本科少學(xué)時(shí)高階導(dǎo)數(shù)

第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

設(shè)y=f(x),若y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo),則f‘(x)是x的函數(shù).若這個(gè)函數(shù)f’(x)在區(qū)間I內(nèi)一點(diǎn)x0處仍可導(dǎo)的,則其導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為f(x)在點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù).在一點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一般,設(shè)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y‘=f’(x)在區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱(chēng)記f‘(x)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)二階導(dǎo)數(shù)）二階導(dǎo)數(shù).稱(chēng)為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)：高階導(dǎo)數(shù)定義：稱(chēng)為f(x)的三階導(dǎo)數(shù).稱(chēng)為f(x)的n階導(dǎo)數(shù).二階以上的導(dǎo)數(shù)都稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù).為統(tǒng)一符號(hào),有時(shí)記f(0)=f,y(1)=y',y(2)=y''.高階導(dǎo)數(shù)的記法：注：求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求一階導(dǎo)數(shù)，所以只需應(yīng)用基本的求導(dǎo)方法就能計(jì)算出高階導(dǎo)數(shù)。例1.

設(shè)物體作變速運(yùn)動(dòng).在[0,t]這段時(shí)間內(nèi)所走路程為S=S(t),指出S''(t)的物理意義.解:

我們知道,S'=V(t).而S''=V'(t)注意到,V=V(t+t)V(t)表示在[t,t+t]這段時(shí)間內(nèi)速度V(t)的增量(改變量).從而故即,S''=V'(t)=a(t)為物體在時(shí)刻t的加速度.二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則例2.

設(shè)求解:特別有:例3.

求y=sinx的n階導(dǎo)數(shù)y(n).解:

我們知道y'=cosx,y''=–sinx,y(3)=–cosx,y(4)=sinx,…但y(n)的通項(xiàng)公式難寫(xiě),并且不好記.從而=cosx例4.

設(shè)y=sin2x,求y(n).解:

y'=(sin2x)'y''=(sin2x)'=sin2x.=2sinxcox……例3的變形例5.

求

的n階導(dǎo)數(shù).解:……一般地，由數(shù)學(xué)歸納法可得例6.

求y=ln(1+x)的n階導(dǎo)數(shù).解:……例6.求冪函數(shù)（n為正整數(shù)）的各階導(dǎo)數(shù)。解由冪函數(shù)的求導(dǎo)公式得由此可見(jiàn)，對(duì)于正整數(shù)冪函數(shù)xn，每求導(dǎo)一次，其冪次降低1，第n階導(dǎo)數(shù)為一常數(shù)，大于n階的導(dǎo)數(shù)都等于0。例7.求冪函數(shù)（為任意常數(shù)）的各階導(dǎo)數(shù)。解:……一般地，由數(shù)學(xué)歸納法可得例8.

解:

y'=nxn–1,y''=n(n–1)xn–2,y(3)=n(n–1)(n–2)xn–3,…,y(n)=n(n–1)…3·2·1xn–n=n!而y(n+1)=(n!)'=0易見(jiàn),若f(x),g(x)均存在n階導(dǎo)數(shù),則類(lèi)似,設(shè)f(x)=a0xn

+a1xn–1+a2xn–2+…+an–1xn

+an,為n次多項(xiàng)式,則f(n)(x)=a0n!,而f(n+1)(x)=01、二階導(dǎo)數(shù)的定義定義1：若函數(shù)f

(x)的導(dǎo)函數(shù)

在點(diǎn)可導(dǎo)，則稱(chēng)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為f

(x)在點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)，記作