第五章整數(shù)規(guī)劃模型

縱橫運(yùn)籌學(xué)理論分析數(shù)據(jù)、模型、決策不確定型決策

風(fēng)險型決策確定型決策運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)模型原理、方法與操作最大最小準(zhǔn)則最大最大準(zhǔn)則等可能性準(zhǔn)則樂觀系數(shù)準(zhǔn)則后悔值準(zhǔn)則期望值準(zhǔn)則全情報價值準(zhǔn)則樣本情報價值準(zhǔn)則效用值準(zhǔn)則線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型拓展動態(tài)規(guī)劃排隊(duì)論存儲論…………運(yùn)籌學(xué)模型的應(yīng)用拓展原理、方法與操作價值系數(shù)變化影響常數(shù)項(xiàng)變化影響百分之一百法則相差值分析生產(chǎn)安排問題排班問題套材下料問題連續(xù)投資問題純整數(shù)規(guī)劃模型0-1整數(shù)規(guī)劃模型混合整數(shù)規(guī)劃模型整數(shù)規(guī)劃的特殊應(yīng)用產(chǎn)銷平衡運(yùn)輸模型產(chǎn)大于銷運(yùn)輸模型銷大于產(chǎn)運(yùn)輸模型條件產(chǎn)銷不平衡模型轉(zhuǎn)運(yùn)問題模型LP靈敏度分析線性規(guī)劃應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃模型運(yùn)輸問題模型目標(biāo)規(guī)劃模型網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型有優(yōu)先級目標(biāo)規(guī)劃加權(quán)目標(biāo)規(guī)劃最短路模型最小費(fèi)用流模型最大流模型最小支撐樹模型運(yùn)籌學(xué)課程知識結(jié)構(gòu)導(dǎo)航陳士成主講

Email:chensc@TELlt;本科生教學(xué)>第五章整數(shù)規(guī)劃模型陳士成主講第五章整數(shù)規(guī)劃模型

Email:chensc@TELlt;本科生教學(xué)>第五章整數(shù)規(guī)劃模型第五章整數(shù)規(guī)劃模型案例展示案例展示案例5.1

某工廠用兩種原材料A和B生產(chǎn)兩種產(chǎn)品Ⅰ、Ⅱ，兩種產(chǎn)品的定額及原材料庫存情況如下表。

每件產(chǎn)品Ⅰ和產(chǎn)品Ⅱ可獲得的利潤分別為3元和2元。問工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使總的利潤為最高?產(chǎn)品定額及相關(guān)數(shù)據(jù)

貨物產(chǎn)品Ⅰ(件)產(chǎn)品Ⅱ(件)

原材料庫存量

原材料A(Kg)2314原材料B(Kg)219得一般線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：

S.T.2x1+3x2≤14

2x1+x2≤9

x1，x2≥0

maxz＝3x1+2x2求解得結(jié)果：

x1＝3.25

，x2＝2.5最優(yōu)值：14.75產(chǎn)品Ⅰ安排生產(chǎn)3.25件

產(chǎn)品Ⅱ安排生產(chǎn)2.5件?案例展示決策變量非整數(shù)不符合實(shí)際。若湊整：x1＝4，x2＝3x1＝4

，x2＝2x1＝3，x2＝3x1＝3

，x2＝2有2n個湊法（n=變量數(shù)）1.對于多個變量無法計算不可行2.并且湊出大部分解都是不可行的3.還很有可能湊出解都不是最優(yōu)解問題案例展示現(xiàn)在用圖解法求解案例5.102468x18642x2O(0,0)●無整數(shù)要求可行域案例展示02468x18642x2O(0,0)A(3.25，2.5)×××××××××××××××××××××××B(0，4.667)●●●●現(xiàn)在用圖解法求解案例5.1（有整數(shù)要求）有整數(shù)要求可行域(點(diǎn))案例展示02468x18642x2O(0,0)A(3.25，2.5)×××××××××××××××××××××××B(0，4.667)J(4，1)●●●●案例展示理論解析理論解析案例展示兩個重要結(jié)論：1、整數(shù)規(guī)劃問題，根本就不能簡單地用一般線性規(guī)劃方法求解后，再用湊整的方法來解決。必須要用特殊的規(guī)劃求解方法來求解。2、整數(shù)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)值都會差于沒有整數(shù)要求的目標(biāo)函數(shù)值。理論解析整數(shù)規(guī)劃模型

既然整數(shù)規(guī)劃與一般線性規(guī)劃類似，但具有特殊性，整數(shù)規(guī)劃的模型的表述也就只用在一般線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中加入整數(shù)的屬性要求即可。但求解模型就必須是獨(dú)立于一般線性規(guī)劃的特殊模型。

如案例5.1的整數(shù)規(guī)劃模型為：S.T.2x1+3x2≤142x1+x2≤9x1，x2≥0，x1，x2為純整數(shù)

maxz＝3x1+2x2特殊要求理論解析整數(shù)規(guī)劃模型的分類

由于整數(shù)規(guī)劃模型與一般線性規(guī)劃模型分不開，且整數(shù)的情況又有多種，所以整數(shù)規(guī)劃可以分為下述三類：1、純整數(shù)規(guī)劃（所有變量全都是非負(fù)整數(shù)）2、0-1整數(shù)規(guī)劃（所有變量全都是0-1整數(shù)）3、混合整數(shù)規(guī)劃（三種變量都可以，但要指定）理論解析整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃的松馳問題理論解析整數(shù)規(guī)劃思想模型求解模型求解理論解析1、二維整數(shù)規(guī)劃的圖解法2、手工求解方法分支定界法割平面法一般整數(shù)規(guī)劃模型隱枚舉法匈牙利法0-1整數(shù)規(guī)劃模型3、計算機(jī)求解（在線性規(guī)劃基礎(chǔ)上，指定整數(shù)要求即可）（特殊可行域）程序求解整數(shù)規(guī)劃模型的計算機(jī)求解以例5.1為例（純整數(shù)規(guī)劃模型）純整數(shù)規(guī)劃和0-1整數(shù)規(guī)劃模型用特殊的求解模型（工具）混合整數(shù)規(guī)劃模型的求解需要分別對整數(shù)變量做指定說明理論解析整數(shù)規(guī)劃部分課堂練習(xí)1：（25分鐘）

maxz=x1+2x2S.T.8x1+4x2≤326x1+8x2≤48

x1，x2≥0

模型轉(zhuǎn)換：將下面的一般線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型(整數(shù)規(guī)劃的松弛問題)轉(zhuǎn)換為純整數(shù)規(guī)劃模型。并在一般線性規(guī)劃模型的可行域圖形中標(biāo)出整數(shù)規(guī)劃的可行域(在圖上用“×”標(biāo)出)。

整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃模型應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃選址問題固定成本核算問題人力資源分配問題連續(xù)投資問題選址問題例5.1工商銀行準(zhǔn)備用不超過900萬元的投資，完成在蘭州市五個城區(qū)擴(kuò)展銀行儲蓄所。擬議中有14個位置Bi（i=1，2，3，…，14）可以選擇，考慮到各地區(qū)居民的消費(fèi)水平及居民居住密集度，規(guī)定：在城關(guān)區(qū)由B1，B2，B3，B4四個點(diǎn)最多選擇三個；在七里河區(qū)由B5，B6，B7三個點(diǎn)中至少選兩個；在安寧區(qū)由B8，B9兩個點(diǎn)中至少選一個；在西固區(qū)由B10，B11兩個點(diǎn)中至少選一個；在紅古區(qū)由B12，B13，Bl4三個點(diǎn)中至少選兩個。Bi各點(diǎn)的設(shè)備投資及每年可獲利潤由于地點(diǎn)不同都是不一樣的，預(yù)測情況如下表所示。問應(yīng)選擇哪幾個儲蓄點(diǎn)，可使總的年利潤為最大？B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11B12B13B14投資額80100120110709080140160150130608070利潤3654222835234659604028253540選址問題一、確定決策變量B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11B12B13B14投資額80100120110709080140160150130608070利潤3654222835234659604028253540選與否x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14設(shè)0-1(選址)變量xi=1Bi點(diǎn)被選用0Bi點(diǎn)不被選用

i=1,2……14

如下表：選址問題二、確定目標(biāo)函數(shù)

z＝36x1+54x2+22x3+28x4+35x5+23x6+46x7+59x8

+60x9+40x10+28x11+25x12+35x13+40x14

本決策問題的目標(biāo)是求最后獲得的利潤最大，每個點(diǎn)只要選上，就可以獲得相應(yīng)的利潤，而選不上就自然得不到利潤，因而總利潤為：所以目標(biāo)函數(shù)為：maxz＝36x1+54x2+22x3+28x4+35x5+23x6+46x7+59x8

+60x9+40x10+28x11+25x12+35x13+40x14

選址問題三、確定約束條件80x1+100x2+120x3+110x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+150x10+130x11+60x12+80x13+70x14≤900首先是總投資額不超過900萬元

x1+x2+x3+x4≤3（城關(guān)區(qū)從四個點(diǎn)最多選擇三個）

x5+x6+x7≥2（七里河區(qū)從三個點(diǎn)中至少選兩個）

x8+x9≥1（安寧區(qū)從兩個點(diǎn)中至少選一個）x12+x13+x14≥2（紅古區(qū)從三個點(diǎn)中至少選兩個）其次是各區(qū)選址的數(shù)量限制

x10+x11≥1（西固區(qū)從兩個點(diǎn)中至少選一個）選址問題得0-1整數(shù)規(guī)劃模型：xi≥0且xi

為0－1變量，i＝1，2，3，…，14maxz＝36x1+54x2+22x3+28x4+35x5+23x6+46x7+59x8

+60x9+40x10+28x11+25x12+35x13+40x14

80x1+100x2+120x3+110x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+150x10+130x11+60x12+80x13+70x14≤900S.T.

x1+x2+x3+x4≤3

x5+x6+x7≥2

x8+x9≥1x12+x13+x14≥2

x10+x11≥1選址問題程序求解求解結(jié)果如下表：B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11B12B13B14投資額80100120110709080140160150130608070利潤3654222835234659604028253540選與否√√√√√√√√√實(shí)際投資：890萬元，可獲最高利潤：383萬元。

由于線性規(guī)劃的靈敏度分析是建立在數(shù)學(xué)連續(xù)的基礎(chǔ)上分析方法。而整數(shù)規(guī)劃已打破了數(shù)學(xué)連續(xù)的概念，所以所有整數(shù)規(guī)劃問題計算機(jī)都不再給靈敏度分析報告。而關(guān)于松弛量和剩余量的概念仍有實(shí)際意義，這些可以直接算出。選址問題整數(shù)規(guī)劃模型應(yīng)用固定成本核算問題選址問題固定成本核算問題人力資源分配問題連續(xù)投資問題選址問題例5.2蘭州一企業(yè)在蘭州已有一個生產(chǎn)具有西北特產(chǎn)藥材的中藥廠，其產(chǎn)品的年生產(chǎn)能力為3萬件，并且已在新疆、黑龍江、廣東設(shè)立了三個固定的分銷點(diǎn)?，F(xiàn)在為了擴(kuò)大生產(chǎn)，打算在北京、廣州、成都和沈陽四處再選擇幾個地方建廠。各地建廠的固定成本、蘭州廠及新建廠的產(chǎn)量、各分銷點(diǎn)的銷量以及產(chǎn)地到銷地的單位運(yùn)價（元/件）如下表所示。問應(yīng)該在哪幾個地方建廠，在滿足銷量的前提下，使工廠擴(kuò)建后總的固定成本和總的運(yùn)輸費(fèi)用之和為最少。運(yùn)輸銷地價格產(chǎn)地新疆黑龍江廣東固定成本（元）產(chǎn)量（件）蘭州81510030000北京127937000020000廣州1816130000040000成都1112837500030000沈陽1941550000010000銷量（件）300002000020000選址問題運(yùn)輸銷地數(shù)量產(chǎn)地新疆黑龍江廣東選擇否固定成本（元）產(chǎn)量（件）蘭州x1(8)x2(15)x3(10)030000北京x4(12)x5(7)x6(9)y137000020000廣州x7(18)x8(16)x9(1)y230000040000成都x10(11)x11(12)x12(8)y337500030000沈陽x13(19)x14(4)x15(15)y450000010000銷量（件）300002000020000一、確定決策變量

設(shè)已建的一個生產(chǎn)點(diǎn)和四個預(yù)建生產(chǎn)點(diǎn)到三個分銷點(diǎn)的運(yùn)輸量分別為xi(i=1,2……15)。另設(shè)四個選址變量yj(j=1,2,3,4)

。具體設(shè)置如下表：選址問題二、確定目標(biāo)函數(shù)

本問題的目標(biāo)是擴(kuò)建后總的固定成本和總的運(yùn)輸費(fèi)用之和最少而擴(kuò)建后總的固定成本為：

370000y1+300000y2+375000y3+500000y4

總的運(yùn)輸費(fèi)用為：

8x1+15x2+10x3+12x4+7x5+9x6+18x7+16x8+1x9+11x10+12x11+8x12+19x13+4x14+15x15

本問題的目標(biāo)函數(shù)為：minf=8x1+15x2+10x3+12x4+7x5+9x6+18x7+16x8+1x9+11x10+12x11+8x12+19x13+4x14+15x15+370000y1+300000y2+375000y3+500000y4選址問題三、確定約束條件

本問題的約束條件來自兩個方面：總產(chǎn)量的約束和總銷量的約束總產(chǎn)量的約束：

x1+x2+x3≤30000（蘭州廠的產(chǎn)量）

x4+x5+x6≤20000y1

（北京廠的產(chǎn)量）

x7+x8+x9≤40000y2

（廣州廠的產(chǎn)量）

x10+x11+x12≤30000y3

（成都廠的產(chǎn)量）

x13+x14+x15≤10000y4

（沈陽廠的產(chǎn)量）總銷量的約束：

x1+x4+x7+x10+x13＝30000（新疆的銷量）

x2+x5+x8+x11+x14＝20000（黑龍江的銷量）

x3+x6+x9+x12+x15＝20000（廣東的銷量）選址問題得本問題的混合整數(shù)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型minf=8x1+15x2+10x3+12x4+7x5+9x6+18x7+16x8+1x9+11x10

+12x11+8x12+19x13+4x14+15x15

+370000y1+300000y2+375000y3+500000y4S.T.x1+x2+x3≤30000x4+x5+x6-20000y1≤0x7+x8+x9-40000y2≤0x10+x11+x12-30000y3≤0

x13+x14+x15-10000y4≤0x1+x4+x7+x10+x13＝30000x2+x5+x8+x11+x14＝20000x3+x6+x9+x12+x15＝20000xi=非負(fù)整數(shù)(i=1,2……15),yj=0-1(j=1,2…4)選址問題程序求解運(yùn)輸銷地數(shù)量產(chǎn)地新疆黑龍江廣東選擇否固定成本（元）產(chǎn)量（件）蘭州3000000030000北京000037000020000廣州02000020000130000040000成都000037500030000沈陽000050000010000銷量（件）300002000020000求解結(jié)果：即：只選擇在廣州新增建廠，產(chǎn)量40000件，分別送往黑龍江20000件，廣東20000件；蘭州生產(chǎn)的30000件全部送往新疆?？偟淖钌贁U(kuò)建費(fèi)和運(yùn)費(fèi)為：88萬元。注：用計算機(jī)求解這類模型時，將變量y換為x。選址問題B1B2固定成本/萬元產(chǎn)量/萬箱A164.505A255.615.56A33.52219銷量（萬箱）7.52.5建模問題：某企業(yè)在A1地已有一個工廠，其產(chǎn)品的生產(chǎn)能力為5萬箱，產(chǎn)品專供于B1、B2兩個銷地。為了擴(kuò)大生產(chǎn)，準(zhǔn)備在A2、A3兩再進(jìn)行擴(kuò)建。經(jīng)考察，在A2地建廠的固定成本為15.5萬元，而在A3地建廠的固定成本需要21萬元。三個廠建成后的產(chǎn)能量、銷地的需求量以及產(chǎn)地到銷的單位運(yùn)價（萬元/萬箱）如下表：請建立模型用于決策，確定在哪里建廠，在滿足銷量的前提下，使總的固定成本及運(yùn)輸成本之和為最低。整數(shù)規(guī)劃部分課堂練習(xí)2：（25分鐘）整數(shù)規(guī)劃固定成本核算問題整數(shù)規(guī)劃模型應(yīng)用選址問題固定成本核算問題人力資源分配問題連續(xù)投資問題人力資源分配問題例5.3有四個工人（甲、乙、丙、?。?，要分別指派他們完成四項(xiàng)不同的工作（A、B、C、D），每人做各項(xiàng)工作所消耗的時間如下表所示，問應(yīng)如何指派工作，才能使總的消耗時間為最少？每人完成各項(xiàng)工作所需時間：小時時 工作間工人

工作A

工作B

工作C

工作D甲35412740乙47453251丙39563643丁32512546人力資源分配問題

對于這類問題，實(shí)際要求每人只能完成一項(xiàng)工作任務(wù)；每項(xiàng)工作只能提供給一個人來完成。其實(shí)這也是本問題限制條件。因此，我們可以將各項(xiàng)工作的人數(shù)和每人完成的任務(wù)數(shù)加到上述的表中，我們稱下表為工作效率表：工作效率表時 工作間工人

工作A

工作B

工作C

工作D

人數(shù)甲354127401乙474532511丙395636431丁325125461任務(wù)數(shù)1111人力資源分配問題

一、確定決策變量變 工作量工人

工作A

工作B

工作C

工作D

人數(shù)甲x1

(35)x2

(41)x3

(27)x4

(40)1乙x5

(47)x6

(45)x7

(32)x8

(51)1丙x9(39)

x10(56)x11(36)x12(43)1丁x13(32)x14(51)x15(25)

x16

(46)1任務(wù)數(shù)1111引入0－1變量xi，如下表所示這里：變量xi=1，當(dāng)指派第i人去完成工作時0，當(dāng)不指派第i人去完成工作時人力資源分配問題

二、確定目標(biāo)函數(shù)本問題的目標(biāo)是使總消耗時間為最小，而總時間所有分配了工作所占用時間和總和，可表述為：35x1+41x2+27x3+40x4+47x5+45x6+32x7+51x8+39x9+56x10+36x11+43x12+32x13+51x14+25x15+46x16所以目標(biāo)函數(shù)為：minf=35x1+41x2+27x3+40x4+47x5+45x6+32x7+51x8+39x9+56x10+36x11+43x12+32x13+51x14+25x15+46x16人力資源分配問題

三、確定約束條件本問題的約束條件來自兩個方面：x1+x2+x3+x4＝1（甲只能干一項(xiàng)工作）x5+x6+x7+x8＝1（乙只能干一項(xiàng)工作）x9+x10+x11+x12=1（丙只能干一項(xiàng)工作）x13+x14+x15+x16＝1（丁只能干一項(xiàng)工作）x1+x5+x9+x13＝1（A工作只能一個人干）x2+x6+x10+x14＝1（B工作只能一個人干）x3+x7+x11+x15＝1（C工作只能一個人干）x4+x8+x12+x16＝1（D工作只能一個人干）每人只能干一項(xiàng)工作：每項(xiàng)工作只能由一人來做：人力資源分配問題得0-1整數(shù)規(guī)劃模型x1+x2+x3+x4＝1x5+x6+x7+x8＝1x9+x10+x11+x12=1x13+x14+x15+x16＝1x1+x5+x9+x13＝1x2+x6+x10+x14＝1x3+x7+x11+x15＝1x4+x8+x12+x16＝1minf=35x1+41x2+27x3+40x4+47x5+45x6+32x7+51x8+39x9+56x10+36x11+43x12+32x13+51x14+25x15+46x16S.T.xi＝0，1（i=1,2,…..16)人力資源分配問題程序求解結(jié) 工作果工人

工作A

工作B

工作C

工作D

工作人總數(shù)甲00101乙01001丙00011丁10001每人選擇工作1111求得決策結(jié)果指派結(jié)果表即：安排甲工人完成工作C，安排乙工人完成工作B，安排丙工人完成工作D，安排丁工人完成工作A。消耗總時間最少為147小時。人力資源分配問題人力資源分配問題連續(xù)投資問題整數(shù)規(guī)劃模型應(yīng)用選址問題固定成本核算問題人力資源分配問題連續(xù)投資問題例5.4某公司在今后五年內(nèi)考慮給下列項(xiàng)目投資，已知：

項(xiàng)目A：從第一年到第四年每年年初需要投資，并于次年末回收本利115％，但要求第一年要么不投資,要么投資最低金額為4萬元，第二、三、四年不限。項(xiàng)目B：第三年初需要投資，到第五年末能回收本利128％，但規(guī)定要么不投資,要么最低投資金額為3萬元，最高金額為5萬元。項(xiàng)目C：第二年初需要投資，到第五年末能回收本利140％，但規(guī)定要么不投資,要么其投資額或?yàn)?萬元或?yàn)?萬元，或?yàn)?萬元或?yàn)?萬元。項(xiàng)目D：五年內(nèi)每年初可購買公債，于當(dāng)年末歸還，加利息6％，此項(xiàng)投資金額不限。該部門現(xiàn)有資金10萬元，問它應(yīng)如何確定給這些項(xiàng)目的每年投資額，使到第五年末擁有的資金本利總額為最大？連續(xù)投資問題一、確定決策變量按不同的項(xiàng)目設(shè)決策變量1、項(xiàng)目A，第5年不能投資，前4年每年都可能投資，分別設(shè)投資額為x1，x2，x3，x4，并且第一年要么投4萬元以上，要么不投資，所以設(shè)y1。y1＝1當(dāng)?shù)?年給A項(xiàng)目投資時0當(dāng)?shù)?年不給A項(xiàng)目投資時一、確定決策變量按不同的項(xiàng)目設(shè)決策變量2、項(xiàng)目B，只有第三年投資，設(shè)投資額為x5，并且要么大于3萬，要么小于5萬。所以同時設(shè)y2＝1當(dāng)?shù)?年給B項(xiàng)目投資時0當(dāng)?shù)?年不給B項(xiàng)目投資時一、確定決策變量按不同的項(xiàng)目設(shè)決策變量（3）項(xiàng)目C，要么不投資，要么投2，4，6，8萬元，所以設(shè)投資額為x6，同時設(shè)y3是個非負(fù)整數(shù)變量，并規(guī)定y3＝1當(dāng)?shù)?年投資C項(xiàng)目2萬元時0當(dāng)?shù)?年不投資C項(xiàng)目投資時3當(dāng)?shù)?年投資C項(xiàng)目6萬元時2當(dāng)?shù)?年投資C項(xiàng)目4萬元時4當(dāng)?shù)?年投資C項(xiàng)目8萬元時一、確定決策變量按不同的項(xiàng)目設(shè)決策變量

（4）項(xiàng)目D，每年都可以投資，設(shè)投資額x7，x8，x9，x10，x11投 年份資變項(xiàng)目量12345

本利Ax1x2

x3x4

1.15y1B

x5

1.28y2C

x6

1.40y3Dx7x8x9x10x111.06一、確定決策變量根據(jù)上面的分析，將變量的設(shè)置情況用下表表示二、確定目標(biāo)函數(shù)

本問題的目標(biāo)是5年末擁有的資金本利總額為最大。而5年末資金本利總額可用下式表示：Z=1.15x4+1.28x5+1.40x6+1.06x11

三、確定約束條件

本問題的約束條件取決于每年具體投資的情況，其關(guān)鍵點(diǎn)是將每年初年持有的資金都全部投出，以取得最大的收益。因此需要清楚每初的實(shí)際持有資金額?？聪卤恚和赌攴葙Y項(xiàng)目額12345本利Ax1x2

x3x4

1.15y1B

x5

1.28y2C

x6

1.40y3Dx7x8x9x10x111.06每年初持有資金額（萬元）101.06x71.15x1+1.06x81.15x2+1.06x91.15x3+1.06x10三、確定約束條件第一年：x1+x7=10

（部門現(xiàn)有資金）

x1≥4y1

（要么不投資A項(xiàng)目，要么投入4萬元以上）

x1≤10y1

(第一年投資最大額度不會超過10萬元）由此表可得每年初的可投投資金額：第二年：x2+x6+x8=1.06x7