2h/2q2023/