數(shù)值分析第5章習(xí)題答案

5答：使用高斯消去法時，在消元過程中可能出現(xiàn)ak0時主元素ak0A分解為兩個三角形矩陣相乘的因式分解，其中一個為上三角矩陣U，一個為下三角矩陣L。n||x||1|xi ||x||(x2 ||x||max|xi||A||A||A從定義可知||A||1更容易計算答：設(shè)A為非奇異陣，稱數(shù)cond(A)v （v1,2,）為矩陣A的條件 當(dāng) 注：矩陣的條件數(shù)小說明A答：錯誤，主元位置可能為0，導(dǎo)致無法計算結(jié)果。答：錯誤， （8）如果矩陣對稱，則||A||1||A||。答：錯誤，不選主元時，可能除數(shù)為0。||A||1=||AT||∞。Anncond(A)condA1答：正確。Ann的非奇異矩陣，則Acond(A)Acond(A1)(AA aT1、設(shè)A是對稱陣且 0，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為 1，證明A是 A 2 a1n a設(shè)對稱矩陣A n2，則經(jīng)過1次高斯校區(qū)法后， ... nn a 12A(1) 1n 1na 12 a2212 an212a1n 1n 1na n 1n 所以aT a a12 a12a n 1n 2 a 1n A(a(2) 證明：（1）A的對角元素aii (i1, （1）依次取x(0,0,,0,1,0,,0)T i1,2,,n，則因為A是對稱正定矩陣 所以有aiixTAx0（2）A中的元素滿足a(2)aai1a1j (i,j2,3,,n)，又因為A是對稱正 矩陣，滿足aa i,j1,2,,n，所以a(2)aai1a1jaa1iaj1a(2) 即A2是對稱矩， Lk k 求證當(dāng)ijkLkIijLkIijkIij為初等置換5、設(shè)Uxd，其中U計算解三角方程組Uxd如果A是對稱正定矩陣，則A1也是對稱正定矩xxx 并求出系數(shù)矩陣A 3A 1 15A|b 6 15A|b 6 15 6 5 3 31 6 31 6 5 31 7A的行列式為-1x1x1x4 5 61x1x1x3 4 51xx2x2 1 6 1A 5 2 L 1 6 13U 90 957 540 1 0 A 0b0 0 （1）計算i1c1/b11/22c2/(b2a21)1/(2(1)(0.5))2/3c3/(b3a32)1/(2(1)(2/3))3/4c4/(b4a43)1/(2(1)(3/4))4/解y1f1/b11/y2(f2a2y1)/(b2a21)(0(1)(1/2))/(2(1)(0.5))1/3y3(f3a3y2)/(b3a32)(0(1)(1/3))/(2(1)(2/3))1/4y4(f4a4y3)/(b4a43)(0(1)(1/4))/(2(1)(3/4))1/y5(f5a5y4)/(b5a54)(0(1)(1/5))/(2(1)(4/5))1/x5y51/x4y44x51/5(4/5)1/61/3x3y33x41/4(3/4)1/31/2x2y22x31/3(2/3)1/22/x1y11x22(1/2)2/35/ 1x1 3x5 2 31x3x10x7x23 1 3 111 1 A 41B 21C LUL矩陣（或即使矩陣不可逆，LUkk個順序主子式不為零，那么它就可以進(jìn)行LU分解，但反之則不然。A 行范數(shù)0.6+0.5=1.1（a）xx1nx1（b） A nxmaxxix1xinmaxxinx 1A2 i,jA2 (AT 14、設(shè)PRnn且非奇異，又設(shè)x為Rn上一向量范數(shù)，定義 Px。試證明 Rn上向量的一種范數(shù)。顯然 Px0， PcxcPxc x P(xx)Px Px ，從而 是 2 1 2 15、設(shè)ARnn為對稱正定1 (Ax,x)2A試證明 是Rn上向量的一種范數(shù)A1顯然 (Ax,x)2 xTAx (Acx,cx)2 c2(xTAx)c(Ax,x)2c 1x (A(xx),(xx))2 (xx)TA(xx 2 xTAx xTAx 1 2 因為A1 A1x yA1x0 minAy ，證明當(dāng) 時，cond(A)有最小值 1 cond(A) 1 A1xyA1xy A1 A |3| |3 |3|2， 1 | | ， 從而cond(A) (12)max3, 23 12max3,232)27 23 12)max3,212)3367 7時最小，這時2，即2 18、設(shè)A 98，計算A的條件數(shù)cond(A) (v2, 由A (A1)T(A1) 99 100 由I(A1)T(A1)19405 23920610 ATA 19602 由IATA 23920610 可得 19603 ，從 condA)2 19603 39206 199， 199，從而cond( 19919939601 19A是正交矩陣，則cond(A)2若A是正交陣，則A1AT，從而ATAI(A1)TA1AA1I，故 1condA) 1 cond(AB)cond(AB)(AB)1ABB1A1ABB1A1AABB