曲線的凹凸性與拐點

一、曲線的凹凸性與拐點二、曲線的水平漸近線

和垂直漸近線三、函數(shù)圖形的描繪第3節(jié)曲線的凹凸性

與拐點函數(shù)圖形的描繪

如圖所示，曲線弧ABC部分是向下彎曲的，這時曲線位于切線的下方；而曲線弧CDE部分是向上彎曲的，曲線位于切線的上方．一、曲線的凹凸性與拐點

C

A

y

E

B

D

x

O

a

c

b

定義如果曲線弧總是位于其任一點切線的上方，則稱這條曲線弧是凹的；如果曲線弧總是位于其任一點切線的下方，則稱這條曲線弧是凸的．定理設函數(shù)

f(x)

在(a,b)內具有二階導數(shù).

（證明從略）例1

判斷曲線y=x3的凹凸性．

解

定義連續(xù)曲線y=f(x)上凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點，稱為曲線

y=f(x)的拐點．分析：由上述定理可知，

以判斷曲線的凹凸.如果

就是曲線的一個拐點．另外，二階導數(shù)不存在的點對應曲線上的點也有可能為拐點．

判定曲線

y=f(x)的拐點的一般步驟：

(1)確定y=f(x)的定義域.(2)求f(x)，f(x)，令f(x)=0，求出所有可能拐點x0.(3)考察f(x)在每個可能拐點x0左右兩側的符號，如果f(x)的符號相反，則點(x0

,f(x0))

是拐點，否則就不是．

例2

求曲線

f(x)=x3-6x2

+9x+1的凹凸區(qū)間與拐點．解(1)定義域為(,).(2)f(x)=3x2-12x+9，f(x)=6x

-12

=6(x

-2

)，令f(x)=0，得x=2.(3)當

x(,2)時，f(x)<0，此區(qū)間為凸區(qū)間．當

x(2,+)時，f(x)>0，此區(qū)間是凹區(qū)間.例3

求曲線

f(x)=(2x-1)4+1的凹凸性，并求拐點．解(1)定義域為(,).(2)f(x)=8(2x-1)3,f(x)=48(2x-1)2,令f(x)=0，可得

x=1/2.(3)因為當x≠1/2時，f(x)>0

，所以該曲線在整個定義區(qū)間內都是凹的，曲線沒有拐點．

要想完整地描繪出函數(shù)的圖形，除了要知道其升降，凹凸性，極值和拐點等性態(tài)外，還須了解曲線無限遠離坐標原點時的變化狀況，這就是下面要討論的曲線的漸近線問題．在此，我們僅討論曲線的水平漸近線和垂直漸近線．二、曲線的水平漸近線和垂直漸近線引例（如圖所示）

yxOy=arctanxy

x=1xO1

(2,0)

y=ln(x-1)（如圖所示）定義則稱直線

y=b為曲線

y=f(x)的水平漸近線.則稱直線

x=x0

為曲線

y=f(x)的垂直漸近線.所以的兩條水平漸近線.例如

通過利用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)，進而描繪函數(shù)的圖形的一般步驟：

(1)確定函數(shù)y=f(x)

的定義域，并考察其奇偶性、周期性等；

三、函數(shù)圖形的描繪

確定所有可能的極值點和拐點；

(4)討論函數(shù)圖形的水平漸近線和垂直漸近線；

(5)根據(jù)需要補充函數(shù)圖形上若干特殊點(如與坐標軸的交點等)；(6)描圖.（3）列表討論函數(shù)的單調性、極值及函數(shù)圖形的凹凸性和拐點；解

(1)函數(shù)定義域為

(-

,

),函數(shù)為奇函數(shù)，其圖形關于原點對稱．

(2)f

(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),例4描繪函數(shù)

f(x)=x3–

3x

的圖形.f(x)=6x，令f(x)

=0，得

x1=-1，x2=1,令f(x)=0，得x=0.（3）列表討論如下：xf(x)f(x)(,1)+-0---1(1,0)0-0(0,1)-+10+(1,+)++f(x)極大值f(-1)=2拐點(0,0)極小值f(1)=-2(4)無水平漸近線和垂直漸近線；yxO1-1-綜合上述討論，即可描繪出所給函數(shù)的圖形：例5

描繪函數(shù)

的圖形.解

(1)

定義域為

(-

,

).該函數(shù)為偶函數(shù)，

其圖形關于y軸對稱.因此，只要作出(0,)內的圖形，即可根據(jù)其對稱性得到它的全部圖形．令

f(