流體力學(xué)第九章+量綱分析和相似原理

量綱分析與相似原理

第九章9.1量綱和諧原理量綱的概念什么是量綱，什么是單位，二者之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？

答：量綱是表示各種物理量的類別；單位是度量各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)。單位和量綱都是關(guān)于度量的概念，單位決定量度的數(shù)量，而量綱則指量度的性質(zhì)。基本量綱與導(dǎo)出量綱基本量綱：無任何聯(lián)系、相互獨立的量綱。導(dǎo)出量綱：可以由基本量綱導(dǎo)出的量綱。

基本量綱：質(zhì)量M、長度L、時間T。導(dǎo)出量綱：其他物理量量綱。

無量綱量無量綱量：可以由兩個具有相同量綱的物理量相比得到，也可以由幾個有量綱物理量乘除組合，使組合量的各基本量綱指數(shù)為零得到。量綱分析依據(jù)量綱分析方法提出的根據(jù)是什么，它有何作用？

答：1.提出根據(jù)（1）自然界一切物理現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律，都可以用完整的物理方法來表示。（2）任何完整物理方程，必須滿足量綱和諧性原理。

2.作用可用來推導(dǎo)各物理量的量綱；簡化物理方程；檢驗物理方程、經(jīng)驗公式的正確性與完善性，為科學(xué)地組織實驗過程、整理實驗成果提供理論指導(dǎo)。

量綱和諧原理

凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其方程各項的量綱都必須是一致的，這被之為量綱和諧性原理。但是在曼寧公式中，謝齊系數(shù)C的量綱為，R的量綱為L，n為無量綱量，很明顯量綱是不和諧的，所以可能有人認(rèn)為量綱和諧性原理是錯誤的，你是如何認(rèn)識這個問題的，并闡述你的理由。

解：量綱和諧性原理是以被無數(shù)事實證明的客觀真理。因為只有兩個同類型的物理量才能相加減，否則沒有物理意義的。而一些經(jīng)驗公式是在沒有理論分析的情況下，根據(jù)部分實驗資料或?qū)崪y數(shù)據(jù)統(tǒng)計而得，這類公式經(jīng)常是量綱是不和諧的。這說明人們對客觀事物的認(rèn)識還不夠全面和充分，只能用不完全的經(jīng)驗關(guān)系式來表示局部的規(guī)律性。這些公式隨著人們對流體本質(zhì)的深刻認(rèn)識，將逐步被修正或被正確完整的公式所替代。9.2量綱分析法瑞利法(物理量不超過4個)試用瑞利法分析溢流堰過流時單寬流量q的表達式。已知q與堰頂水頭H、水的密度ρ和重力加速度g有關(guān)。1.分析影響因素，列出函數(shù)方程解：根據(jù)題意可知，溢流堰過流時單寬流量q與堰頂水頭H、水的密度ρ和重力加速度g有關(guān)，用函數(shù)關(guān)系式表示為解題步驟2.將q寫成H，ρ，g的指數(shù)乘積形式，即3.寫出量綱表達式解題步驟4.選M、L、T作為基本量綱，表示各物理量的量綱為5.由量綱和諧性原理求各量綱指數(shù)

M：0=bL：2=a-3b+cT：-1=-2ca=3/2b=0c=1/2

6.代入指數(shù)乘積式，得

其中，k1為無量綱系數(shù)，即流量系數(shù)m0，由實驗來確定。解題步驟即題目求水泵輸出功率的表達式。已知水泵的輸出功率N與單位體積水的重量、流量Q、揚程H有關(guān)。1.分析影響因素，列出函數(shù)方程解：根據(jù)題意可知，水泵的輸出功率N與單位體積水的重量、流量Q、揚程H

有關(guān),用函數(shù)關(guān)系式表示為解題步驟2.將N寫成γ，Q，H的指數(shù)乘積形式，即3.寫出量綱表達式解題步驟4.選L、T、M作為基本量綱，表示各物理量的量綱為5.由量綱和諧性原理求各量綱指數(shù)

L：2=-2a+3b+cT：-3=-2a-bM：1=aa=1b=1c=1

6.代入指數(shù)乘積式，得

其中，k為無量綱系數(shù)，通過實驗來確定。解題步驟π定理簡述布金漢π定理的運用步驟？答：1.確定關(guān)系式。根據(jù)對所研究現(xiàn)象的認(rèn)識，確定影響這個現(xiàn)象的各個物理量及其關(guān)系式。2.確定基本物理量。從n個物理量中選取所包含的m個基本物理量作為基本量綱的代表，一般取m=3。使基本量綱的行列式不等于零，即保障基本無論量相互獨立。3.確定基本物理量依次與其余物理量組成的π表達式。

解題步驟4.滿足π為無量綱相，由量綱和諧性原理定出各π項基本物理量的指數(shù)a、b、c。

5.寫出描述現(xiàn)象的關(guān)系式。

題目在用布金漢π定理時，要選取3個相互基本物理量，如何合理的選擇這3個基本物理量呢？答：（1）基本物理量與基本量綱相對應(yīng)。即若基本量綱選（M，L，T）為三個，那么基本物理量也選擇三個；倘若基本量綱只出現(xiàn)兩個，則基本物理量同樣只須選擇兩個。（2）選擇基本物理量時，應(yīng)選擇重要的物理量。換句話說，不要選擇次要的物理量作為基本物理量，否則次要的物理量在大多數(shù)項中出現(xiàn)，往往使問題復(fù)雜化，甚至要重新求解。（3）為保證三個基本物理量相互獨立，其量綱的指數(shù)行列式應(yīng)滿足不等于零的條件。一般是從幾何學(xué)量、運動學(xué)量、動力學(xué)量中各選一個，即可滿足要求。題目

文丘里流量計是用來測量有壓管路的流量，如右圖所示，已知1-1斷面和2-2斷面之間的壓強差△p隨流量Q，流體密度ρ，液體粘度η以及大小直徑D1，D2變化。試用π定律求出的壓強降落△p表示的流量公式。文丘里流量計1.分析影響因素，列出函數(shù)方程解：根據(jù)題意可知，壓強差△p與通過的流量Q，流體的密度ρ，液體的粘度η以及大小直徑D1,D2有關(guān)，用函數(shù)關(guān)系式表示為：可以看出函數(shù)中的變量個數(shù)n＝6解題步驟解題步驟

選取三個基本物理量，它們分別是幾何學(xué)量D1，運動學(xué)量Q以及動力學(xué)量ρ。2.選取基本物理量量綱指數(shù)行列式由量綱公式：故上述所選的三個基本物理量式相互獨立的。解題步驟3.列出無量綱π值列出個無量綱的π值。其中為待定指數(shù)。4.根據(jù)量綱和諧性原理，確定各π項的指數(shù)對于π1，其量綱式為：所以：解題步驟解題步驟對于π2，其量綱式為：對于π3

，其量綱式為：解題步驟5.寫出無量綱量方程

上式中的數(shù)可根據(jù)需要取其倒數(shù)，而不會改變它的無量綱性質(zhì)。即：

對于同一個問題，用兩種不同的量綱分析法得到的結(jié)果完全相同。一般，瑞利法適用于比較簡單的問題，相關(guān)變量未知數(shù)n≤4~5個，而布金漢π定理是具有普遍性的方法。

9.3相似理論基礎(chǔ)模型模型：通常指與原型(工程實物)有同樣的運動規(guī)律，各運動參數(shù)存在固定比例關(guān)系的縮小物。作用：通過模型試驗，把研究結(jié)果換算為原型流動，進而預(yù)測在原型流動中將要發(fā)生的現(xiàn)象。

力學(xué)相似何為模型試驗的力學(xué)相似，它包括哪幾個方面的內(nèi)容？

答：所謂的力學(xué)相似是指原型流動和模型流動在對

應(yīng)物理量（指矢量物理量，如力、加速度等）

之間應(yīng)互相平行，并保持一定的比例關(guān)系（指

矢量與標(biāo)量物理量的數(shù)值，如力的數(shù)值、時間

與壓強的數(shù)值等）。

力學(xué)相似流體力學(xué)相似包括以下四個方面：1.幾何相似

2.運動相似

3.動力相似4.初始條件和邊界條件相似幾何相似定義：指兩個流動(原型和模型)流場的幾何形狀相似，即相應(yīng)的線段長度成比例，夾角相等。

幾何相似運動相似定義：指兩個流動(原型和模型)相應(yīng)點速度方向相同，大小成比例。

運動相似動力相似定義：指兩個流動(原型和模型)相應(yīng)點質(zhì)點受同名力的作用，且力的方向相同，大小成比例。

邊界條件和初始條件相似邊界條件相似：指兩個流動(原型和模型)相應(yīng)邊界性質(zhì)相同。初始條件相似：指兩個流動(原型和模型)相應(yīng)初始性質(zhì)相同。流體力學(xué)相似簡化為：幾何相似、運動相似、動力相似三個方面。雷諾準(zhǔn)則

模型和原型試驗的雷諾數(shù)相等。

雷諾數(shù)表示慣性力與粘滯力之比，兩流動相應(yīng)的雷諾數(shù)相等，粘滯力相似。

弗勞德數(shù)準(zhǔn)則

模型和原型試驗的弗勞德數(shù)相等。

弗勞德數(shù)表示慣性力與重力之比，兩流動相應(yīng)的弗勞德數(shù)相等，重力相似。

歐拉準(zhǔn)則

模型和原型試驗的歐拉數(shù)相等。

歐拉數(shù)表示壓力與慣性力之比，兩流動相應(yīng)的歐拉數(shù)相等，壓力相似。

牛頓數(shù)佛汝德數(shù)雷諾數(shù)歐拉數(shù)柯西數(shù)韋伯?dāng)?shù)斯特勞哈爾數(shù)7.諧時準(zhǔn)則6.表明張力相似準(zhǔn)則5.彈性力相似準(zhǔn)則4.壓力相似準(zhǔn)則3.粘滯力相似準(zhǔn)則2.重力相似準(zhǔn)則1.牛頓相似準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則力的比例尺相似準(zhǔn)則9.4模型試驗原型和模型能否同時滿足重力相似準(zhǔn)則和粘滯力相似準(zhǔn)則？為什么？答：當(dāng)采用同一種流體，不可能同時滿足兩種相似。因為：當(dāng)重力相似時而粘滯力相似時可知速度比尺不同，也即不能同時滿足兩種相似。模型準(zhǔn)則選擇

若采用不同流體時，在理論上是可能的。因為：當(dāng)重力相似時而粘滯力相似時聯(lián)立以上兩式，可得當(dāng)時，能夠同時滿足重力相似準(zhǔn)則和粘滯力相似準(zhǔn)則，但是在實際中是不可能的。

模型試驗做到完全相似是困難的，一般只能達到近似相似，就是保證對流動起主要作用的力相似。

有壓管流，粘滯力起主要作用，應(yīng)按雷諾準(zhǔn)則設(shè)計模型。在堰流、閘孔出流、明渠流動中，重力起主要作用，應(yīng)按弗勞德準(zhǔn)則設(shè)計模型。模型準(zhǔn)則選擇雷諾準(zhǔn)則：模型設(shè)計弗勞德準(zhǔn)則：模型設(shè)計流量比：模型設(shè)計雷諾準(zhǔn)則模型：弗勞德準(zhǔn)則模型：相似理論的應(yīng)用題目有一直徑d=50cm的輸油管道，管道長l=200m，油的運動粘滯系數(shù)

，管中通過油的流量