第十一章3簡諧運動的回復(fù)力和能量

3簡諧運動的回復(fù)力和能量1.彈簧的彈力與形變量成_____,形變量越大,彈力_____,彈簧的彈性勢能_____。2.物體的加速度與其所受的合外力成_____,方向與合外力的方向_____。3.當(dāng)加速度方向與速度方向相同時,物體做_____運動,當(dāng)加速度方向與速度方向相反時,物體做_____運動。4.振子經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的兩點時,速度大小_____,加速度大小_____。正比越大越大正比相同加速減速相同相同一、簡諧運動的回復(fù)力1.回復(fù)力:2.簡諧運動的動力學(xué)特征:如果質(zhì)點所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成_____,并且總是指向_________,質(zhì)點的運動就是簡諧運動。項目內(nèi)容定義振動質(zhì)點受到的總能使其回到_________的力方向指向_________表達式F=____平衡位置平衡位置-kx正比平衡位置二、簡諧運動的能量1.振動系統(tǒng)(彈簧振子)的狀態(tài)與能量的對應(yīng)關(guān)系:彈簧振子運動的過程就是_____和_____互相轉(zhuǎn)化的過程。(1)在最大位移處,_____最大,_____為零。(2)在平衡位置處,_____最大,_____最小。2.簡諧運動的能量特點:在簡諧運動中,振動系統(tǒng)的機械能_____,而在實際運動中都有一定的能量損耗,因此簡諧運動是一種_______的模型。動能勢能勢能動能動能勢能守恒理想化【思考辨析】1.判斷正誤:(1)回復(fù)力的方向總是與位移的方向相反。()(2)回復(fù)力的方向總是與速度的方向相反。()(3)回復(fù)力的方向總是與加速度的方向相反。()(4)水平彈簧振子運動到平衡位置時,回復(fù)力為零,因此能量一定為零。()(5)回復(fù)力的大小與速度大小無關(guān),速度增大時,回復(fù)力可能增大,也可能減小。()提示:(1)√。由F=-kx可知,回復(fù)力F的方向總是與位移x的方向相反。(2)×?；貜?fù)力的方向與速度方向可能相同,也可能相反,當(dāng)振子加速運動時相同,減速運動時相反。(3)×。由牛頓第二定律可知,加速度的方向總是與力的方向相同。(4)×。平衡位置處,回復(fù)力為零,但速度不為零,故振子能量不為零。(5)×。速度增大時,位移減小,故回復(fù)力減小。2.問題思考:在彈簧振子的運動過程中,彈性勢能最大的位置有幾個?動能最大的位置有幾個?提示:在彈簧振子的運動過程中,彈性勢能最大的位置有兩個,分別對應(yīng)于振子運動的最左端和最右端。動能最大的位置只有一個,就是彈簧振子運動到平衡位置的時候。一、對回復(fù)力和加速度的理解1.回復(fù)力的來源:(1)回復(fù)力是指將振動的物體拉回到平衡位置的力,同向心力一樣是按照力的作用效果來命名的。(2)回復(fù)力可以由某一個力提供,如水平彈簧振子的回復(fù)力即為彈簧的彈力;也可能是幾個力的合力,如豎直懸掛的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧彈力和重力的合力;還可能是某一力的分力。歸納起來,回復(fù)力一定等于振動物體在振動方向上所受的合力。分析物體的受力時不能再加上回復(fù)力。2.關(guān)于k值：公式F=-kx中的k指的是回復(fù)力與位移的比例系數(shù)，而不一定是彈簧的勁度系數(shù)，系數(shù)k由振動系統(tǒng)自身決定。3.加速度的特點：根據(jù)牛頓第二定律得表明彈簧振子做簡諧運動時,振子的加速度大小與位移大小成正比，加速度方向與位移方向相反?！緦W(xué)而后思】(1)簡諧運動的回復(fù)力的大小如何變化?何處為零何處最大?提示:向著平衡位置運動時,回復(fù)力越來越小,遠離平衡位置運動時回復(fù)力越來越大。平衡位置處,回復(fù)力為零,最大位移處回復(fù)力最大。(2)怎樣證明某一個振動是否為簡諧運動?提示:只要機械振動的回復(fù)力滿足F=-kx,此振動即為簡諧運動。【典例1】如圖所示,掛在豎直彈簧下面的小球,用手向下拉一段距離,然后放手,小球上下振動。試判斷小球的運動是否為簡諧運動?！窘忸}探究】(1)彈簧的彈力是否等于小球的回復(fù)力?提示:小球的回復(fù)力應(yīng)等于彈簧彈力和小球重力的合力。(2)小球的位移大小是否等于彈簧的伸縮量?提示:不相等,平衡位置是回復(fù)力為零的位置,不是彈簧彈力為零的位置,因此小球的位移大小不等于彈簧的伸縮量?！緲藴式獯稹啃∏蜢o止時的位置為其運動時的平衡位置,設(shè)此時彈簧伸長量為x0,由力的平衡條件可知kx0=mg,向下再拉長x,釋放后小球受到指向平衡位置的合力大小為:F=k(x+x0)-mg=kx,考慮到力的方向和位移方向的關(guān)系,應(yīng)有:F=-kx。由此可見,小球的運動為簡諧運動?！净犹骄俊咳魧椈上露斯潭?上端連接一個小球由平衡的位置下壓彈簧一段距離后釋放,小球的運動是否為簡諧運動?【解析】小球靜止時的位置為其運動時的平衡位置,設(shè)此時彈簧壓縮量為x0,由力的平衡條件可知:kx0=mg,向下再壓縮x,釋放后小球受到指向平衡位置的合力大小為:F=k(x+x0)-mg=kx,考慮到力的方向和位移方向的關(guān)系,應(yīng)有:F=-kx。由此可見,小球的運動為簡諧運動。【總結(jié)提升】判斷一個振動為簡諧運動的方法根據(jù)簡諧運動的特征進行判斷，由此可總結(jié)為：(1)通過對位移的分析，列出位移—時間表達式，利用位移—時間圖像是否滿足正弦規(guī)律來判斷。(2)對物體進行受力分析，求解物體所受力在振動方向上的合力，利用物體所受到的回復(fù)力是否滿足F=-kx進行判斷。(3)根據(jù)運動學(xué)知識，分析求解振動物體的加速度，利用簡諧運動的運動學(xué)特征進行判斷。二、簡諧運動中各個物理量的變化規(guī)律1.根據(jù)水平彈簧振子圖,可分析各個物理量的變化關(guān)系如下:振子的運動A→OO→A′A′→OO→A位移方向向右向左向左向右大小減小增大減小增大回復(fù)力方向向左向右向右向左大小減小增大減小增大加速度方向向左向右向右向左大小減小增大減小增大速度方向向左向左向右向右大小增大減小增大減小振子的動能增大減小增大減小彈簧的勢能減小增大減小增大系統(tǒng)總能量不變不變不變不變2.各個物理量對應(yīng)關(guān)系不同:位置不同,位移不同,加速度、回復(fù)力不同,但是速度、動能、勢能可能相同,也可能不同?！緦W(xué)而后思】(1)簡諧運動中在最大位移處和平衡位置處各物理量的特點是什么?提示:在最大位移處,x、F、a、Ep最大,v=0,Ek=0;在平衡位置處,x=0,F=0,a=0,Ep最小但不一定為零,v、Ek最大。(2)對豎直彈簧振子來說,振動能量包含哪幾種形式的能量?提示:動能、彈性勢能、重力勢能?！镜淅?】如果表中給出的是做簡諧運動的物體的位移x或速度v與時刻的對應(yīng)關(guān)系,T是振動周期,則下列選項中正確的是()0T/4T/23T/4T甲零正向最大零負向最大零乙零負向最大零正向最大零丙正向最大零負向最大零正向最大丁負向最大零正向最大零負向最大時刻物理量狀態(tài)A.若甲表示位移x,則丙表示相應(yīng)的速度vB.若丁表示位移x,則甲表示相應(yīng)的速度vC.若丙表示位移x,則甲表示相應(yīng)的速度vD.若乙表示位移x,則丙表示相應(yīng)的速度v【解題探究】(1)做簡諧運動的物體運動到關(guān)于平衡位置對稱的兩點時,描述運動的各物理量有什么特點?提示:關(guān)于平衡位置對稱的這兩點速度、加速度、回復(fù)力、位移的大小分別相等。(2)做簡諧運動的物體從平衡位置向最大位移處移動時,v、x、a、F的大小怎樣變化?提示:速度減小、位移增大、加速度和回復(fù)力增大?！緲藴式獯稹窟xA、B。本題可結(jié)合如圖所示的彈簧振子的振動情況具體分析。在振子從平衡位置(t=0)向右(正方向)運動到正向最大位移的過程中,其速度為正且由最大值減小到零,A正確;在振子從負向最大位移處運動,經(jīng)周期回到平衡位置時,振子向右運動,速度為正且增大,B正確;若振子從正向最大位移向平衡位置運動時,振子的速度為負且逐漸增大,C錯誤;若振子從平衡位置向負向最大位移處運動,則振子的速度為負且逐漸減小,D錯誤?！咀兪接?xùn)練】(2013·新課標全國卷Ⅱ)如圖,一輕彈簧一端固定,另一端連接一物塊構(gòu)成彈簧振子,該物塊是由a、b兩個小物塊粘在一起組成的。物塊在光滑水平面上左右振動,振幅為A0,周期為T0。當(dāng)物塊向右通過平衡位置時,a、b之間的粘膠脫開;以后小物塊a振動的振幅和周期分別為A和T,則A

A0(選填“>”“<”或“=”),T

T0(選填“>”“<”或“=”)。【解析】物塊以一定的速度通過平衡位置時,質(zhì)量減小,則振動的動能減小,也就是系統(tǒng)的機械能減小,所以能到達的最大位移減小,振幅減小;由于在這周期內(nèi),初速度和末速度不變,平均速度不變,而位移減小了,所以運動時間減小,即振動周期減小。答案:<<【變式備選】彈簧振子做簡諧運動,下列說法中正確的是()A.振子在平衡位置,動能最大,勢能最小B.振子在最大位移處,勢能最大,動能最小C.振子在向平衡位置振動時,由于振幅減小,故總機械能減小D.在任意時刻,動能與勢能之和保持不變【解析】選A、B、D。振子在平衡位置兩側(cè)往復(fù)振動,在最大位移處速度為零,動能為零,此時彈簧的形變量最大,勢能最大,所以B正確;在任意時刻只有彈簧的彈力做功,所以機械能守恒,D正確,到平衡位置處速度達到最大,動能最大,勢能最小,所以A正確;振幅的大小與振子的位置無關(guān),所以選項C錯誤。三、簡諧運動的三大特征1.瞬時性：做簡諧運動的物體在不同時刻運動到不同的位置，對應(yīng)不同的位移，由F=-kx可知回復(fù)力不同。由牛頓第二定律得可知加速度a也不相同，也就是說a、F、x具有瞬時對應(yīng)性。2.對稱性：物體通過關(guān)于平衡位置對稱的兩點時，加速度(回復(fù)力)大小相等，速度大小相等，動能相等，勢能相等。對稱性還表現(xiàn)在時間的相等上，如從某點到達最大位置和從最大位置再到該點所需要的時間相等。質(zhì)點從某點向平衡位置運動時,到達平衡位置的時間和它從平衡位置再運動到該點的對稱點所用的時間相等。3.周期性：簡諧運動是一種往復(fù)的周期性運動，按其周期性可作如下判斷：(1)若t2-t1=nT，則t1、t2兩時刻振動物體在同一位置，運動情況完全相同。(2)若t2-t1=nT+，則t1、t2兩時刻描述運動的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均為零)?！緦W(xué)而后思】(1)做簡諧運動的物體每次經(jīng)過同一位置時,加速度和速度有什么特點?提示:物體經(jīng)過同一位置時,位移相同,回復(fù)力相同,所以加速度相同;速度的大小一定相同,方向可能不同。(2)做簡諧運動的物體從某一位置出發(fā),經(jīng)過時間Δt又回到了初位置,則Δt是否等于周期T的整數(shù)倍,即Δt=nT?提示:不一定。即Δt=nT不一定成立,物體經(jīng)過nT一定回到初位置,但物體從出發(fā)到再回到初位置經(jīng)歷的時間不一定是nT?！镜淅?】如圖所示,A、B疊放在光滑水平地面上,B與自由長度為L0的輕彈簧相連,當(dāng)系統(tǒng)振動時,A、B始終無相對滑動,已知mA=3m,mB=m,當(dāng)振子距平衡位置的位移x的大小為時,系統(tǒng)的加速度大小為a,求A、B間摩擦力Ff與位移x的函數(shù)關(guān)系?！窘忸}探究】(1)系統(tǒng)做簡諧運動時，物體A和物體B各自做什么運動？它們的加速度、回復(fù)力是否等于系統(tǒng)的加速度和回復(fù)力？提示：A、B兩個物體均做簡諧運動，加速度和系統(tǒng)的加速度相同，回復(fù)力不同。(2)物體A的回復(fù)力由哪個力來提供？A、B間的摩擦力是否為恒力？提示：物體B對A的靜摩擦力提供A的回復(fù)力，摩擦力的大小滿足|Ff|=｜kx｜。【標準解答】設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，以A、B整體為研究對象，系統(tǒng)在水平方向上做簡諧運動，其中彈簧的彈力作為系統(tǒng)的回復(fù)力，所以對系統(tǒng)運動到距平衡位置時，有由此得當(dāng)系統(tǒng)的位移為x時，A、B間的靜摩擦力為Ff，此時A、B具有共同加速度a′，對系統(tǒng)有-kx=(mA+mB)a′,①②對A有Ff=mAa′，③結(jié)合①②③有答案：【變式訓(xùn)練】(2013·咸陽高二檢測)質(zhì)量為m1和m2兩物塊用輕彈簧相連，將它們豎立在水平面上，如圖所示。現(xiàn)在用豎直向下的壓力壓m1，使它們處于靜止?fàn)顟B(tài)。突然撤去壓力，當(dāng)m1上升到最高點時，m2對地壓力恰好為零。則系統(tǒng)靜止時豎直向下壓力大小等于多少？(提示：撤去力后m1上下做簡諧運動)【解析】當(dāng)m1運動到最高點時，m2對地壓力恰好為零，則此時彈簧彈力為m2g。所以m1簡諧運動最大加速度根據(jù)簡諧運動對稱性可知，突然撤去壓力時m1向上加速度也是：則：壓力F=m1am=(m1+m2)g答案：(m1+m2)g【典例】一輕質(zhì)彈簧豎直立在地面上，其勁度系數(shù)k=400N/m,彈簧的上端與空心物體A連接，物體B置于A內(nèi)，B的上下表面恰好與A接觸，如圖所示。A和B的質(zhì)量均為1kg，先將A向上抬高，使彈簧伸長5cm后從靜止釋放，A和B一起做豎直方向的簡諧運動，已知彈簧的彈性勢能決定于彈簧形變的大小，求：(g取10m/s2,阻力不計)(1)物體A的振幅。(2)B的最大速度?？疾閮?nèi)容對簡諧運動的性質(zhì)的理解【標準解答】(1)物體A在平衡位置時，所受合外力為零，設(shè)此時彈簧被壓縮Δx，則有(mA+mB)g=kΔx，得Δx=(mA+mB)g/k=0.05m=5cm。開始釋放時物體A處在最大位移處，故振幅h=5cm+5cm=10cm。(2)設(shè)物體B的最大速率為v，因為初始位置與平衡位置的彈性勢能相等，故從初始位置到平衡位置，根據(jù)機械能守恒定律有