第二章-清華數(shù)字電子技術(shù)第五版閻石課件

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯運算:

當0和1表示邏輯狀態(tài)時，兩個二進制數(shù)碼按照某種特定的因果關(guān)系進行的運算。邏輯運算使用的數(shù)學工具是邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)與普通代數(shù):與普通代數(shù)不同,邏輯代數(shù)中的變量只有0和1兩個可取值，它們分別用來表示完全兩個對立的邏輯狀態(tài)。在邏輯代數(shù)中，有與、或、非三種基本的邏輯運算。

邏輯：事物的因果關(guān)系

邏輯運算的數(shù)學基礎(chǔ)：邏輯代數(shù)

在二值邏輯中的變量取值：

0/1

2.1概述

2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算

與（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示開關(guān)A合上，A=0表示開關(guān)A斷開；

以Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；

三種電路的因果關(guān)系不同：與條件同時具備，結(jié)果發(fā)生Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY0000100011或條件之一具備，結(jié)果發(fā)生Y=AORB=A+BABY0000110111非條件不具備，結(jié)果發(fā)生

AY0110幾種常用的復(fù)合邏輯運算與非 或非 與或非幾種常用的復(fù)合邏輯運算異或Y=ABABY0000110110幾種常用的復(fù)合邏輯運算同或Y=A⊙BABY00101000112.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式

邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)。它是分析和設(shè)計現(xiàn)代數(shù)字邏輯電路不可缺少的數(shù)學工具。邏輯代數(shù)有一系列的定律、定理和規(guī)則，用于對數(shù)學表達式進行處理，以完成對邏輯電路的化簡、變換、分析和設(shè)計。

邏輯關(guān)系指的是事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的因果關(guān)系。在數(shù)字電路中往往是將事情的條件作為輸入信號，而結(jié)果用輸出信號表示。條件和結(jié)果的兩種對立狀態(tài)分別用邏輯“1”和“0”表示。2.3.1基本公式根據(jù)與、或、非的定義，得表2.3.1的布爾恒等式序號公式序號公式101′

=0;0′=110

A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A證明方法：推演真值表交換律：A+B=B+AA·B=B·A結(jié)合律：A+B+C=(A+B)+C

A·B·C=(A·B)·C

分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC

A·1=AA·0=0A+0=AA+1=10、1律：A·A=0A+A=1互補律：重疊律：A+A=AA·A=A反演律：AB=A+B

A+B=A·B摩根定理公式（17）的證明（公式推演法）：公式（17）的證明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2若干常用公式序號公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋

A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1代入定理

------在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。2.4.1代入定理應(yīng)用舉例：式（17）A+BC=(A+B)(A+C) A+B(CD)=(A+B)(A+CD) =(A+B)(A+C)(A+D)2.4.1代入定理應(yīng)用舉例：式（8）2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.2反演定理

-------對任一邏輯式

變換順序先括號，然后乘，最后加

不屬于單個變量的上的反號保留不變2.4.2反演定理應(yīng)用舉例：2.5.1邏輯函數(shù)Y=F(A,B,C,······)------若以邏輯變量為輸入，運算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關(guān)系。注：在二值邏輯中， 輸入/輸出都只有兩種取值0/1。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.5.2邏輯函數(shù)的表示方法真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖計算機軟件中的描述方式各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換真值表輸入變量ABC····輸出Y1Y2

····遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應(yīng)的取值邏輯式將輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系用與/或/非的運算式表示就得到邏輯式。邏輯圖用邏輯圖形符號表示邏輯運算關(guān)系，與邏輯電路的實現(xiàn)相對應(yīng)。波形圖將輸入變量所有取值可能與對應(yīng)輸出按時間順序排列起來畫成時間波形。卡諾圖EDA中的描述方式

HDL(HardwareDescriptionLanguage)

VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)VerilogHDL EDIF DTIF

。。。

舉例：舉重裁判電路ABCY00000010010001101000101111011111各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換：真值表邏輯式例：奇偶判別函數(shù)的真值表A=0,B=1,C=1使

A′BC=1A=1,B=0,C=1使AB′C=1A=1,B=1,C=0使

ABC′=1這三種取值的任何一種都使Y=1,所以

Y=?ABCY00000010010001111000101111011110真值表邏輯式：找出真值表中使Y=1的輸入變量取值組合。每組輸入變量取值對應(yīng)一個乘積項，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。將這些變量相加即得Y。把輸入變量取值的所有組合逐個代入邏輯式中求出Y，列表邏輯式邏輯圖1.用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。邏輯式邏輯圖1.用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。2.從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應(yīng)的邏輯運算式。波形圖真值表ABCY0000001101010110100010111001111最小項舉例：兩變量A,B的最小項三變量A,B,C的最小項2.5.3邏輯函數(shù)的兩種標準形式

最小項之和最大項之積

對于變量的任一組取值，全體最小項之和為1。對于任意一個最小項，只有一組變量取值使得它的值為1；

對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為0；0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三個變量的所有最小項的真值表

最小項的性質(zhì)

最小項的編號

三個變量的所有最小項的真值表m0m1m2m3m4m5m6m7最小項的表示：通常用mi表示最小項，m

表示最小項,下標i為最小項號。0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：利用公式可將任何一個函數(shù)化為邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：邏輯函數(shù)的最小項表達式為“與或”邏輯表達式；在“與或”式中的每個乘積項都是最小項。例1將化成最小項表達式=m7＋m6＋m3＋m5

邏輯函數(shù)的最小項表達式：

例2將化成最小項表達式a.去掉非號b.去括號最大項：M是相加項；包含n個因子。n個變量均以原變量和反變量的形式在M中出現(xiàn)一次。如：兩變量A,B的最大項對于n變量函數(shù)2n個最大項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最大項的值為0；全體最大項之積為0；任何兩個最大項之和為1；只有一個變量不同的最大項的乘積等于各相同變量之和。最大項的編號：最大項取值對應(yīng)編號ABC十進制數(shù)1117M71106M61015M51004M40113M30102M20011M10000M02.5.4、邏輯函數(shù)形式的變換例：從與或式變?yōu)榕c或非式Y(jié)=AC+BC′=[(AC+BC′)′]′=[(AC)′(BC′)′]′

=[(A′+C′)(B′+C)]′=[A′B′+A′C+B′C′]′=[B′C′+A′C]′2.6邏輯函數(shù)的化簡法邏輯函數(shù)的最簡形式最簡與或

------包含的乘積項已經(jīng)最少，每個乘積項的因子也最少，稱為最簡的與-或邏輯式。2.6.1公式化簡法反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。例：

2.6.1公式化簡法反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。例：

2.6.1公式化簡法反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。例：

1.邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所 有公式熟練掌握；2.代數(shù)法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經(jīng)驗 和靈活性；3.用這種化簡方法技巧強，較難掌握。特別是對代數(shù)化簡 后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難。 卡諾圖法可以比較簡便地得到最簡的邏輯表達式。代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：2.6.2卡諾圖化簡法

邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法實質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項之和的以圖形的方式表示出來以2n個小方塊分別代表n變量的所有最小項，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在邏輯上也是相鄰的（只有一個變量不同），就得到表示n變量全部最小項的卡諾圖。表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖五變量的卡諾圖用卡諾圖表示邏輯函數(shù)將函數(shù)表示為最小項之和的形式。在卡諾圖上與這些最小項對應(yīng)的位置上添入1，其余地方添0。用卡諾圖表示邏輯函數(shù)例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

用卡諾圖化簡函數(shù)依據(jù)：具有相鄰性的最小項可合并，消去不同因子。

在卡諾圖中，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。合并最小項的原則：兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一對因子四個排成矩形的相鄰最小項可合并為一項，消去兩對因子八個相鄰最小項可合并為一項，消去三對因子兩個相鄰最小項可合并為一項，

消去一對因子化簡步驟：（1）函數(shù)化為最小項之和。（2）用卡諾圖表示邏輯函數(shù)（3）找出可合并的最小項（4）化簡后的乘積項相加 （項數(shù)最少，每項因子最少）

用卡諾圖化簡函數(shù)卡諾圖化簡的原則化簡后的乘積項應(yīng)包含函數(shù)式的所有最小項，即覆蓋圖中所有的1。乘積項的數(shù)目最少，即圈成的矩形總數(shù)最少。每個乘積項因子最少，即圈成的矩形最大。例：0001111001ABC例：000111100011111101ABC例：000111100011111101ABC例：化簡結(jié)果不唯一例：0001111000011110ABCD例：00011110001001011001111111101111ABCD約束項任意項邏輯函數(shù)中的無關(guān)項：約束項和任意項可以寫入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無關(guān)項。在邏輯函數(shù)中，對輸入變量取值的限制，在這些取值下為1的最小項稱為約束項在輸入變量某些取值下，函數(shù)值為1或為0不影響邏輯電路的功能，在這些取值下為1的最小項稱為任意項2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡

2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項約束項：恒等于0的最小項稱約束項。如A、B、C表示電動機的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)、停止，有意義的只有3項，Y1=AB`C`；Y2=A`BC`；Y3=A`B`C；其余都是約束項。A`B`C`+A`BC+AB`C+ABC`+ABC=0。既然為0，在函數(shù)式中加上或去掉都可以，而不影響總的結(jié)果。如Y1=AB`C`+ABC由于ABC恒為0，即不允許ABC=1。任意項：A=1；B=1；C=1；或A=1；B=1；C=0等5種情況下，電路設(shè)計為保護狀態(tài)，自動切斷電源，此時在Y1是1還是0都無所謂。Y1=AB`C`+ABC在A=B=C=1的情況下，加上ABC，Y