定點(diǎn)乘法運(yùn)算定點(diǎn)乘法運(yùn)算

定點(diǎn)乘法運(yùn)算定點(diǎn)乘法運(yùn)算第一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日1.串行加法器的優(yōu)劣分析?不需要很多器件，硬件結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單；?速度太慢，執(zhí)行一次乘法操作的時(shí)間至少是加法操作的n倍；由于乘法操作大約占全部算術(shù)運(yùn)算的1/3，故采用高速乘法部件是非常必要的。

2.3.3原碼并行乘法第二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)n位被乘數(shù)和乘數(shù)用定點(diǎn)小數(shù)表示(定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用)被乘數(shù)[x]原＝xf.xn－1…x1x0乘數(shù)[y]原＝y(tǒng)f.yn－1…y1y0則乘積[z]原＝(xf⊕yf)＋(0.xn－1…x1x0)(0.yn－1…y1y0)

式中，xf為被乘數(shù)符號(hào)，

yf為乘數(shù)符號(hào)。2.3.3原碼并行乘法2.乘法的手工算法第三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日(2)習(xí)慣方法求乘積的運(yùn)算過(guò)程：設(shè)ｘ＝0.1101,ｙ＝0.10110.1101(x)0.1011(y)110111010000+11010.10001111(z)解:(1)乘積符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則：同號(hào)相乘為正，異號(hào)相乘為負(fù)。2.3.3原碼并行乘法第四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日3.不帶符號(hào)的陣列乘法器設(shè)有兩個(gè)不帶符號(hào)的二進(jìn)制整數(shù)

A＝am－1…a1a0,B＝bn－1…b1b0它們的數(shù)值分別為a和b,即：

2.3.3原碼并行乘法m-1a＝∑ai2ii＝0n-1b＝∑bj2jj＝0在二進(jìn)制乘法中,被乘數(shù)A與乘數(shù)B相乘,產(chǎn)生m＋n位乘積P：

P＝pm＋n－1…p1p0乘積P

的數(shù)值為:第五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日am-1am-2···

a1a0

)

bn-1···

b1b0am-1b0am-2b0···

a1b0a0b0am-1b1am-2b1···

a1b1a0b1......+)am-1bn-1am-2bn-1

···a1bn-1a0bn-1pm+n-1pm+n-2pm+n-3···

pn-1···p1p0(1)習(xí)慣方法運(yùn)算過(guò)程：2.3.3原碼并行乘法第六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日(2)并行乘法器——這種乘法器要實(shí)現(xiàn)n位×n位時(shí),需要n(n－1)個(gè)全加器和n2個(gè)“與”門。2.3.3原碼并行乘法第七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2.3.3原碼并行乘法第八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日令Ta為“與門”的傳輸延遲時(shí)間，Tf為全加器(FA)的進(jìn)位傳輸延遲時(shí)間，假定用2級(jí)“與非”（2T）邏輯來(lái)實(shí)現(xiàn)FA的進(jìn)位鏈功能，那么就有：Ta＝Tf＝2T

陣列乘法器延遲時(shí)間2.3.3原碼并行乘法第九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日BiCi&Ai&Ci+1&&ACiBiCiAiBiACiBiCiAiBiCi+1=++=2TC1C2C32T2T3T3TCn-1Cn2T3TS0S1S2Sn-1ta＝(n-1)·2T＋3T3T3TCiFASiCi+1AiBi第十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日Tm＝Ta＋(n－2)×6T＋3T＋

Tf

＋

(n-2)×Tf+3T＝2T＋(n－2)×6T＋3T

＋2T＋

(n-2)×2T+3T

＝(8n－6)T

最壞情況下延遲途徑,即是沿著矩陣P4垂直線和最下面的一行。因而得n位×n位不帶符號(hào)的陣列乘法器總的乘法時(shí)間為：第十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日[例16]已知兩個(gè)不帶符號(hào)的二進(jìn)制整數(shù)

A＝11011,B＝10101,求每一部分乘積項(xiàng)aibj

的值與p9p8……p0的值。2.3.3原碼并行乘法11011=A(2710)

10101=B(2110)11011000001101100000+110111000110111=P第十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日[解:]a4b0＝1a3b0＝1a2b0＝0a1b0＝1a0b0＝1a4b1＝0a3b1＝0a2b1＝0a1b1＝0a0b1＝0a4b2＝1a3b2＝1a2b2＝0a1b2＝1a0b2＝0a4b3＝0a3b3＝0a2b3＝0a1b3＝0a0b3＝0a4b4＝1a3b4＝1a2b4＝0a1b4＝1a0b4＝1P＝p9p8p7p6p5p4p3p2p1p0＝1000110111(56710)2.3.3原碼并行乘法第十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日4.帶符號(hào)的陣列乘法器(1)對(duì)2求補(bǔ)器電路例1：對(duì)1010求補(bǔ)。1010——010110110例2：對(duì)1011求補(bǔ)。1011——010010101方法（變補(bǔ)）：從數(shù)的最右端a0開始,由右向左,直到找出第一個(gè)“1”,例如ai＝1,0≤i≤n。這樣,ai以左的每一個(gè)輸入位都求反,即1變0,0變1。2.3.3原碼并行乘法第十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日1010011012.3.3原碼并行乘法E=0則ai*=aiE=1則ai*=[ai]變補(bǔ)第十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日用這種對(duì)2求補(bǔ)器來(lái)轉(zhuǎn)換一個(gè)(n＋1)位帶符號(hào)的數(shù)，所需的總時(shí)間延遲為：

tTC＝n·2T＋5T＝(2n＋5)T

其中每個(gè)掃描級(jí)需2T延遲，而5T則是由于“與”門和“異或”門引起的。延遲時(shí)間：2.3.3原碼并行乘法第十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日(2)帶符號(hào)的陣列乘法器2.3.3原碼并行乘法第十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日包括求補(bǔ)級(jí)的乘法器又稱為符號(hào)求補(bǔ)的陣列乘法器。

在這種邏輯結(jié)構(gòu)中，共使用三個(gè)求補(bǔ)器:

?兩個(gè)算前求補(bǔ)器作用是：將兩個(gè)操作數(shù)A和B在被不帶符號(hào)的乘法陣列(核心部件)相乘以前，先變成正整數(shù)。

?算后求補(bǔ)器作用則是：當(dāng)兩個(gè)輸入操作數(shù)的符號(hào)不一致時(shí)，把運(yùn)算結(jié)果變成帶符號(hào)的數(shù)(補(bǔ)碼)結(jié)構(gòu):2.3.3原碼并行乘法第十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)A=anan-1…a1a0和B=bnbn-1…b1b0均為用定點(diǎn)表示的(n＋1)位帶符號(hào)整數(shù)。在必要的求補(bǔ)操作以后，A和B的碼值輸送給n×n位不帶符號(hào)的陣列乘法器，并由此產(chǎn)生2n位的乘積:

A·B＝P＝P2n－1…P1P0p2n＝an⊕bn

其中P2n為符號(hào)位。運(yùn)算：2.3.3原碼并行乘法第十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日帶求補(bǔ)級(jí)的陣列乘法器用于原碼乘法在原碼乘法中，算前求補(bǔ)和算后求補(bǔ)都不需要，因?yàn)檩斎霐?shù)據(jù)都是立即可用的。[例]設(shè)x=+15，y=-13，用帶求補(bǔ)器的原碼陣列乘法求出乘積x*y=？

解：設(shè)最高位為符號(hào)位，輸入數(shù)據(jù)為原碼：

[x]原=01111

[y]原=11101因符號(hào)單獨(dú)考慮，所以：|X|=1111，|y|=11012.3.3原碼并行乘法第二十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

1111

×

1101

1111

0000

1111

+

1111

11000011符號(hào)位運(yùn)算：01=1

加上乘積符號(hào)位1，得：[x*y]原=111000011

換算成二進(jìn)制數(shù)真值是:X*Y=(-11000011)2=(-195)10

十進(jìn)制乘法驗(yàn)證：15*（-13）=-1952.3.3原碼并行乘法第二十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日帶求補(bǔ)級(jí)的陣列乘法器用于補(bǔ)碼乘法需使用求補(bǔ)器。[例]設(shè)x=15，y=-13，用帶求補(bǔ)器的補(bǔ)碼陣列乘法器求出乘積x*y=？并用十進(jìn)制乘法進(jìn)行驗(yàn)證。

解：設(shè)最高位為符號(hào)位，輸入數(shù)據(jù)用補(bǔ)碼表示：

[x]補(bǔ)=01111

[y]補(bǔ)=10011

乘積符號(hào)位運(yùn)算：X0

Y0=01=1表示乘積為負(fù)的。算前求補(bǔ)器輸出為|X|=1111，|y|=11012.3.3原碼并行乘法第二十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2.3.3原碼并行乘法補(bǔ)碼與真值轉(zhuǎn)換公式:1111

×

1101

1111

0000

1111+

1111

11000011

因乘積為負(fù)的，所以算后求補(bǔ)器輸出時(shí)應(yīng)按負(fù)數(shù)求補(bǔ)碼的變換方法將結(jié)果變?yōu)椋篬11000011]補(bǔ)=00111101并在最高位加上乘積符號(hào)1，最后得補(bǔ)碼的乘積值

：[x*y]補(bǔ)=100111101。利用補(bǔ)碼與真值換算公式，補(bǔ)碼二進(jìn)制數(shù)真值是X*Y=-1*28+1*25+1*24+1*23+1*22+1*20=(-195)10

十進(jìn)制數(shù)乘法驗(yàn)證：X*Y=15*（-13）=-195第二十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2.3.4補(bǔ)碼并行乘法1.補(bǔ)碼與真值的轉(zhuǎn)換公式補(bǔ)碼乘法因符號(hào)位參與運(yùn)算,可以完成補(bǔ)碼數(shù)的“直接”乘法,而不需要求補(bǔ)級(jí)（節(jié)省時(shí)間）。這種直接的方法排除了較慢的對(duì)2求補(bǔ)操作,因而大大加速了乘法過(guò)程。第二十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日N=an-1=0([N]補(bǔ)為正)an-1=1([N]補(bǔ)為負(fù))現(xiàn)考慮一個(gè)定點(diǎn)補(bǔ)碼整數(shù)[N]補(bǔ)＝an－1an－2…a1a0，其中an－1是符號(hào)位。根據(jù)[N]補(bǔ)的符號(hào)，補(bǔ)碼數(shù)[N]補(bǔ)和真值N的關(guān)系，可以表示成：2.3.4補(bǔ)碼并行乘法第二十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日將負(fù)權(quán)因數(shù)-2n-1強(qiáng)加到符號(hào)位an-1上，可以把上述方程組中的兩個(gè)位置表達(dá)式合并成下面的統(tǒng)一形式：以上兩式是等價(jià)的。2.3.4補(bǔ)碼并行乘法第二十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日[例19]已知:[N]補(bǔ)＝01101,[-N]補(bǔ)＝10011,求[N]補(bǔ),[-N]補(bǔ)具有的數(shù)值。2.3.4補(bǔ)碼并行乘法[解:][N]補(bǔ)＝01101具有的數(shù)值為：N＝－0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝(＋13)10[－N]補(bǔ)＝10011具有的數(shù)值為：－N＝－1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20

＝(-13)10第二十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日類型邏輯符號(hào)操作0類加法器

X

Y

＋)Z

CS

X

Y＋)－Z

C(－S)2類加法器－X

－Y

＋)Z

(－C)S3類加法器－X

－Y

＋)－Z

(－C)(－S)1類加法器這種加法器通過(guò)把正權(quán)或負(fù)權(quán)加到輸入/輸出端，可以歸納出四類加法單元。2.一般化的全加器形式第二十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)0類、3類全加器而言有：

S＝XYZ＋XYZ＋XYZ＋XYZC＝XY＋YZ＋ZX0類加法器

X

Y

＋)Z

CS3類加法器－X

－Y

＋)－Z

(－C)(－S)一位全加器真值表輸入輸出XiYiZiSiCi＋10000000110010100110110010101011100111111四類全加器的邏輯方程式第二十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

X

Y＋)－Z

C(－S)2類加法器－X

－Y

＋)Z

(－C)S1類加法器對(duì)1類、2類全加器,則有

S＝XYZ＋XYZ＋XYZ＋XYZC＝XY＋XZ＋YZ第三十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日3.直接補(bǔ)碼陣列乘法器利用混合型全加器可以構(gòu)成直接補(bǔ)碼數(shù)陣列乘法器。設(shè)被乘數(shù)A和乘數(shù)B是兩個(gè)5位二進(jìn)制補(bǔ)碼