全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制的-過程和方法

從雙基到四基，從兩能到四能

——學(xué)習(xí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》北京教育學(xué)院張丹2012.4.8修改后的基本框架

前言：數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的價值、課程性質(zhì)、基本理念、設(shè)計(jì)思路（含核心概念）。課程目標(biāo)：總目標(biāo)、學(xué)段目標(biāo)課程內(nèi)容：分學(xué)段按照數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐分別闡述實(shí)施建議附錄：有關(guān)行為動詞的解釋、案例一、課程目標(biāo)在目標(biāo)的結(jié)構(gòu)上仍按：總體目標(biāo)總體表述知識技能數(shù)學(xué)思考問題解決情感態(tài)度學(xué)段目標(biāo)第一學(xué)段第二學(xué)段第三學(xué)段1.獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)。2.體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。3.了解數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學(xué)態(tài)度。

一、課程目標(biāo)——總目標(biāo)知識與技能 知識積累已知A，求證B思想與經(jīng)驗(yàn) 經(jīng)驗(yàn)積累由條件推斷結(jié)果由結(jié)果探究成因創(chuàng)新意識創(chuàng)新機(jī)遇史寧中

“創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)創(chuàng)新能力依賴于三方面:知識的掌握、思維的訓(xùn)練、經(jīng)驗(yàn)的積累,三方面同等重要.關(guān)于“知識的掌握”,我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育是沒有問題的;關(guān)于“經(jīng)驗(yàn)的積累”,大概還差得很多;關(guān)于“思維的訓(xùn)練”,我們做得也不夠,只能打五十分.那么為了創(chuàng)新型國家的建立我們現(xiàn)在的教育只做了一半的工作.我們沒有更多地在基礎(chǔ)教育階段教孩子如何去創(chuàng)新,幫他們從小的事情、小的發(fā)現(xiàn)開始積累經(jīng)驗(yàn),沒有這樣的意識?！标P(guān)于中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)的思考

——基于中美學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的系列實(shí)證研究美國德拉華大學(xué)蔡金法一個國際比較研究中的觀點(diǎn)問：是否需要重新考慮對

“雙基”的投入？

中國學(xué)生在計(jì)算題上的絕對優(yōu)勢并沒有在一些過程開放的復(fù)雜問題解決上表現(xiàn)出來

圖

中美學(xué)生在四類問題上的平均分?jǐn)?shù)（用百分?jǐn)?shù)表示）數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

史寧中指出：“基本活動經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生親自或間接經(jīng)歷了活動過程而獲得的經(jīng)驗(yàn)”?；顒咏?jīng)驗(yàn)包括什么（張奠宙等）

直接數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn):直接聯(lián)系日常生活經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)活動所獲得的經(jīng)驗(yàn)間接數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn):創(chuàng)設(shè)實(shí)際情景構(gòu)建數(shù)學(xué)模型所獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)專門設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn):由純粹的數(shù)學(xué)活動所獲得的經(jīng)驗(yàn)

活動經(jīng)驗(yàn)包括什么（張奠宙等）

意境聯(lián)結(jié)性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn):通過實(shí)際情景意境的溝通,借助想象體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)

這類數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),不是直接產(chǎn)生于某種實(shí)際活動,而是將抽象的數(shù)學(xué)概念和法則,借助舉例、比喻、聯(lián)想等方法,尋求某種具體的形象化的支撐,獲得具體的意象固著點(diǎn),獲得某種相對現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).

活動經(jīng)驗(yàn)包括什么（徐斌艷）

基本的數(shù)學(xué)操作經(jīng)驗(yàn)；基本的數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗(yàn)；發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的經(jīng)驗(yàn)”。

我對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的理解

第一，基本活動經(jīng)驗(yàn)是在學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，在特定的數(shù)學(xué)活動中積累的。情境的作用——原型（元角分、溫度計(jì)）探究過程、思考過程、反思過程

學(xué)生方法1：把圓的四邊去掉變成正方形，但我們不知道這4個部分怎樣求？……

割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣。學(xué)生方法2：可以在圓上畫方塊，如果不足一個方塊可以用其他地方的方塊來補(bǔ)，但我們不知道怎樣補(bǔ)最合適？

我對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的理解

第二，基本活動經(jīng)驗(yàn)是一種組合體，包括了數(shù)學(xué)活動中的主觀體驗(yàn)、以及獲得的客觀認(rèn)識；包括數(shù)學(xué)活動的結(jié)果，更包括活動的過程。

第三，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的類型目前還沒有統(tǒng)一，但其核心應(yīng)該是如何思考的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考。

我對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的理解

第四，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)最終可以幫助學(xué)生建立自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直覺，這種直覺一旦生成，在后續(xù)學(xué)習(xí)和問題解決中將起到重要作用。由此可見，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的產(chǎn)物，也是學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識和實(shí)踐的基礎(chǔ)。第五，基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累，大致需要經(jīng)過“經(jīng)歷、內(nèi)化、概括、遷移”的過程。

我對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的理解

對于廣大教師而言，一個當(dāng)務(wù)之急的研究就是尋找基本活動經(jīng)驗(yàn)的“證據(jù)”，即在具體的數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)體現(xiàn)在什么地方？他們?yōu)槭裁磿嬖谶@樣的經(jīng)驗(yàn)……

積累和設(shè)計(jì)好的活動……

數(shù)學(xué)的基本思想。數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展所依賴的思想學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以后具有的思維能力抽象：把與數(shù)學(xué)有關(guān)的知識引入數(shù)學(xué)內(nèi)部推理：促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展模型：溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁

抽象三個層次

抓住事物特征、語言表達(dá)；抓住事物本質(zhì)、符號表達(dá)；抓住事物關(guān)聯(lián)、模型表達(dá)。推理能力推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。

楊振寧：我很有幸能夠在兩個具有不同文化背景的國度里學(xué)習(xí)和工作，我在中國學(xué)到了演繹能力，我在美國學(xué)到了歸納能力。（見《我的生平》）

教育理念推理能力模型思想模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。小學(xué)階段的“模型”整體與部分之間的關(guān)系

操場上有18人，又來了一些人（3排，每排4人），現(xiàn)在有多少人？路程、速度和時間，總價、單價和數(shù)量數(shù)學(xué)思想處于“數(shù)學(xué)的基本思想”下一層次的數(shù)學(xué)思想，還有很多。數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程、分類、轉(zhuǎn)化等發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題鼓勵學(xué)生提出問題：問題“場”啟發(fā)學(xué)生思考的最好的辦法是教師與學(xué)生一起思考，一起發(fā)現(xiàn)和提出問題，一起分析和解決問題。教師要能暴露自己的思考路徑，教學(xué)中為什么要提出這些問題供大家思考，遇到情境可以從哪些方面提出問題，遇到這些問題后應(yīng)該從哪些角度來分析，解決了這個問題又可以提出哪些新的問題。

一年級學(xué)生提出的問題為什么能夠站穩(wěn)的都是立體圖形？我們能想辦法讓平面圖形站穩(wěn)嗎？（李瑞彤）七巧板中為什么沒有長方形？（鄒忱燁）為什么一般的書都設(shè)計(jì)成長方形的？（張梓凱）為什么數(shù)學(xué)書第45頁的圖形涂色后看起來像是立體圖形，而沒有涂色前看起來是平面的？（周彥成）

為什么正方形對折后能成為兩個完全一樣的三角形，而長方形不能？（李明遠(yuǎn)）

一年級學(xué)生提出的問題為什么數(shù)學(xué)書第45頁的圖形涂色后看起來像是立體圖形，而沒有涂色前看起來是平面的？（周彥成）為什么有兩個條件就可以提出一個數(shù)學(xué)問題？（李明遠(yuǎn)）最大的數(shù)是多少？有最大的數(shù)么？數(shù)有很多很多，我們能學(xué)完嗎？媽媽說有負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)是比0還小嗎？那怎么可能呢？要這樣的數(shù)有什么用呢？我怎么也寫不出比0小得數(shù)。

五年級學(xué)生提出的問題第一個班：1．學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)和合數(shù)有什么用？2．有沒有一個辦法，能快速地找到質(zhì)數(shù)？3．質(zhì)數(shù)有沒有公式？第二個班：1. 有沒有最大的質(zhì)數(shù)？2. 合數(shù)的因數(shù)是不是有無限多？3.2與3差1，3與5差2，5與7差2，11與7差4，…質(zhì)數(shù)是否有一定的規(guī)律？4. 哥德巴赫猜想研究的是什么？

五年級學(xué)生提出的問題綜合與實(shí)踐“綜合與實(shí)踐”是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動。在學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生將綜合運(yùn)用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等知識和方法解決問題。“綜合與實(shí)踐”的教學(xué)活動應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次，可以在課堂上完成，也可以課內(nèi)外相結(jié)合。提倡把這種教學(xué)形式體現(xiàn)在日常教學(xué)活動中。綜合與實(shí)踐選題：發(fā)現(xiàn)并選擇可以研究的問題，并清晰地加以表述。開題（或稱為“析題”）：通過分析、討論，進(jìn)一步明確需要解決的問題，設(shè)計(jì)合理可行的解決問題的方案和步驟。做題：通過自主探究、合作交流等實(shí)際操作環(huán)節(jié)，實(shí)施解決問題的方案，得到解決問題的成果。結(jié)題：總結(jié)、反思并交流解決問題的成果、解決問題的過程、收獲或體會、進(jìn)一步研究的問題等，并開展自評、互評和他評。小學(xué)生礦泉水瓶最佳周長

調(diào)查報告六年級五班第二小組組長：王天時組員：謝雨欣、蔣子重、賁迪、林宏睿、臧玉冰、林一衡背景分析研究內(nèi)容研究方法研究步驟研究結(jié)論研究反思研究日志研究分析調(diào)查背景小組分工調(diào)查方法調(diào)查問卷數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析調(diào)查結(jié)論樓梯的設(shè)計(jì)——綜合實(shí)踐報告組長：王天石組員：吳雨檸孫藝郡范靖琪林宜家韋仁杰發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題啟發(fā)學(xué)生思考的最好的辦法是教師與學(xué)生一起思考，一起發(fā)現(xiàn)和提出問題，一起分析和解決問題。教師要能暴露自己的思考路徑，教學(xué)中為什么要提出這些問題供大家思考，遇到情境可以從哪些方面提出問題，遇到這些問題后應(yīng)該從哪些角度來分析，解決了這個問題又可以提出哪些新的問題。這也體現(xiàn)了“從頭到尾”思考問題的理念。

如何讓學(xué)生思考a2-b2。案例（平方差公式）歸納教學(xué)的例子：嘗試。為得到公式a2–b2=(a-b)(a+b)首先進(jìn)行化簡，令

b=1。變化

a可以得到：

22–1=4-1=332–1=9-1=842–1=16-1=1552–1=25-1=2462–1=36-1=35因?yàn)?/p>

8=2×4，15=3×5，24=4×6，35=5×7，可以想到

a2–1=(a-1)(a+1)，然后考慮一般的b。

二、核心概念提出了10個核心概念：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。核心概念的分析有一些是名稱或內(nèi)涵發(fā)生較大變化的：數(shù)感、符號意識、數(shù)據(jù)分析觀念；有一些是保持了原有名稱，基本保持了原有內(nèi)涵：空間觀念、推理能力、應(yīng)用意識；有一些是新增加的：運(yùn)算能力、模型思想、幾何直觀、創(chuàng)新意識。核心概念的分析第一層，主要體現(xiàn)在某一內(nèi)容領(lǐng)域的核心概念。數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力主要體現(xiàn)在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，空間觀念主要體現(xiàn)在圖形與幾何領(lǐng)域，數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域；第二層，體現(xiàn)在不同內(nèi)容領(lǐng)域的核心概念，包括幾何直觀、推理能力和模型思想；第三層，超越課程內(nèi)容，整個小學(xué)數(shù)學(xué)課程都應(yīng)特別注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。提出核心概念的意義核心概念往往是一類課程內(nèi)容的核心或聚焦點(diǎn)，它有利于我們把握課程內(nèi)容的線索和層次，抓住教學(xué)中的關(guān)鍵。數(shù)感數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。數(shù)與數(shù)量的感悟?qū)嶋H上就是建立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量之間的關(guān)系，這既包括從數(shù)量到數(shù)的抽象過程中，對于數(shù)量之間共性的感悟；也包括在實(shí)際背景中提到一個數(shù)時，能將其與現(xiàn)實(shí)背景中的數(shù)量聯(lián)系起來，并判斷其是否合理。如小學(xué)生看100本書，在7000平方米中有兩只東北虎。13個46個109個1000個數(shù)量關(guān)系的感悟量與量之間關(guān)系（大小、函數(shù)——線性函數(shù)的增長率）的感覺。比如，出租車對時間和路程之間關(guān)系的感悟。運(yùn)算結(jié)果的感悟（估計(jì)）估算的要求能結(jié)合具體情境，選擇恰當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡單估算，體會估算在生活中的作用”（一學(xué)段）在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進(jìn)行估算（二學(xué)段）估算的例子學(xué)校組織987名學(xué)生去公園游玩。如果公園的門票每張8元，帶8000元錢夠不夠？估算的例子本例的目的是希望學(xué)生了解在什么樣的情境中需要估算，能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝皇堑谝粚W(xué)段估算的核心。比如，在此例中適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ前?87人看成1000人，所以適當(dāng)?shù)膯挝皇恰?000人”。一般來說，估計(jì)教室的長度時，通常以“米”為單位；估計(jì)書本的長度時，通常以“厘米”為單位。也可以用身邊熟悉的物體的長度為單位，如步長、臂長等。350名同學(xué)要外出參觀，有7輛車，每輛車56個座位，估一估夠不夠坐？①7×56≈350（個）350個=350個

看作50②7×56≈420（個）420個>350個看作60車重986千克，這輛車可以過橋嗎？共6箱限重3噸每箱重285千克3t運(yùn)算能力運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。一是指運(yùn)算；一是指運(yùn)算能力。運(yùn)算能力不僅僅會算和算正確，還包括對于運(yùn)算的本身要有理解，比如運(yùn)算對象、運(yùn)算的意義、算理等。鼓勵學(xué)生自己探索方法，必要時使用原型、直觀模型等

將學(xué)生的方法與法則進(jìn)行聯(lián)系——借助原型、直觀模型等——在法則中找到“影子”——體現(xiàn)豎式的“壓縮”過程

適當(dāng)體現(xiàn)法則的價值在后續(xù)的練習(xí)中也應(yīng)重視

“理法”平衡的策略難過程中的綜合性書寫形式的獨(dú)特性抽象簡潔的數(shù)學(xué)符號研究的背景乘1×3減4-348163031818加10+8北師大版教材三年級上冊分桃子有10個桃子，平均分給2只猴子，每只猴子分多少個？有48個桃子，平均分給2只猴子，每只猴子分多少個？活動要求：1.先動手分一分，動作要快。2.用數(shù)學(xué)的方式表示分的過程。3.看誰寫的讓別人一看就知道你是怎么分的。40÷2=20(個）8÷2=4(個）20+4=24(個）42244

8088

8個位十位一十40÷2=20(個）8÷2=4(個）20+4=24(個）42244

8088

8個位十位一十有48個桃子，平均分給3只猴子，每只猴子分多少個？4÷3=1······118÷3=641318603188個位十位一十符號意識符號意識主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。字母表示數(shù)正反比例方程一般性表示和運(yùn)算等量關(guān)系變化規(guī)律模型內(nèi)容之間的聯(lián)系④④④④結(jié)構(gòu)化的整體認(rèn)識變化的量——變量之間有關(guān)系——變化情況不同——一類變化情況——模型三種表達(dá)方式的作用：我先畫圖看看趨勢，然后通過表格數(shù)據(jù)來仔細(xì)看變化的趨勢。

空間觀念空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。幾何直觀幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀能利用圖形描述問題，能利用圖形發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，能借助圖形理解和記憶我們所得到的結(jié)果?？臻g觀念從本質(zhì)上是一種感覺；而幾何直觀是建立在概念及其關(guān)系上的直覺。圖的作用數(shù)據(jù)分析觀念了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集