第五章大數(shù)定律和中心極限定理w

§5.1

大數(shù)定律

§5.2中心極限定理第五章大數(shù)定律與中心極限定理§5.1大數(shù)定律給出幾種大數(shù)定律：切比雪夫弱大數(shù)定律、辛欽弱大數(shù)定律科爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律、博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律討論“概率是頻率的穩(wěn)定值”（伯努利大數(shù)定律）的確切含義.對(duì)大數(shù)定律的直觀認(rèn)識(shí)學(xué)校有10000個(gè)學(xué)生，平均身高為a；若隨意觀察1個(gè)學(xué)生的身高X1，則X1與a可能相差較大。隨意觀察10個(gè)學(xué)生的身高X1,

X2,…,

X10，則10個(gè)數(shù)據(jù)的均值(X1+X2+…+X10)/10與a較接近；若隨意觀察100個(gè)學(xué)生的身高X1,

X2,…,

X100，則100個(gè)數(shù)據(jù)的均值(X1+X2+…+X100)/100與a更接近；若隨意觀察n個(gè)學(xué)生的身高X1,

X2,…,

Xn

，則當(dāng)n為很大數(shù)時(shí)，n個(gè)數(shù)據(jù)的均值(X1+X2+…+Xn

)/n

（樣本均值）

與a（總體平均值）充分接近.5.1.1大數(shù)定律問題的提法依概率收斂弱大數(shù)定律討論的就是依概率收斂.若對(duì)任意的>0，有則稱隨機(jī)變量序列{Xn}依概率收斂于Y,記為設(shè)有隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn和隨機(jī)變量Y以概率1收斂強(qiáng)大數(shù)定律討論的就是以概率1收斂.如果則稱隨機(jī)變量序列{Xn}以概率1收斂于Y,記為設(shè)有隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn和隨機(jī)變量Y可以證明，若則常用的幾個(gè)大數(shù)定律

大數(shù)定律一般形式：

若隨機(jī)變量序列{Xn}滿足：則稱{Xn}服從大數(shù)定律.切比雪夫大數(shù)定律證明用到切比雪夫不等式.切比雪夫弱大數(shù)定律的證明辛欽弱大數(shù)定律

定理5.1.2若隨機(jī)變量序列{Xn}獨(dú)立同分布，且Xn的數(shù)學(xué)期望存在，則{Xn}服從大數(shù)定律.伯努利大數(shù)定律推論5.1.1（伯努利大數(shù)定律（頻率收斂于概率））設(shè)vn

是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中P(A)=p,則對(duì)任意的

>0，有意義：隨著n的增大，依概率意義講，頻率pn越來越接近概率p，而pn不接近p的可能性越來越小。不能說：，因?yàn)椴还躰有多大，仍可能有pn

偏離p的情形出現(xiàn)(雖然這些例外情形出現(xiàn)的概率趨于0)。注意點(diǎn)(1)伯努利大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例.(2)伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特例.(3)各大數(shù)定律的條件是不同的，使用時(shí)注意甄別.5.1.3強(qiáng)大數(shù)定律推論5.1.2就是博雷爾（Borel強(qiáng)大數(shù)定律）.有關(guān)大數(shù)定律習(xí)題選講§5.2中心極限定理

討論獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布,

本節(jié)指出極限分布為正態(tài)分布.內(nèi)容提要：設(shè){Xn}為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記其和為獨(dú)立同分布的中心極限定理定理5.2.1

林德伯格—萊維中心極限定理設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望為,方差為2>0，則{Xn}服從中心極限定理，即林德伯格—萊維中心極限定理的推論補(bǔ)充例1每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克.一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?解:設(shè)箱中第i

袋味精的凈重為Xi,則Xi

獨(dú)立同分布，且E[Xi]=100，Var[Xi]=100，

由中心極限定理得，所求概率為：=0.0002故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002.(很小)補(bǔ)充例2

設(shè)X為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.XP109876

0.80.10.050.020.03解:設(shè)Xi

為第i

次射擊命中的環(huán)數(shù)，則Xi

獨(dú)立同分布，且E[Xi]

=9.62，Var[Xi]

=0.82，故=0.00021棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理是林德伯格—萊維中心極限定理的特例.棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理還有另一種敘述形式.二項(xiàng)分布的正態(tài)近似定理5.2.2

棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理設(shè)Yn

為服從二項(xiàng)分布b(n,p)的隨機(jī)變量，則當(dāng)n

充分大時(shí)，有二項(xiàng)分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以用正態(tài)分布作為二項(xiàng)分布的近似時(shí)，可作如下修正：注意點(diǎn)(1)棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理的應(yīng)用有三大類：

注意點(diǎn)(2)

ii)已知n

和概率，求x

；

iii)已知x

和概率，求n.i)已知n

和x，求概率；

例5.2.2設(shè)某地區(qū)原有一家小電影院，現(xiàn)擬籌建一所較大的電影院。根據(jù)分析，該地區(qū)每天平均看電影者約有n=1600人，預(yù)計(jì)新電影院開業(yè)后，平均約有3/4的觀眾將去新電影院?，F(xiàn)計(jì)劃其座位數(shù)，要求座位數(shù)盡可能多，但“空座達(dá)到200或更多”的概率不能超過0.1，問設(shè)多少座位為好？解：設(shè)每天看電影的人編號(hào)1,2,3,…,1600,且令

假設(shè)各觀眾去不去電影院是獨(dú)立選擇的。則X1,

X2,…,

X1600是獨(dú)立的0-1分布的隨機(jī)變量。設(shè)座位數(shù)是m，按要求有

P(X1+X2+…+X1600≤m-200)≤0.1要在此條件下m最大，就是在上式取等號(hào)時(shí).中心極限定理的應(yīng)用例題補(bǔ)充一、給定n和x，求概率補(bǔ)充例3100個(gè)獨(dú)立工作(工作的概率為0.9)的部件組成一個(gè)系統(tǒng)，求系統(tǒng)中至少有85個(gè)部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i個(gè)部件正常工作,反之記為Xi=0.又記Y=X1+X2+…+X100，則E[Y]=90，Var[Y]=9.二、給定n和概率，求x補(bǔ)充例4有200臺(tái)獨(dú)立工作(工作的概率為0.7)的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)需15kw電力.問共需多少電力,才可有95%的可能性保證正常生產(chǎn)?解：用設(shè)供電量為x,則從Xi=1表示第i臺(tái)機(jī)床正常工作,反之記為Xi=0.又記Y=X1+X2+…+X200，則E[Y]=140，Var[Y]=42.中解得三、給定x

和概率，求n補(bǔ)充例5用調(diào)查對(duì)象中的收看比例k/n作為某電視節(jié)目的收視率p的估計(jì)。要有90％的把握，使k/n與p

的差異不大于0.05，問至少要調(diào)查多少對(duì)象？解：用根據(jù)題意Xn表示n

個(gè)調(diào)查對(duì)象中收看此節(jié)目的人數(shù)，則從中解得Xn服從b(n,p)分布，k為Xn的實(shí)際取值。又由可解得n=271補(bǔ)充例6

設(shè)每顆炮彈命中目標(biāo)的概率為0.01，求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率.解:

設(shè)X

表示命中的炮彈數(shù),則X~b(500,0.01)＝0.17635(2)應(yīng)用正態(tài)逼近:P