大學(xué)復(fù)習(xí)資料-概率論核心概念及公式

（1）

Pn=

m!(mn)!mC=m!mC=

從m個人中挑出n個人進(jìn)行排列的可能數(shù)。

nm n!(mn)!

從m個人中挑出n個人進(jìn)行組合的可能數(shù)。（2）理（3列（4）（5）（6）運(yùn)算

n某件事由兩種方法來完成，??一種方法可m種方法完成，??n種方某件事由兩個步驟來完成，??一個步驟可m種方法完成，??n種方重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）順序問題試驗的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。如下性質(zhì)：表示。1①關(guān)系：ABAB：ABBA□。屬于A而不屬于BA與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者AB，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。BAA與BABAA。它表示A不發(fā)生的事件。互斥未必對立。②運(yùn)算：更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源 =Ai德摩根率：i=1 i=1

AB=AB

，AB=AB（7）定義

列三個條件：，A2有 PAi=P(Ai)i=1 i=1°=1,2n，

P(12°

)=P(n

)=1n。型

設(shè)任一事件A1,2m組成的，則有=1)2)m)}=P1)+P2)++Pm)n

基本事件總數(shù)（9）型式式

A，P(A)=L(A)L()。其中L為幾何度量（）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A-B)=P(A)-P(AB)

BP(AB)

P(AB)

為事件AB率

)式

乘法公式：PAB)PA)P(B/A)，若PA1A2An)PA1)PA2|A1)PA3|A1A2PAn|A1A2An1。設(shè)事件A、B滿足PAB)PA)P(B，則稱事件A、B是相互獨立的。若事件A、B相互獨立，且PA)0，則有

P(B|A)=

P(A)

P(A)P(B)=P(B)P(A)A、BA與B、A與B、AB更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源

?與任何事件都互斥。設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)那么C對于n個事件類似。設(shè)事件B1B2,Bn滿足,B2,,nP(i)>0i=,,,n)，nABi式 2°則有

i=1 ，PA)P(B1)PA|B1P(B2)P(A|B2+P(Bn)P(A|Bn。設(shè)事件B1，B2，…，Bn及A滿足°nABi

2°則

i=1/A)=

，P(A)>0，P(Bi)P(A/Bi)n公式 P(Bj)P(A/Bj)

概型

(i)（i=12nP(i/)（i=12n，的推斷。我們作了n次試驗，且滿足AAnAAA這種試驗稱為伯努利概型，或稱n重伯努利試驗。p表示每次試驗A發(fā)生的概率，則A1pq，用Pn(k表示n重nn，。P(k)=Ckpkqnnn，。

離布律

X(X=Xk)的概率為X給出：X |P(X=xk)

x1,x2,,xk,p1,p2,,pk,。

pk=1（1）pk0k1,2,，（2）k=1 。更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源連布密度

設(shè)F(x)Xf(x)xxF(x)=f(x)dx，x則稱Xf(x稱為X密度。41°f(x)0。+離布函數(shù)

f(x)dx=1。P(X=x)P(x<Xx+dx)f(x)dxfx)dxP設(shè)XF(x)=P(Xx)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。

xk)pk在離散型P(a<Xb)=F(b)F(a)

X(abF(x)分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°0F(x)1,

–<x<+；°F()=3°

limF(x)=0x

F(+)=

limF(x)=1x+ ；4°F(x0)F(x，即F(x是右連續(xù)的；5°P(Xx)F(x)F(x0)。F(x)=pk

xkx ；xF(x)=f(x)dx機(jī)變量， 。八

0-1分布 n布 在nApAX則Xn。P(X=k)=Pn(k)=Ckpkqnk，其中n1,k=0,1,2,,n，Xnp

~B(n,p。當(dāng)n1時，P(Xk=

分布，泊松分布 kP(X

ek!

，>0，k=0,1,2，)。

~)或者。更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源

k nkCM CCnNC

l=min(M,n),X。,

)1,2,3,，其中p≥0，q=1-p。Xp。布 Xf(x)上1為常數(shù)ba，即1 ,

a≤x≤bf(x)=b,

X。xF(x)=x

f(x)dx=

0，ba1，

x<a，a≤x≤bx>b。當(dāng)x2P(x1

<X<x2

)=x2x1ba。

f(x)=

ex,

x0,0, x<0,0XF(x)=

ex,0,

x0,x<0。+xnexdx=n!0更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源X正態(tài)分布 X(x)f(x)=

1

2，

–<x<+，、0X服從參數(shù)為、X~N(,2)?！鉬(x)x=1f()=°

若X~N(,2，則X的分布函數(shù)為F(x)=

e2dt2 。

1)(x)= 2分布函數(shù)1 x

2

，<x<+，

e2dt2 21數(shù)值，已編制成表可供查用。X~N(,2，則

~N(0,1)。P(x

<Xx

)=x2x11 2

。位數(shù)數(shù)分布

型 X,,

xn,P(X=xi)p1,p2,,

pn,，Y gx1),g2)g,xgxn),的分布列（i

(i互不相等）如下：P(Y=

)

p2,

, pn, ，g(xi)pig(xi)。型 用X出Y。??三章二維隨機(jī)變量及其分布更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源分布

型 。設(shè)=（X，Y）(xi,yj)(i,j1,2,，且=(xi,yj)稱P{(X,Y)=(xi,yj)}=pij(i,j=1,2,)有時也用下面的概率分布表來表示：XyXyy…y…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1…pij…1 2 j；j

pij=1.連續(xù)型 對于二維隨機(jī)向=(X,Y)，如果存在非負(fù)函數(shù)fxy)(x+,y+，使對任意一個其鄰邊D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有PX,YDf(x,y)dxdy,DX和Yf(x,y)≥0;++隨機(jī)變量的本質(zhì)

）f(x,y)dxdy=.(X=x,Y=y)=(X=xY=y)更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源分布函數(shù)

F(x,y)=P{Xx,Yy}X和Y數(shù)。{(1,2|X(1)x,Y(2)y的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）0F(x,y)1;x和y當(dāng)當(dāng))x和yF(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);（4）F(,)=F(,y)=F(x,)=0,F(+,+)=1.F(x2，y2)F(x2，y1)F(x1，y2)+F(x1，y1)0.型與連續(xù)型的關(guān)系邊緣

P(X=x，Y=y)P(x<Xx+dx，y<Yy+dy)離散型

f(x，y)dxdy分布

=xi)=j

；Y的邊緣分布為j=PY=yj)=i連續(xù)型 +fX(x)=f(x,y)dy+fY(y)=f(x,y)dx.

pij(i,j=1,2,)。條件

型 知為分布P(Y=yj

|X=xi)=

pijpiP(X=xi

|Y=yj)=

pij,pj型 知為f(x|y)=

f(x,y)fY(y)；f(y|x)=

獨立

一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)性 離散型

j更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源連續(xù)型 f(x,y)=fX(x)fY(y)

1 x

2(x)(y)

y2布 f(x,y)=

1212

– e

1

1

2+

2 2 ,函數(shù)

若h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨立。X與Y和X與Y和均勻分布

1 (x,y)DSDf(x,y)=, 其他其中SDDD。、圖和圖。y1D1O 1 x圖3.1y1D2O 1 2x圖3.2yd D3cOa bx圖3.3更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源二維設(shè)隨機(jī)向量

1 x2

2(x)(y)

y2f(x,y)=

1212

– 2(12)e

1

1

2+

22 ,12,10,20,|1是5,2,2,).

2,1 2,2),Y~N(2).即X～N（1

2,2,2),Y~N(2)但是若X～N（1

2,2

數(shù)分布

Y FZ(z)=P(Zz)=P(+＝

+Yz)1+1

,22。212n212=C 2=C22ii i ii ， i

X1,X2Xn相互獨立，其分布函數(shù)分別為1(x，x2(x)xn(x)，則XXX為：

1 2 n1 2 nmin(x)=11x(x)]1x(x)1x

(x)]1 2 n

設(shè)n個隨機(jī)變量X1,X2,,Xn相互獨立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和niW=X2ii=1 1 un u2e2n

u0,f()=22n,

u<0.Wn的2W～2(n)其中n

+ =

x2exdx.2 0布中的一個重要參數(shù)。iiY2(n),ii則k2Z=i~(2121

+n++nk).i=1更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源t布 設(shè)且T=XY/nn+1

n+1 2

t22f(t)=

1+ n nn 2

(<t<+).Tn的t。t1(n)=t(n)12設(shè)X~2(n),Y~2(n12

，且X與Y獨立，可以證明F=X/n1Y/n2

n1+n2

n+n 2 n22

12n 2=

y2 1+1y

,y0f(y)

n1n2n2

n2 2 2

0,y<0Fn2的F1

(n1,n2)=F

1(n,n)??四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

2 1（1 離散型 連續(xù)型）一期望維隨機(jī)變

設(shè)X布律為PXxk)

設(shè)X率密度為f(x)，+k量的 n

E(X)=xf(x)dx數(shù)字 E(X)=xkpk特征 k=1

函數(shù)的期望 Y=g(X)nnE(Y)=g(xk)pkk=1

=

+g(x)f(x)dx方差

D(X)

=[kk

E(X)]2p

kD(X)=k

+[xE(X)]2f(x)dx

D(X)，更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源矩 k即

k即νk=E(Xk)=

xkpiiiii

f(x)dx,….X的k

X的kkkk=E(XE(X))kk.

=E(XE(X))k.(xi=i

–E(X))kpi，i

+(xE(X))kf(x)dx,=

式 X差則對于任意正數(shù)ε，有下列切比雪夫不等式2P(X

)2（2 E(C)=C期

X的分布的情況下，對概率P(X)望的 n n質(zhì) E(CiXi)=CiE(Xi)

i=1和Y充要條件：X和Y不相關(guān)。（3 D(C)=0；E(C)=C方差的；性質(zhì)和Y充要條件：X和Y不相關(guān)。（4 期望 方差p見分二項分布B(n,p) np

p(1p)布的泊松分布P() 期望 1p差超幾何分布 nM

1pp2nM

MNn1 H(n,M,N) N

N NN1b)

b2

(ba)212更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源21 12 布N(,2) 22分布

n 2nn0（5 期望 n

+E(X)=xipii=1

E(X)=

xfX

(x)dx維隨 n變 ()=yjpjj=1量的

E(Y)=

+yfY

(y)dy數(shù)字函數(shù)的期望

E[G(X,Y)]＝G(x,y)p

E[G(X,Y)]＝++特征 ii j方差

j ij

G(x,y)f(x,y)dxdy—－+D(X)=[xii

–E(X)]2p

D(X)=

[xE(X)]2fX(x)dxi+iD(Y)=[xjj

–E(Y)]2p

D(Y)=[yE(Y)]2

fY(y)dy協(xié)方差 對于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心11為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記XY或cov(X,Y)，即XY

11=E[(XE(X))(YE(Y))].XY與Y與數(shù) X與果稱XYD(X)D(Y)為與。||X與YP(X=aY+b)=1

=1時(a0)，而當(dāng)0時，稱X與Y不相關(guān)。①XY

=0；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

XX XY YX YY更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源混合矩 對于隨機(jī)變量X與Y，如果有E(XkYl)存在，則稱之為X與Yukl（6

協(xié)方差的性質(zhì)（7 與XY0；反之不真。

,2,2,，立和 1 2 1 2不相 則X與Y相互獨立的充要條件X和Y不相關(guān)。關(guān)??五章大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律 X

數(shù)C所界：定律 1n 1n limP XiE(Xi)<=1.n

ni=1

ni=1 式成為1n limP Xi<=1.n ni=1 伯努 設(shè)μ是n次獨立試驗中事A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每利大 次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正ε，有數(shù)定 limP p

1.律 n

<=nA與概率有較大判別的可能性很小，即limP p

=0.n n 欽 設(shè)數(shù) ε有定律 1n limP Xi<=1.n ni=1 更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源中心極限 定理 2

同的數(shù)學(xué)期望和方差：EXk)DXk)20(k1,2,，則隨機(jī)變量XN(, )n 格定理

nnY=k=1n

–nnn XknlimF(x)=limPk=1

=1xx

t2xe2dt.nn

n

莫 Xn弗－ 實數(shù)x,有拉普拉斯 P

Xnnp

x=

t2xe2dt.n定理

np(1p)

CkCnk

N時,MN

p(n,k不變)，則M NM

Ckpk(1p)nkCNn n (N).CN泊松定理 當(dāng)則knCkpk(1p)nkn

k!

(n).總體個體）樣本 從總體中抽取的部分樣x1,x2,,xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般n表示。在一般情況下，總有相同分布的隨機(jī)量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的，1,2,xn表示nx1x2,xn表示n個具體的數(shù)值（樣本值）兩重性。

x1x2,xn為總體的一個樣本，稱

=

x2

,,xn）更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源常見統(tǒng)計量 1n

x=xi.ni=1n

1

1n

n(xii=1

–x)2.樣本標(biāo)準(zhǔn)差

S=n1

(xii=1

–x)2.1n kMk=n

xi,k=1,2,.i=1kM=k

n11

ni=1E(X)=，D(X)

=2n，

E(S*2)=n12n ,S*2

n12=(XiX)12其中

正態(tài)分布 數(shù)defu

x

/ nt布 設(shè)x1,x2,,xnN,2)函數(shù)deft

x

(n1),s/ n2分布

其中的t設(shè)x1,x2,,xnN,2)數(shù)defw

2

~2(n1),的

x,x

,,x

N(,2)設(shè)1 2

1 y,y

,,y

N(,2)1 2defS2

/2

2 F1 1FS222/2S22其中

~F(n1

1),1 n1 1 n21S2=1n1

(xi

–x)2,

S2=2n22

i

–y)2;Fn11,n21)表示??n11，??二自由度為n21的F分布。更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源總體下分布的性質(zhì)

X與S2獨立。） 計 體X1,2,,m以

F(

,,m

它的k階原點矩kv=E(Xk)(k=1,2,,m)k

2,,

m，即vk=vk1,2,,m)1,x2,xnX的n其樣本的k階原點矩為1n kxini=1

(k=1,2,,m).矩”的原則建立方程，即有

=1nnv11,2,,mn

xi,

1n 221,2,,m)=nxi, n nv,

m,,m

xm.iim 1 2

mm12,m)1,2,,mg(x)g?)為g)17 更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源極大似 當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布密度為

f(x;1,2,,m)

,,,1 2 1 2 nL1,2,,m)=f(xi;1,2,,m)i=1當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布律為P{X

x}=p(x;1,2,,m)，則稱nL(x1,x2,,xn1,2,,m)=(xi1,2,m)

L(1,x2,,xn;1,2,,m)

1,2,,m若似然函數(shù) 在 1,2, ,m1,1,2, ,m

分別為 i

i

=0,i=1,2,,mg(x)g)為g)（2）標(biāo)準(zhǔn)

無偏性 = (1,x2,,xn)E= （X，）有效性

x = x

, 1)212一致性 nlimP(|n|>)=0,nn） ? D)0n),（3）計

信度

和相應(yīng)總體的一致估計量。1,,2,,n1=1(1,,2,,xn)與2=2(1,,2,,n)(12)12]以P{12}=1,12]1置信水平。更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源計

1和21,2]11,2]。已知方差，估計均值 u=x

0/ nP

x

=1./n /n 0 x0,x+0 n n未知方差，估計均值 xt=

~t(n1).S/ nP

=1. S/ n xS,x+S n n方差的區(qū)間估計 2w= ~2(n1).2P1

2

2=1.n1 n1

S, 2

S1 想 上H00們稱H0H1或。更多免費學(xué)習(xí)資料，：-關(guān)注即可獲取更新資源提出零假設(shè)H0；λ；由樣本值x1x2,xn計算統(tǒng)計量之值K；

將K|K|(K)H0相容。誤 當(dāng)H0規(guī)H0立為此處的α誤 當(dāng)H1規(guī)不0誤的概率，即α。αα則應(yīng)把α條件 零假設(shè) 統(tǒng)計量

H0:=0

|u|>u12

H:

U=x0

u>u0 0/n0/n

1H0:0 u