解排列組合應(yīng)用題的21種策略

解排列合用題的策略排列組問(wèn)題是高考必考題它聯(lián)系實(shí)際動(dòng)有趣但題型多樣思路靈活，易掌握，實(shí)證明，握題型和解方法，別模式，熟運(yùn)用，解決排組合應(yīng)用題有效途；下面就談?wù)勁帕泻蠎?yīng)用題的題策略.1.相問(wèn)題捆法:題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列.例1.,B,C,五人并排站成一排，如果A,必須相鄰且在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有（）A、60種B、48種C、36種D、24種解析A視為一人B固定在的右邊本題相當(dāng)于4人的全排列，

24種，答案D2.相問(wèn)題插排:元素相離（即不相鄰）問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（）A、1440種B、3600種C、4820種D、4800種解析除甲乙外其余5個(gè)排列數(shù)為5

種再用甲乙去插6個(gè)空位A6

種，不同的排法種數(shù)是A

2

3600種，B3.定問(wèn)題縮法:在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.A,C,DE五人并排站成一排，如須站的右邊（A,可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（）A、24種B、60種C、90種D、120種解析：在A的右邊與B的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是51個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即2

種，.4.標(biāo)排位問(wèn)分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排第1頁(yè)共8頁(yè)入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成例4.將數(shù)字，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A、6種B、9種C、11種D、23種解析先把1填入方格中符合條件的有種方法第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格又有三種方法第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選B.5.有分配問(wèn)逐分法:有序分配問(wèn)題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5.（1）有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種解析：先從10中選出2承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有C10

C1187

種，.（2）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個(gè)路口人，則不同的分配方案有（）C4C4AC44種B44C種C4A種D、128種3答案：A.6.員分配問(wèn)分組法例6.（）4優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？解析四名學(xué)生分成3組

種方法把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校種，故共C

2A34

36種方法說(shuō)明：分配的元素多于對(duì)象且每一對(duì)象都有元素分配時(shí)常用先分組再分配（2）5本不同的書，全部分給4學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）A、480種B、240種C、120種D、96種第2頁(yè)共8頁(yè)答案：B.7.額分配問(wèn)隔板法例710個(gè)三好學(xué)生名額分到個(gè)班級(jí)每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額有多少種不同分配方案？解析：10個(gè)名額分到7個(gè)班級(jí)，就是把個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成堆，每堆至少一個(gè)，可以在10個(gè)小球的個(gè)空位中插入6木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案C

84種.8.制條件的配問(wèn)題類法:例8.某高校從某系的10優(yōu)秀畢業(yè)生中選4分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)其中甲同學(xué)不到銀川乙不到西寧共有多少種不同派遣方案？解析因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件所以按照是否含有甲乙來(lái)分類有以下四種情況：①若甲乙都不參加，則有派遣方案A種；②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法然后安排其余學(xué)生有法所以共3③若乙參加而甲不8參加同理也A3種；④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安8排其余8人到另外兩個(gè)城市有A種，共72方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為3A2.889.元問(wèn)題分法：素多取出的情況也多種可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計(jì)數(shù)，最后總計(jì).例9（）由數(shù)字0，，2，3，，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）A、210種B、300種C、464種D、600種解析按題意個(gè)位數(shù)字只可能是01234共5種情況分別有5

個(gè)，1A3AA1A,13,AA33333

個(gè)，合并總計(jì)300個(gè),選B.（2）從1，2，?100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法（不計(jì)順序）共有多少種？解析取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)的乘積就能被7整除，將這100個(gè)數(shù)組成的集視為全集能被7整除的數(shù)的集合記做第3頁(yè)共8頁(yè)9814個(gè)素,不被7做4,個(gè)元素；由此可知，從中任取2元素的取法有2

，從任取一個(gè)，又從A中任取一個(gè)共有C1

1

，兩種情形共符合要求的取法C14

114

C86

1295種.（3）從1，2，3?100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計(jì)順序）有多少種？解析：將I四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A

；能被除余1數(shù)集B

97

，能被除余2數(shù)C除余3的數(shù)這四個(gè)集合中每一個(gè)有25個(gè)元素；從中任取兩個(gè)數(shù)符合要；BD各取一個(gè)數(shù)也符合要求C中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求此外其它取法都不符合要求所以符合要求的取法共C1C種.252510.叉問(wèn)題合法某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公(B)(A)()(AB).例10.從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4×100米接力賽如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？解析：設(shè)全集=｛6人中任取人賽的排列｛甲跑第一棒的排列B=｛乙跑第四棒的排列根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：(I)(((A4A252種11.位問(wèn)題先法某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排其它的元素。例名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？解析老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有種4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有34種方法；所以共有13

4

72種。.12.多排問(wèn)單排法:元素排成幾排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例12.（）6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每3個(gè)元素，那么不同的排法第4頁(yè)共8頁(yè)種數(shù)是（）A、36種B、120種C、720種D、1440種解析前后兩排可看成一排的兩段因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共

種，C.（2）8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？解析：看成一排，某個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，A2

種，1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有

種，其余5個(gè)元素任排個(gè)位置上有A種，故共有5

2A54

種排法13.至少“多”問(wèn)用間接排除或分類:例13.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有（）A、140種B、80種C、70種D、35種解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共

70種選.C解析2：至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法C2C112臺(tái),C.414.排問(wèn)題取后從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（）四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？解析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A3種，故共CA3種444（2）9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？解析取男女運(yùn)動(dòng)員各2名

25

24

種四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)2中排法，故共C2

2

種15.分合條問(wèn)題除法在選取的總數(shù)中有一部分合條件可以從總第5頁(yè)共8頁(yè)數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例15.（1）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（）A、70種B、64種C、58種D、52種解析：正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)

四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有4.（2四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共點(diǎn)在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)不同的取法共有（）A、150種B、147種C、144種D、141種解析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共

種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：①在四面體的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為C4

，四個(gè)面共有

個(gè)；②過(guò)空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)③過(guò)棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)的三角形共6個(gè).所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)4C4.1016.排問(wèn)題排法:不同元素放在圓無(wú)編號(hào)位置上的排列，順序（例如按順時(shí)鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合的排法認(rèn)為是相同的它與普通排列的區(qū)別在于只計(jì)順序而首位末位之分，下列個(gè)普通排列：a,,;,,;aa,,a1224

n

在圓排列中只算一種為旋轉(zhuǎn)n!后可以重合，故認(rèn)為相同個(gè)元素的圓排列數(shù)有種.因此可將某個(gè)元素固定n展成單排，其它元素全排列例16.5對(duì)姐妹站成一圈，要求每對(duì)姐妹相鄰，有多少種不同站法？解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列4

種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊2種方式不同的安排方24種不同站法.

1說(shuō)明：個(gè)不同元素中取m個(gè)元素作圓形排列共有Am

種不同排法.17.重復(fù)的列求法:允許重復(fù)排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象素不受位置的約束可逐一安排元素的位置一般不同元素排個(gè)不同第6頁(yè)共8頁(yè)位置的排列數(shù)n種法.例17.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？解析完成此事共分6步第一步將第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有種不同方案，第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也7種不同方案，依次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共7

種不同方案.18.雜排列合問(wèn)構(gòu)造模法:例18.馬路上有編號(hào)為1，，3?九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞也不能關(guān)掉兩端的兩盞求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？解析把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型在盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的C種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有種.5說(shuō)明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型可使問(wèn)題容易解決.19.素個(gè)數(shù)少的列組合題可以考慮舉法:例19.設(shè)有編號(hào)為1，，，，的五個(gè)球和編號(hào)為12，，，5的盒子現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問(wèn)有多少種不同的方法？解析：從5個(gè)球中取出個(gè)與盒子對(duì)號(hào)C

種，還剩下3個(gè)球與個(gè)盒子序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下，4，5號(hào)球與3，4，5號(hào)盒子時(shí)，3號(hào)球不能裝入3號(hào)盒子，當(dāng)3號(hào)球裝入4盒子時(shí)，4，5號(hào)球只有1種裝法，3號(hào)球裝入5號(hào)盒子時(shí)號(hào)球也只有1種裝法以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)C.20.雜的排組合題也可分解與合成:例20.（1）30030能被多少個(gè)不同偶數(shù)整除？解析先把30030分解成質(zhì)因