流體力學(xué)課件-

C.H.5粘性流體動(dòng)力學(xué)

5.1應(yīng)力分析

1.應(yīng)力與理想流體一樣，考慮粘性后，流體所承受的力也可歸結(jié)為兩類：即質(zhì)量力與表面力。我們稱單位面積上的表面力為應(yīng)力，用表示，為該面的外法線方向。一般說來，可分解為法向應(yīng)力與切向應(yīng)力，即：對(duì)于理想流體因無摩擦存在，切應(yīng)力為零，只存在法應(yīng)力，且總是指向內(nèi)法線方向，即。而考慮粘性后，不再為零。在直角坐標(biāo)系中，來研究分別作用于垂直于x,y,z軸各平面上的應(yīng)力。

設(shè)為作用于正方向上的表面力(yz平面，左邊流體作用于x面上的力)，在x,y,z方向的投影為：同理可作出y,z面上的表面力在x,y,z方向的投影：法向應(yīng)力：切向應(yīng)力：二階應(yīng)力張量：yzxo

2.應(yīng)力的性質(zhì)

1)切應(yīng)力之間具有對(duì)稱性，即：

2)某點(diǎn)的應(yīng)力不僅與該點(diǎn)的位置、作用的時(shí)間有關(guān)，而且與作用面的方向有關(guān)。即同一點(diǎn)取不同的面，是不同的。但可以證明，任意三個(gè)相互垂直的表面力的法向應(yīng)力之和相等，即三個(gè)主應(yīng)力值之和與作用面的方向無關(guān)，因此，僅是作用點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間函數(shù)。把主應(yīng)力的算術(shù)平均值定義為粘性流體的壓力，即：

上式的負(fù)號(hào)是由于規(guī)定法向應(yīng)力以拉力為正，壓力為負(fù).

3)應(yīng)力張量與變形速度的關(guān)系

考慮粘性后，引入6個(gè)未知項(xiàng)，為使方程組封閉，在一定的假設(shè)下建立應(yīng)力張量與變形速度間的關(guān)系：若流體不可壓：，上式可簡化為：對(duì)于理想流體，

4)關(guān)于粘性系數(shù)當(dāng)時(shí)，理想流體;關(guān)于的項(xiàng)是由于考慮了粘性而引起的，稱為粘性系數(shù)。在水平方向（x方向）以力F拉面積為A的板，板的速度為U，在速度不大和板矩h都很小的情況下，試驗(yàn)證明下式成立：取極限時(shí)有：

稱作牛頓切應(yīng)力公式或牛頓定律，滿足上式牛頓流體；不滿足上式非牛頓流體。粘性系數(shù)是反應(yīng)流體粘性大小的一種度量，它的大小與流體的種類有關(guān)，而且隨溫度與壓強(qiáng)而變。的量綱可據(jù)牛頓切應(yīng)力公式導(dǎo)出

N·s/m2=牛頓·秒/平方米,動(dòng)力學(xué)粘性系數(shù)

;m2/s=平方米/秒,運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù)當(dāng)溫度T=15時(shí)，水和空氣的年性系數(shù)分別為：

5)粘性流體壓力與理想流體壓力之間區(qū)別對(duì)于理想流體，不存在切向應(yīng)力。兩個(gè)特性:①理想流體壓力P的大小與它的作用面無關(guān)，即：②理想流體的壓力就是作用在物體表面上沿內(nèi)法線方向上的單位面積上的表面應(yīng)力，即：對(duì)于粘性流體，存在切應(yīng)力，特性:

①作用于物體表面沿法線方向的表面壓力是法向應(yīng)力，而不是粘性流體壓力P。②不僅與點(diǎn)的位置、時(shí)間有關(guān)，而且與作用面的方向有關(guān)

③定義粘性流體的壓力P為三個(gè)主應(yīng)力的算術(shù)平均值，即：

5.2Naiver-Stokes方程

1.粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程BACEDFHGzyxdxdzdyD’1)表面力：作用于六面體上的表面力在x,y,z方向的分量為：2)質(zhì)量力：單位質(zhì)量流體所受質(zhì)量力：據(jù)牛頓第二定律，便可寫出粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程如下：

把應(yīng)力和變形速度之間的關(guān)系代入粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程中，得到Ｎ－Ｓ方程N(yùn)aiver-Stokes運(yùn)動(dòng)方程

若流體不可壓，則上式可簡化成：未知數(shù)共有五個(gè)，方程只有四個(gè),方程組不封閉，但對(duì)于均質(zhì)不可壓流體或正壓流體,方程組封閉不可壓流體在直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程及應(yīng)力關(guān)系總結(jié)為：

5.3N-S方程的幾個(gè)解析解

均質(zhì)不可壓或正壓流體，N-S方程與連續(xù)方程構(gòu)成了一完整方程組。給出定解條件便可進(jìn)行求解。但由于該方程組是一個(gè)二階非線性偏微分方程組，求解困難。

理想均質(zhì)不可壓或正壓流體的歐拉方程中也存在非線性項(xiàng)，但部分實(shí)際問題可以看作是無旋，于是問題歸結(jié)為求解勢(shì)函數(shù)滿足的拉氏方程。

粘性流體，運(yùn)動(dòng)有旋，必須去解原始的二階偏微分方程組。數(shù)學(xué)家們還沒有提供求解非線性偏微分方程的普遍有效方法，就是對(duì)于粘性不可壓均質(zhì)流體方程組解的存在性與唯一性問題迄今還沒有全面解決，這是對(duì)于某些簡單情形才得到證明。所以為求出N-S方程的解。我們不得不據(jù)力學(xué)考慮，作一些近似或假定，對(duì)方程組進(jìn)行簡化，以便找出一定準(zhǔn)確度的解。一是找準(zhǔn)確解:對(duì)于簡單問題，忽略非線性項(xiàng)，方程組簡化，求方程的解析解。二是求近似解：據(jù)問題的特點(diǎn)，抓大放小，得到近似方程，然后求解，具體處理上還可分兩種情況:（1）小Re情形：（2）大Re情形：

(3)中等Re情形：慣性力與粘性力同樣重要，數(shù)值解。忽略慣性力，方程線性化；忽略粘性力，理想流體處理；

1定常單一方向的層流運(yùn)動(dòng)(a)兩平板內(nèi)的流動(dòng)(TheplaneCouette-Poiseuilleflow)問題：均質(zhì)不可壓流體在兩足夠長、寬的平行平板之間作定常層流流動(dòng)，兩平板相距為h，假定：上板與均勻U沿x方向運(yùn)動(dòng)，下板靜止，求板內(nèi)流體速度分布。xyzoUh1)分析：（1）平板沿z方向足夠?qū)?，沿x方向足夠長，以致平面兩側(cè)及兩端邊界的影響可忽略;(2)定常層流，故有：(3)均質(zhì)不可壓，(4)流體是由于上板帶動(dòng)而引起的單一方向?qū)恿鳎?/p>

2)基本方程與邊界條件邊界條件：y=0,u=0,y=h,u=U

3)求解：

4)討論：(1)若，即壓強(qiáng)在x方向無變化，這時(shí)速度分布為該運(yùn)動(dòng)可看作是由于上平板運(yùn)動(dòng)由于粘性而引起的，顯然，若U=0，則u=0，即流體靜止。這種流動(dòng)就叫作PlaneCouetteFlow.(2)若上下兩平板都不同，而，流動(dòng)由方向壓強(qiáng)差而引起，流速分布為：這種流動(dòng)就叫作PlanePoiseuilleFlow.(3)上板運(yùn)動(dòng)及在x方向有壓強(qiáng)差，這種流動(dòng)叫作ThePlaneCouette-PossuilleFlow.

(b)橢圓截面管中的定常層流取橢圓柱軸為x軸，均質(zhì)不可壓流體沿x方向作定常層流運(yùn)動(dòng)，橢圓管的流線方程為：xoczyb1)分析(1)設(shè)管子足夠長，以致管兩端的影響可以忽略不計(jì)，據(jù)題意知管內(nèi)流體只沿管軸方向做定常層流的直線運(yùn)動(dòng);(2)流體均質(zhì)不可壓，(3)質(zhì)量力為重力，2)基本方程與邊界條件邊界條件：3)求解

4)討論（1）在橢圓管中心處，y=0，z=0，流速最大，即：（2）求橢圓截面上的平均流速：（3）單位時(shí)間的體積流量：（4）若b=c=R即把問題化為圓截面管子的流動(dòng)問題（5）若,簡化為兩平行平板相隔2c內(nèi)的層流（6）若取，取橢圓管與圓管具有相同的截面積，現(xiàn)來研究一下在單位時(shí)間內(nèi)通過這兩種管子截面的體積流量。

即盡管橢圓管與圓管截面面積相同，但其流量要小于同樣截面積的圓管。2.柱、球坐標(biāo)中的N-S方程及應(yīng)力形式在一些工程問題中，例討論園管中的流動(dòng)，球的運(yùn)動(dòng)，往往采用柱坐標(biāo)及球坐標(biāo)會(huì)更加方便，下面我們不加推導(dǎo)的給出不可壓流體在柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)中的N-S方程及應(yīng)力表達(dá)式。

1)柱坐標(biāo)(),()球坐標(biāo)（），（）

應(yīng)力表示：

3.圓管的定常層流設(shè)有一很長的圓管，其半徑為R，內(nèi)有均質(zhì)不可壓縮粘性流體沿管道作定常層流運(yùn)動(dòng)，討論這種流動(dòng)的特征：分析：

1)由于設(shè)管子很長，則管兩端的影響可以不予考慮，另外據(jù)題意可知管內(nèi)流體只沿管軸方向做定常直線運(yùn)動(dòng)。

2)取柱坐標(biāo)，則由于管子邊界對(duì)于管軸對(duì)稱，故管內(nèi)流動(dòng)為軸對(duì)稱流動(dòng)。以數(shù)學(xué)上描述這兩個(gè)特征，便是：3)因?yàn)橘|(zhì)量力即重力只是在方向，在z方向無分量，即：4)管子截面均勻，則連續(xù)方程為：

N-S方程可簡寫成：

求解：因?yàn)楫?dāng)r=R,;所以討論：顯然,①當(dāng)r=0，即在管軸速度最大，即：②平均流速（通過截面）③在單位時(shí)間通過管中任一截面的體積流量為：④切應(yīng)力4.兩同軸旋轉(zhuǎn)圓柱間的定常流動(dòng)問題：在一半徑為的空心圓柱面內(nèi)有一半徑為的同軸圓柱，兩柱面間充滿均質(zhì)不可壓縮粘性流體，內(nèi)外圓柱分別以沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，試求流體的速度分布以及內(nèi)柱面上的摩擦力。分析：該流場具有下列特征：（1）因圓柱足夠長，故可忽略兩端影響，可看作是平面流動(dòng);（2）邊界條件對(duì)柱軸對(duì)稱，故可化為流場對(duì)稱與柱軸，且流體只是繞柱軸流動(dòng)。據(jù)以上分析的流動(dòng)特性，取柱坐標(biāo)系最方便，柱軸為z軸，在此坐標(biāo)系中，有：(3)因運(yùn)動(dòng)定常，且不考慮重力，則有：N-S方程及邊界條件可寫成：

求解利用邊界條件，可確定出：求得，便可用N-S方程中的第一式確定壓強(qiáng)分布。討論邊界條件①若，即內(nèi)外兩圓柱以同一角速度旋轉(zhuǎn)，則待運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后，便有：②若，即外圓柱靜止，這時(shí)便有:③若，即內(nèi)圓柱靜止，這時(shí)便有④若且,,即相當(dāng)于圓柱在無界空間中的旋轉(zhuǎn)，這時(shí)：⑤內(nèi)圓柱面單位面積上的摩擦力作用于單位時(shí)間長度柱面上的摩擦力5.4小雷諾流動(dòng)的近似解

求N-S方程的近似解，其基本思路：根據(jù)問題的物理特點(diǎn)，抓住主要而忽略某些次要因素，從而對(duì)方程組進(jìn)行簡化，可得到N-S方程的近似方程，在某些情況下，可求出該近似方程的解析解。這種方法叫作求N-S方程的近似方程。這方法在解決實(shí)際問題時(shí)被大量采用且證明是行之有效的。在具體處理是，常分為兩種情況：一是小雷諾數(shù)情形，雷諾數(shù)為慣性力與粘性力之比，即：當(dāng)Re很小時(shí)，即慣性力比粘性力要小得多;可以全部或部分忽略慣性力得到簡化了的線性方程，從而求其解。

二是大雷諾數(shù)，即Re>>1此時(shí)粘性力比慣性力要小得多，于是，我們可在區(qū)域的絕大部分（除靠近邊界的一薄層流體之外）忽略粘性，作為理想流體處理，從而使問題簡化。對(duì)于中等Re問題，慣性力與粘性力都得保留，此時(shí)常常采用數(shù)值計(jì)算方法求N-S方程的數(shù)值解。1.方程組的簡化在不可壓縮流體的N-S方程中（若忽略質(zhì)量力）有三種力，即慣性力，壓強(qiáng)梯度力與粘性力，Re小則意味著慣性力與粘性力相比是個(gè)小量，也即在具體問題中粘性力對(duì)流動(dòng)起主導(dǎo)作用，而慣性力是次要因素，作為零級(jí)近似，可以將慣性力全部略去，即N-S方程可簡化為：這是一個(gè)線性方程，它是小雷諾數(shù)時(shí)作為零級(jí)近似的N-S方程，下面以圓球在無界空間中的極慢運(yùn)動(dòng)為例來說明對(duì)于小Re問題該如何具體求解。2.圓球繞流問題:有一個(gè)半徑為a的圓球，在靜止的無界粘性均質(zhì)不可壓縮流體中以低速度U作等速直線運(yùn)動(dòng)，求由于球的運(yùn)動(dòng)而引起的流體的速度分布，壓力分布以及圓球所受阻力。分析：據(jù)相對(duì)性原理，上述問題等價(jià)于在無窮遠(yuǎn)處速度為U的粘性均質(zhì)不可壓流體繞固定圓球的定常流動(dòng)（無分離繞流）因?yàn)榧俣║極小，球的半徑也小，而流體的粘性較大，從而雷諾數(shù)Re相對(duì)小，故可忽略N-S方程中的慣性力，另外假定不考慮質(zhì)量力。若取球坐標(biāo)系（），坐標(biāo)原點(diǎn)取在球心。顯然，流場對(duì)稱于軸，且已知運(yùn)動(dòng)定常，用數(shù)學(xué)語言描述就是：基本方程與邊界條件在圓球上r=0上

在無窮遠(yuǎn)處：

求解：用試解法求解N-S方程，據(jù)邊界條件，可令試解為：邊界條件可變?yōu)椋?/p>

其中最后可得小球極慢運(yùn)動(dòng)的解為：

討論：求圓球所受阻力:作用在圓球上的應(yīng)力為，它的三個(gè)分量為：因?yàn)檎麄€(gè)流動(dòng)對(duì)稱于Z軸，所以在Z軸垂直方向的合力必為零，作用在圓球上的力全部沿Z軸，此合力為阻力可按下式算出量值：

Stokes阻力公式

5.5柯氏力場中的粘性流體運(yùn)動(dòng)前幾節(jié)討論都是在絕對(duì)固定坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)，即在慣性坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)。但實(shí)際問題，隨地球一起運(yùn)動(dòng)的非慣性坐標(biāo)系。把在絕對(duì)坐標(biāo)系(慣性坐標(biāo)系)中的N-S方程推廣到非慣性坐標(biāo)系中，然后舉例來說明如何應(yīng)用及求解費(fèi)慣性坐標(biāo)系中的N-S方程。慣性坐標(biāo)系：o-xyz；z:地軸，0:地心；x、y軸落在赤道平面;

非慣性坐標(biāo)系：o’-x’y’z’；o’:平均海平面；x’:沿緯圈，向東為正；y’:沿經(jīng)圈，向北為正；z’:自地心經(jīng)o’鉛直向上為正。地球自轉(zhuǎn)角速度經(jīng)一系列演算，可得非慣性坐標(biāo)系中不可壓縮流體的N-S方程：柯氏參數(shù)；一般說來海洋中水平尺度遠(yuǎn)大于垂向尺度：可證明相對(duì)于方程中其它項(xiàng)至少是高一階小量，可略去。y0xX′’z′