初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)第十三章軸對(duì)稱1等腰三角形（省一等獎(jiǎng)）

等邊三角形典題探究例1.如圖，ΔABC是等邊三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，若AB∥CD，則圖中60°的角有_____個(gè)．例2.如圖，一個(gè)等邊三角形紙片，剪去一個(gè)角后得到一個(gè)四邊形，則圖中∠α+∠β的度數(shù)是（）A.180°B.220°C.240°D.300°例3.如圖，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足為E，若DE＝2cm，則BC＝_____cm.例4.如圖，△ABC為正三角形，D為邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，以CD為一邊作正三角形CDE，連接AE，判斷AE與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．演練方陣A檔（鞏固專(zhuān)練）1．下圖是由九個(gè)等邊三角形組成的一個(gè)六邊形，當(dāng)最小的等邊三角形邊長(zhǎng)為2cm時(shí)，這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)為（）cm．A．30B．40C．50D．602．如圖，△ABC中，AB=AC，△DEF為等邊三角形，則α、β、γ之間的關(guān)系為（）A．B．C．D．3．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2，當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為（）A．15°B．°C．30°D．45°4．如圖，△ABC是等邊三角形，P是BC上任意一點(diǎn)，PD⊥AB，PE⊥AC，連接DE．記△ADE的周長(zhǎng)為L(zhǎng)1，四邊形BDEC的周長(zhǎng)為L(zhǎng)2，則L1與L2的大小關(guān)系是（）A．Ll=L2B．L1＞L2C．L2＞L15．如圖，△ABC為邊長(zhǎng)是5的等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)F在AB邊上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，則CE的長(zhǎng)是（）A．B．C．20+10D．20﹣106．如圖中左邊圖形，連接等邊三角形的各邊中點(diǎn)將得到一個(gè)小等邊三角形，右邊的圖形就是這樣得到的，請(qǐng)問(wèn)右邊圖形中的陰影部分面積大還是空白部分面積大（）A．陰影部分面積大B．空白部分面積大C.一樣大D．不確定7．如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P向三邊作垂線，垂足分別為S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，則△ABC的面積等于（）A．190B．192C．1948．在邊長(zhǎng)為2cm的等邊三角形內(nèi)，隨意取一些點(diǎn)，如果要保證所取的點(diǎn)中一定存在距離小于1cm的兩點(diǎn)，那么取的點(diǎn)至少應(yīng)有（）A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)9．如圖，已知等邊△ABC外有一點(diǎn)P，P落在∠ABC內(nèi)，設(shè)點(diǎn)P到BC、CA、AB三邊的距離分別為h1、h2、h3，且滿足h2+h3﹣h1=6，那么等邊△ABC的面積為（）A．12B．9C．810．如圖所示，△ABC為正三角形，P是BC上的一點(diǎn)，PM⊥AB，PN⊥AC，設(shè)四邊形AMPN，△ABC的周長(zhǎng)分別為m、n，則有（）A．B．C．D．11．如圖，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，則BE=（）A．1B．2C．3D．412．如圖，D，E，F(xiàn)為等邊三角形ABC三邊中點(diǎn)，AE、BF、CD交于O，DE，EF，F(xiàn)D為三條中位線，則圖中能數(shù)出不同的直角三角形的個(gè)數(shù)是（）A．36B．32C．30D．2813．如圖，由四個(gè)全等的正三角形砌成一個(gè)大的正三角形，如果小正三角形的面積為25，則大正三角形的周長(zhǎng)是（）A．100B．6014．在凸四邊形ABCD中，DA=DB=DC=BC，則這個(gè)四邊形中最大角的度數(shù)是（）A．120°B．135°C．150°D．165°B檔（提升精練）15．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則△AMN的周長(zhǎng)為_(kāi)________．16．如圖，將邊長(zhǎng)為3+的等邊△ABC折疊，折痕為DE，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，EF和DF分別交AC于點(diǎn)M、N，DF⊥AB，垂足為D，AD=1，則重疊部分的面積為_(kāi)________．17．如右圖，以等邊△OAB的高OC為邊向逆時(shí)針?lè)较蜃鞯冗叀鱋CD，CD交OB于點(diǎn)E，再以O(shè)E為邊向逆時(shí)針?lè)较蜃鞯冗叀鱋EF，EF交OD于點(diǎn)G，再以O(shè)G為邊向逆時(shí)針?lè)较蜃鞯冗叀鱋GH，…，按此方法操作，最終得到△OMN，此時(shí)ON在OA上．若AB=1，則ON=_________．18．已知正△ABC的面積是1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，并且△PAB、△PBC、△PCA的面積相等，那么滿足條件的點(diǎn)P共有_________個(gè)；△PAB的面積是_________．19．如圖，從等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)向三邊作垂線，已知這三條垂線段的長(zhǎng)分別為1、3、5，則這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為_(kāi)________．20．如圖所示，直線AB、CD相交于點(diǎn)O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=_________．21．在正△ABC中（如圖），D為AC上一點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，BD，CE相交于P，若四邊形ADPE與△BPC的面積相等，那么∠BPE=_________．22．如圖，平行于BC的線段MN把等邊△ABC分成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，已知△AMN和四邊形MBCN的周長(zhǎng)相等，則BC與MN的長(zhǎng)度之比是_________．23．正三角形ABC的邊長(zhǎng)BC=2，以該等邊三角形的高AD為正方形的邊長(zhǎng)，則正方形的面積為_(kāi)________．C檔（跨越導(dǎo)練）24．閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）類(lèi)比與推理如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：已知等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1，r2，r3，等邊△ABC的高為h，試證明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解與應(yīng)用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC內(nèi)部是否存在一點(diǎn)O，點(diǎn)O到各邊的距離相等？_________（填“存在”或“不存在”），若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)距離r的值，r=_________．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．小明在找等邊三角形ABC一邊的三等分點(diǎn)時(shí)，他是這樣做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分線并且相交于點(diǎn)O，然后做線段BO、CO的垂直平分線，分別交BC于E、F，他說(shuō)：“E、F就是BC邊的三等分點(diǎn)．”你同意他的說(shuō)法嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．26．在等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CD，（1）請(qǐng)說(shuō)明DB=DE的理由．（2）若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4cm，求△BDE的面積．27．如圖，設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P為任意一點(diǎn)（不是O）．求證：PA+PB+PC＞OA+OB+OC．28．如圖，等邊△ABC，D、E分別在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于點(diǎn)P，試求∠BPD的度數(shù)．29．閱讀下列材料，解答相應(yīng)問(wèn)題：已知△ABC是等邊三角形，AD是高，設(shè)AD=h．點(diǎn)P（不與點(diǎn)A、B、C重合）到AB的距離PE=h1，到AC的距離PF=h2，到BC的距離PH=h3．如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h．小明同學(xué)大膽猜想提出問(wèn)題：如圖2，若點(diǎn)P在BC邊上，但不與點(diǎn)D重合，結(jié)論h1+h2=h還成立嗎？通過(guò)證明，他得到了肯定的答案．證明如下：證明：如圖3，連接AP．∴S△ABC=S△ABP+S△APC．設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)AB=BC=CA=a．∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴BC?AD=AB?PE+AC?PF∴a?h=a?h1+a?h2．∴h1+h2=h．（1）進(jìn)一步猜想：當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你證明；若不成立，請(qǐng)猜想h1，h2與h之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（借助答題卡上的圖4）（2）我們?nèi)菀?/p>