新青島版圓的對稱性第一課時

3.1圓的對稱性(1)

-----垂徑定理學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解圓的軸對稱性及其相關(guān)性質(zhì)；理解垂徑定理；會運用垂徑定理解決有關(guān)問題。

重點、難點：

垂徑定理及其應(yīng)用。？預(yù)習(xí)案的交流與展示：知識準(zhǔn)備：什么是軸對稱圖形？我們曾經(jīng)學(xué)過哪些軸對稱圖形？

如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形。如線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形等。1、圓是軸對稱圖形嗎？

如果是,它的對稱軸是什么?你能找到多少條對稱軸？你是用什么方法解決上述問題的?自主學(xué)習(xí)：圓是軸對稱圖形.

圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它有無數(shù)條對稱軸.可利用折疊的方法即可解決上述問題.●O

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧.連接圓上任意兩點間的線段叫做弦(如弦AB).●O經(jīng)過圓心的弦叫做直徑(如直徑AC).AB⌒以A,B兩點為端點的弧.記作,讀作“弧AB”.AB⌒小于半圓的弧叫做劣弧,如記作(用兩個字母).⌒ADB大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,如記作(用三個字母).ABCD

相關(guān)概念如圖3-2，CD是⊙O的弦，AB是與CD垂直的直徑，垂足為點E.將⊙O沿直徑AB折疊，你發(fā)現(xiàn)線段CE與DE有什么關(guān)系？

與

有什么關(guān)系？

與

有什么關(guān)系？為什么？●OABCDE└能不能試著利用構(gòu)造等腰三角形得出上面的等量關(guān)系？●OABCDE└連接OC，OD因為OC=OD，OE⊥CD，OE=OE，從而Rt△OCE≌Rt△ODE，所以CE=DE.故點C與點D關(guān)于直線AB對稱.因為直線AB是⊙O的對稱軸，所以當(dāng)⊙O沿直線AB折疊時，點C與點D重合，AC與AD重合，BC與BD重合，所以==.對垂徑定理定理

垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.●OABCDM└CD⊥AB,∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.條件①一條直徑②垂直于弦③直徑平分弦④平分弦所對的劣弧結(jié)論⑤平分弦所對的優(yōu)弧在下列圖形中，你能否利用垂徑定理找到相等的線段或相等的圓弧？同步訓(xùn)練：探究二：垂徑定理的應(yīng)用例１：如圖，以△OAB的頂點O為圓心的⊙O交AB于點C、D，且AC=BD。求證：OA＝OB。證明作OE⊥AB，垂足為點E.由垂徑定理，得CE=DE.∵AC=BD，∴AC+CE=BD+DE，即AE=BE.∴OE為線段AB的垂直平分線.∴OA=OB.例2:1400多年前，我國隋朝時期建造的趙州石拱橋的橋拱近似于圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為37.02m，拱高（弧的中點到弦的距離，也叫弓形的高）為7.23m.求橋拱所在圓的半徑（精確到0.1m）.解設(shè)橋拱所在圓的半徑為R（m）.如圖，用AB表示橋拱，AB的圓心為O.經(jīng)過點O作弦AB的垂線，垂足為點D，與AB交于點C.∵OC⊥AB，∴D是線段AB的中點，C是AB的中點，CD就是拱高.∵AB=37.02，CD=7.23，∴AD=AB=×37.02=18.51，OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△ODA中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.512+（R-7.23）2這個方程，得R≈27.3.所以，趙州石拱橋橋拱所在圓的半徑約為27.3m如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑。E.ABO解：連結(jié)OA。過O作OE⊥AB，垂足為E則AE＝BE＝AB＝×8＝4厘米在R