概率論補(bǔ)充題部分選解

(1)沒(méi)有一個(gè)是次品;(2)至少有一個(gè)是次品;(3)只有一個(gè)是次品;(4)至少有三個(gè)不是次品;(5)恰好有三個(gè)是次品;(6)至多有一個(gè)是次品.解

練習(xí)

3

設(shè)有n個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分配到N個(gè)房間中的任意一間去住試求下列事件的概率(1)A={指定的n個(gè)間房中各有一人住}(2)B={恰好有n個(gè)間房，其中各有一人住}

解因?yàn)槊恳粋€(gè)人有N個(gè)房間可供選擇（沒(méi)有限制每間房子住多少人），所以n個(gè)人住的方式共有

種，它們是等可能的.

(1)n個(gè)人都分到指定的n間房去住，保證每間房中各有一人住;第一個(gè)人有n種分法，第二個(gè)人有n-1種分法，...，最后一個(gè)人只能分到剩下的一間房中去住，共有n(n-1)...21種分法，即A含有n!個(gè)基本事件.n個(gè)人都分到的n間房中，保證每間只有一人住，共有n!種分法，而n間房未指定，故可以從N間房中任意選取，共有種取法，故B包含的基本事件數(shù)為所以(2)B={恰好有n個(gè)間房，其中各有一人住}

練習(xí)4

某接待站在某一周曾接待過(guò)12次來(lái)訪，已知這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的.問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？解

假設(shè)該站接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定，各來(lái)訪者在一周的任一天去接待站是等可能的，則12次接待來(lái)訪者都在周二、周四的概率為 212/712=0.0000003

人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的”（稱為實(shí)際推斷原理）.現(xiàn)在概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中竟然發(fā)生了，從而推斷該站接待時(shí)間是有規(guī)定的。

練習(xí)5

設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問(wèn)現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？解設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).練8練9

玻璃杯成箱出售,每箱20只,假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率分別為0.8,0.1和0.1，某顧客欲購(gòu)一箱玻璃杯，在購(gòu)買時(shí)售貨員隨意取一箱，而顧客開箱隨機(jī)地查看4只，若無(wú)殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回.試求（1）顧客買下該箱的概率是多少？（2）在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒(méi)有殘次品的概率是多少？

解設(shè)A表示事件“顧客買下所查看的一箱玻璃杯”表示事件“箱中恰有i件殘次品”，易知，是樣本空間S的一個(gè)劃分.由題意，有(1)顧客買下該箱玻璃杯的前提是售貨員隨意取一箱，而顧客開箱隨機(jī)地查看4只無(wú)殘次品.由全概率公式，顧客買下該箱玻璃杯的概率為由Bayes公式（2）在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒(méi)有殘次品的概率是多少？

練10

甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.Ai={飛機(jī)被i人擊中},i=1,2,3由全概率公式則B=BA1+BA2+BA3解依題意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,

P(B|A3)=1P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)設(shè)B={飛機(jī)被擊落}可求得為求P(Ai),

設(shè)Hi={飛機(jī)被第i人擊中},i=1,2,3將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.于是練11

設(shè)每門炮在一次射擊中，擊中敵機(jī)的概率為0.4。問(wèn)至少需配置多少門炮，才能以99%以上的把握擊中一架來(lái)犯敵機(jī)？解

設(shè)至少需配置n門炮，并記：

Ai={第i門炮擊中敵機(jī)}，i=1,2,…,nA={敵機(jī)被擊中}，則：由于而相互獨(dú)立，所以因此即因此至少配置10門炮.練12一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過(guò)去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來(lái)描述，為了使95%以上的把握保證不脫銷，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解

設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)λ=5的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件,求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)查泊松分布表得求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.P{X>m}≤0.05也即于是得m+1=10,m=9件或試說(shuō)明F(x)能否是某個(gè)r.v的分布函數(shù).練13

設(shè)有函數(shù)

F(x)不滿足性質(zhì)(2)，可見(jiàn)F(x)也不能是r.v的分布函數(shù).

解

注意到函數(shù)F(x)在上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).或者練習(xí)14設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求（1）系數(shù)A,B的值；（2）（3）隨機(jī)變量X的密度函數(shù).故有解

(1)因?yàn)閄是連續(xù)型隨機(jī)變量,所以連續(xù)，即解之得（3）隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為由于

證明

分別設(shè)Y的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)分別為

先設(shè)即有若則有其中為常數(shù).練習(xí)15

設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，也服從正態(tài)分布，證明將上兩式分別關(guān)于y求導(dǎo)，得整理，得故練習(xí)16一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出,旅客有10個(gè)車站可以下車,如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立)按題意

本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和,然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和來(lái)求數(shù)學(xué)期望的.問(wèn)平均內(nèi)經(jīng)取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)

練習(xí)17

設(shè)某自動(dòng)生產(chǎn)線加工的某種零件的內(nèi)經(jīng)X（單位：mm）服從

內(nèi)經(jīng)小于10或大于12為不合格品，其余為合格品，銷售合格品獲利，生產(chǎn)不合格品則虧損，已知利潤(rùn)T（單位：元）與內(nèi)經(jīng)X有如下關(guān)系最大.解其中令解得練18

設(shè)(X是隨機(jī)變量)證明當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值.證明由題意兩邊對(duì)x求導(dǎo)，有顯然，當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值.最小值為這個(gè)例子又一次說(shuō)明數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量X取值的集中位置，反映了X的平均值.練19

設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為其中則辛欽大數(shù)定理對(duì)此序列{Xk}是否適用？

分析辛欽大數(shù)定理成立的條件：（1）隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布；（2）數(shù)學(xué)期望EX，n=1,2,...存在.解由題意，只需判斷廣義積分是否收斂即可.因?yàn)槟敲磾?shù)學(xué)期望不存在，即辛欽大數(shù)定理對(duì)此序列{Xk}不適用練20

在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.75，請(qǐng)利用切比雪夫不等式計(jì)算下列問(wèn)題（1）在1000次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)在700~800之間的概率；（2）n多大時(shí)才能保證在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90？解設(shè)X=“1000次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)”，則且有（1）（1）（2）設(shè)X=“n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)”，則事件A發(fā)生的頻率為那么所以即至少要做18750次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，才能保證試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90.解P(X≥h)≤0.01

或

P(X<h)≥0.99下面我們來(lái)求滿足上式的最小的h

.練21

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定?設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求因?yàn)閄～N(170,62),故P(X<h)=設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.所以查表得(2.33)=0.9901>0.99因而即

h=170+13.98184練22(供電問(wèn)題)某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車.設(shè)開工率為0.6,并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開工時(shí)需電力1千瓦.問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?用X表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)解

對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)是觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作,工作的概率0.6,共進(jìn)行200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).依題意，X~B(200,0.6)現(xiàn)在的問(wèn)題是P(X≤N)≥0.999的最小的N.求滿足設(shè)需N臺(tái)車床工作，（由于每臺(tái)車床在開工時(shí)需電力1千瓦，N臺(tái)工作所需電力即N千瓦.）由德莫佛-拉普拉斯極限定理近似N(0,1),于是P(X≤N)=P(0≤X≤N)這里np=120,np(1-p)=48由3σ準(zhǔn)則，此項(xiàng)為0。查正態(tài)分布函數(shù)表得從中解得N≥141.5,即所求N=142.也就是說(shuō),應(yīng)供應(yīng)142千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn).≥3.1,故練23解練24

根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，16只元件的壽命的總和為解

設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>192