第二章應(yīng)力分析

第二章軸對稱回轉(zhuǎn)薄殼的應(yīng)力分析主要內(nèi)容●軸對稱回轉(zhuǎn)薄殼的概念；●軸對稱回轉(zhuǎn)薄殼的幾何要素；●無力矩理論；有力矩理論；●微元體平衡方程；區(qū)域平衡方程；●特殊回轉(zhuǎn)殼體的薄膜應(yīng)力；2教學(xué)重點(diǎn)：無力矩理論、微元體平衡方程、區(qū)域平衡方程關(guān)鍵知識點(diǎn)：無力矩理論、微元體平衡；教學(xué)難點(diǎn)：微元體平衡方程、區(qū)域平衡方程

3●2.2回轉(zhuǎn)薄殼應(yīng)力分析●2.1載荷分析2.2.1薄殼圓筒的應(yīng)力2.2.2回轉(zhuǎn)薄殼的無力矩理論2.2.3無力矩理論的基本方程2.2.4無力矩理論的應(yīng)用目錄2.1.1載荷2.1.2載荷工況4載荷壓力容器應(yīng)力、應(yīng)變的變化載荷壓力（包括內(nèi)壓、外壓和液體靜壓力）非壓力載荷重力載荷風(fēng)載荷地震載荷運(yùn)輸載荷波浪載荷管系載荷支座反力吊裝力

2.1載荷分析局部載荷整體載荷2.1.1載荷5a.正常操作工況：容器正常操作時(shí)的載荷包括：設(shè)計(jì)壓力、液體靜壓力、重力載荷(包括隔熱材料、襯里、內(nèi)件、物料、平臺、梯子、管系及支承在容器上的其他設(shè)備重量)、風(fēng)載荷和地震載荷及其他操作時(shí)容器所承受的載荷。b.特殊載荷工況特殊載荷工況包括壓力試驗(yàn)、開停工及檢修等工況。制造完工的容器在制造廠進(jìn)行壓力試驗(yàn)時(shí)，載荷一般包括試驗(yàn)壓力、容器自身的重量。開停工及檢修時(shí)的載荷主要包括風(fēng)載荷、地震載荷、容器自身重量，以及內(nèi)件、平臺、梯子、管系及支承在容器上的其他設(shè)備重量c.意外載荷工況緊急狀況下容器的快速啟動或突然停車、容器內(nèi)發(fā)生化學(xué)爆炸、容器周圍的設(shè)備發(fā)生燃燒或爆炸等意外情況下，容器會受到爆炸載荷、熱沖擊等意外載荷的作用。2.1載荷分析2.1.2載荷工況62.2回轉(zhuǎn)薄殼應(yīng)力分析殼體：

以兩個曲面為界，且曲面之間的距離遠(yuǎn)比其它方向尺寸小得多的構(gòu)件。殼體中面：

與殼體兩個曲面等距離的點(diǎn)所組成的曲面。薄殼：殼體厚度t與其中面曲率半徑R的比值（t/R）max≤1/10。薄壁圓柱殼或薄壁圓筒：

外直徑與內(nèi)直徑的比值Do/Di≤1.2。厚壁圓筒：

外直徑與內(nèi)直徑的比值Do/Di>1.2

72.2回轉(zhuǎn)薄殼應(yīng)力分析2.2.1薄殼圓筒的應(yīng)力2.2.2回轉(zhuǎn)薄殼的無力矩理論2.2.3無力矩理論的基本方程2.2.4無力矩理論的應(yīng)用82.2.1薄殼圓筒的應(yīng)力基本假設(shè)：殼體材料連續(xù)、均勻、各向同性；受載后的變形是彈性小變形；殼壁各層纖維在變形后互不擠壓；

DiDDoAADit薄壁圓筒在內(nèi)壓作用下的應(yīng)力應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布。9B點(diǎn)受力分析

內(nèi)壓PB點(diǎn)軸向：經(jīng)向應(yīng)力或軸向應(yīng)力σφ圓周的切線方向：周向應(yīng)力或環(huán)向應(yīng)力σθ壁厚方向：徑向應(yīng)力σr三向應(yīng)力狀態(tài)σθ、σφ>>σr二向應(yīng)力狀態(tài)因而薄殼圓筒B點(diǎn)受力簡化成二向應(yīng)力σφ和σθ2.2.1薄殼圓筒的應(yīng)力10sjsjsqsqppa(a)(b)yxDi

t圖2-2薄壁圓筒在壓力作用下的力平衡截面法2.2.1薄殼圓筒的應(yīng)力11應(yīng)力求解圓周平衡：靜定圖2-2軸向平衡：==2.2.1薄殼圓筒的應(yīng)力122.2.2回轉(zhuǎn)薄殼的無力矩理論一、回轉(zhuǎn)薄殼的幾何要素132.2.2回轉(zhuǎn)薄殼的無力矩理論一、回轉(zhuǎn)薄殼的幾何要素回轉(zhuǎn)薄殼：中面由一條平面曲線或直線繞同平面內(nèi)的軸線回轉(zhuǎn)360度而成的薄殼。母線：繞軸線（回轉(zhuǎn)軸）回轉(zhuǎn)形成中面的平面曲線或直線。極點(diǎn)：中面與回轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)。經(jīng)線平面：通過回轉(zhuǎn)軸的平面。經(jīng)線：經(jīng)線平面與中面的交線。平行圓：垂直于回轉(zhuǎn)軸的平面與中面的交線稱為平行圓。14中面法線：

過中面上的點(diǎn)且垂直于中面的直線，法線必與回轉(zhuǎn)軸相交。第一主曲率半徑R1：經(jīng)線上點(diǎn)的曲率半徑。第二主曲率半徑R2：垂直于經(jīng)線的平面與中面交線上點(diǎn)的曲率半徑。等于考察點(diǎn)B到該點(diǎn)法線與回轉(zhuǎn)軸交點(diǎn)K2之間長度（K2B）平行圓半徑r：

平行圓半徑。2.2.2回轉(zhuǎn)薄殼的無力矩理論注：同一點(diǎn)的第一與第二主曲率半徑都在該點(diǎn)的法線上。曲率半徑的符號判別：曲率半徑指向回轉(zhuǎn)軸時(shí)，其值為正，反之為負(fù)。r與R1、R2的關(guān)系：一、回轉(zhuǎn)薄殼的幾何要素15二、無力矩理論與有力矩理論圖2-4殼中的內(nèi)力分量N2.2.2回轉(zhuǎn)薄殼的無力矩理論16內(nèi)力薄膜內(nèi)力橫向剪力彎曲內(nèi)力Nφ、Nθ、Nφθ、NθφQφ、Qθ

Mφ、Mθ、Mφθ、Mθφ、無力矩理論或薄膜理論（靜定）有力矩理論或彎曲理論（靜不定）

無力矩理論所討論的問題都是圍繞著中面進(jìn)行的。因壁很薄，沿壁厚方向的應(yīng)力與其它應(yīng)力相比很小，其它應(yīng)力不隨厚度而變，因此中面上的應(yīng)力和變形可以代表薄殼的應(yīng)力和變形。彎矩扭矩2.2.2回轉(zhuǎn)薄殼的無力矩理論二、無力矩理論與有力矩理論17一、殼體微元及其內(nèi)力分量微元體：abdc經(jīng)線ab弧長：截線bd長：微元體abdc的面積：壓力載荷：微元截面上內(nèi)力：=（）（=）、2.2.3無力矩理論的基本方程2.2.3無力矩理論的基本方程191.經(jīng)向力Nφ在法線上的投影二、微元平衡方程（圖2-5）由圖2-5（c）知，經(jīng)向內(nèi)力Nφ和Nφ+dNφ在法線上分量：將代入上式，并略去高階微量，（a）2.2.3無力矩理論的基本方程20二、微元平衡方程（圖2-5）2.周向力Nθ在法線上的投影（1）投影在平行圓方向由圖2-5（d）中ac截面知，周向內(nèi)力在平行圓方向的分量為（2）將上面分量投影在法線方向得（b）2.2.3無力矩理論的基本方程21二、微元平衡方程（圖2-5）微體法線方向的力平衡■微元平衡方程，又稱拉普拉斯方程。（2-3）2.2.3無力矩理論的基本方程22三、區(qū)域平衡方程（圖2-6）圖2-6部分容器靜力平衡2.2.3無力矩理論的基本方程o’m’n’moo’o23三、區(qū)域平衡方程（圖2-6）（續(xù)）壓力在0-0′軸方向產(chǎn)生的合力：作用在截面m-m′上內(nèi)力的軸向分量：區(qū)域平衡方程式：（2-4）通過式（2-4）可求得，代入式(2-3)可解出微元平衡方程與區(qū)域平衡方程是無力矩理論的兩個基本方程。2.2.3無力矩理論的基本方程24

分析幾種工程中典型回轉(zhuǎn)薄殼的薄膜應(yīng)力：承受氣體內(nèi)壓的回轉(zhuǎn)薄殼球形薄殼薄壁圓筒錐形殼體橢球形殼體儲存液體的回轉(zhuǎn)薄殼圓筒形殼體球形殼體2.2.4無力矩理論的應(yīng)用25一、承受氣體內(nèi)壓的回轉(zhuǎn)薄殼回轉(zhuǎn)薄殼僅受氣體內(nèi)壓作用時(shí)，各處的壓力相等，壓力產(chǎn)生的軸向力V為：由式（2-4）得：（2-5）將式（2-5）代入式（2-3）得：（2-6）2.2.4無力矩理論的應(yīng)用26A、球形殼體球形殼體上各點(diǎn)的第一曲率半徑與第二曲率半徑相等，即R1=R2=R將曲率半徑代入式（2-5）和式（2-6）得：（2-7）2.2.4無力矩理論的應(yīng)用27B、薄壁圓筒薄壁圓筒中各點(diǎn)的第一曲率半徑和第二曲率半徑分別為R1=∞；R2=R將R1、R2代入（2-5）和式（2-6）得：（2-8）薄壁圓筒中，周向應(yīng)力是軸向應(yīng)力的2倍。2.2.4無力矩理論的應(yīng)用28C、錐形殼體圖2-7錐形殼體的應(yīng)力R1=式（2-5）、（2-6）（2-9）2.2.4無力矩理論的應(yīng)用29由式（2-9）可知：①周向應(yīng)力和經(jīng)向應(yīng)力與x呈線性關(guān)系，錐頂處應(yīng)力為零，離錐頂越遠(yuǎn)應(yīng)力越大，且周向應(yīng)力是經(jīng)向應(yīng)力的兩倍；②錐殼的半錐角α是確定殼體應(yīng)力的一個重要參量。當(dāng)α0°時(shí)，錐殼的應(yīng)力圓筒的殼體應(yīng)力。當(dāng)α90°時(shí)，錐體變成平板，應(yīng)力無限大。2.2.4無力矩理論的應(yīng)用30D、橢球形殼體圖2-8橢球殼體的應(yīng)力2.2.4無力矩理論的應(yīng)用31推導(dǎo)思路：橢圓曲線方程R1和R2式（2-5）（2-6）（2-10）

又稱胡金伯格方程2.2.4無力矩理論的應(yīng)用32圖2-9橢球殼中的應(yīng)力隨長軸與短軸之比的變化規(guī)律2.2.4無力矩理論的應(yīng)用②橢球殼應(yīng)力與內(nèi)壓p、壁厚t有關(guān)，與長軸與短軸之比a／b有關(guān)

a＝b時(shí)，橢球殼球殼，最大應(yīng)力為圓筒殼中的一半，

a／b，橢球殼中應(yīng)力，如圖2-9所示。33從式（2-10）可以看出：①橢球殼上各點(diǎn)的應(yīng)力是不等的，它與各點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)。在殼體頂點(diǎn)處（x＝0，y＝b）R1＝R2＝，2.2.4無力矩理論的應(yīng)用342.2.4無力矩理論的應(yīng)用③橢球殼承受均勻內(nèi)壓時(shí)，在任何a／b值下，恒為正值，即拉伸應(yīng)力，且由頂點(diǎn)處最大值向赤道逐漸遞減至最小值。當(dāng)時(shí)，應(yīng)力將變號。從拉應(yīng)力變?yōu)閴簯?yīng)力。隨周向壓應(yīng)力增大，大直徑薄壁橢圓形封頭出現(xiàn)局部屈曲。

措施：整體或局部增加厚度，局部采用環(huán)狀加強(qiáng)構(gòu)件。35④工程上常用標(biāo)準(zhǔn)橢圓形封頭，其a/b=2。

的數(shù)值在頂點(diǎn)處和赤道處大小相等但符號相反，即頂點(diǎn)處為，赤道上為-，恒是拉應(yīng)力，在頂點(diǎn)處達(dá)最大值為。2.2.4無力矩理論的應(yīng)用●幾何形狀：薄殼應(yīng)具有連續(xù)曲面，殼體形狀如曲率和壁厚無突變?！窦虞d方式：薄殼所受載荷應(yīng)連續(xù)分布，且無任何突變，更不能有集中載荷。無力矩體素平衡方程的適用條件●邊界條件：殼體邊界固定形式應(yīng)是自由支承的（當(dāng)邊界上法向位移和轉(zhuǎn)角受到約束，在載荷作用下勢必引起殼體彎曲）。由此可見，薄殼無力矩狀態(tài)的存在必須滿足殼體幾何形狀、材料和載荷的連續(xù)性，同時(shí)須保證殼體具有自由邊界。當(dāng)這些條件之一不能滿足時(shí)，則不能應(yīng)用無力矩理論分析殼體的受力情況。無力矩體素平衡方程的適用條件①計(jì)算殼體幾何特征rφ、rθ；②取隔離體建立區(qū)域平衡方程，求σφ,p；③由微元體平衡方程求σθ。應(yīng)用薄殼基本平衡方程解題步驟已知：厚度為t，半徑為R的球罐，內(nèi)裝滿密度為ρ的液體。如考慮支柱端部作為球殼的支承帶，試求在支承帶以上即α0角以內(nèi)的球殼φ處由于液壓產(chǎn)生的薄膜應(yīng)力σφ，σθ。薄殼基本平衡方程的應(yīng)用實(shí)例1α0β0φ支承帶σφφαdQzdQzdQoσφRr解：①rφ＝rθ＝R②取隔離體（正切），其受力分析如下所示。則：

i.內(nèi)力在oz方向的合力薄殼基本平衡方程的應(yīng)用實(shí)例1ii.隔離體上φ處的外載荷σφφαdQzdQzdQoσφRriii.外力在oz方向的合力

●微元環(huán)（陰影）上的外力薄殼基本平衡方程的應(yīng)用實(shí)例1●外力在oz上的分力薄殼基本平衡方程的應(yīng)用實(shí)例1●外力在oz上的合力由，即得：iv.建立隔離體的區(qū)域平衡方程

薄殼基本平衡方程的應(yīng)用實(shí)例1則薄殼基本平衡方程的應(yīng)用實(shí)例1③由體素平衡方程得：解得：薄殼基本平衡方程的應(yīng)用實(shí)例1故薄殼基本平衡方程的應(yīng)用實(shí)例1已知：一有頂圓柱形罐，罐壁直徑為D，罐壁高度為H0，頂是半徑為R的球殼。球殼和圓柱形殼采用半徑為r的環(huán)殼光滑連接。罐內(nèi)裝有密度為ρ的油品。液面上的油品蒸氣壓力為p0，液位高度為H。壁厚均為t，不計(jì)自重。試計(jì)算罐壁的σφ，σθ