初中數(shù)學(xué)面積法

面積法1、常見規(guī)則圖形的面積公式;2、等積定理；3、面積比定理。1、如圖1,凸四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的長分別是3、4、12、13,ZABC=90。,則四邊形ABCD的面積為.答案：36考點(diǎn)：勾股定理；勾股定理的逆定理。分析：連接AC，在RtAABC中，已知AB、BC根據(jù)勾股定理可以求得AC=5，在AACD中，AC2+CD2=AD2，根據(jù)勾股定理的逆定理確定AACD為直角三角形，四邊形ABCD的面積為AACD和RtAABC面積之和。,RtAACD的面積為1x5x,RtAACD的面積為1x5x12=

2AC=\，AB2+BC2=5又：AC2+CD2=AD2???AACD為直角三角形，?RtAABC的面積為1x3x4=62，四邊形ABCD的面積為AACD和RtAABC面積之和，S=30+6=36故答案為36.點(diǎn)評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了直角三角形面積的計(jì)算，本題中判定AACD為直角三角形是解題的關(guān)鍵。2、如圖2,已知AABC中，D、E、F、G均為BC邊上的點(diǎn)，且BD=CG,DE=GF=1BD,2EF=3DE，若S^BC=1,則圖中所有三角形的面積之和為.答案：7考點(diǎn)：三角形面積與底的正比關(guān)系。分析：如圖所示的所有三角形都具有相等的高，于是可將計(jì)算所有三角形面積之和的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算BC上所有線段長度之和的問題。解答：因?yàn)樗芯€段長之和是BC的n倍??圖中所有三角形面積之和就是S 的n倍AABC設(shè)DE=GF=1,則UBD=CG=2,EF=3,BC=9，圖中共有1+2+3+4+5=15個(gè)三角形則它們在線段BC上的底邊之和為：

\bC+（BD+DC）+（BE+EC）+（BF+FC）+（BG+GCH+\dG+（DE+EG）+（DF+FG）+EF]=9x5+5x3+3=63由此可知BC上所有線段之和63是BC=9的7倍??圖中所有三角形面積之和等于S―的7倍.已知S^BC=1,故圖中所有三角形的面積之和為7.故答案為：7點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對三角形面積的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是圖中所有三角形都具有相等的高，通過轉(zhuǎn)化的思想，找出解決問題的捷徑。3、如圖3,□ABCD的面積是m，點(diǎn)E、F分別平分AB、BC,則S=ADEFCA DECFA DECA DECFA DE3答案：-m8解答：不妨設(shè)口abcd為長方形，如圖則|有AD=BC=mSADEF8四邊形abcdSAADESABEFSadCFmmm=解答：不妨設(shè)口abcd為長方形，如圖則|有AD=BC=mSADEF8四邊形abcdSAADESABEFSadCFmmm=m 4 8 44、如圖4,已知邊長為a的正方形ABCD,E為AD的中點(diǎn)，P為CE的中點(diǎn)，那么ABPD的面積的值是 .答案：,a28考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理。分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)SABPD=SAbcd-SAcdp-SSABPD、SABCD SACDP、'、bcp即可。，所以要求ABPD的面積分別計(jì)算ABCP解答：過P作PF±CD,PG±BC，則PF//ADPF=CG,PG=CF觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)SABPD=SAbcd-SAcdp-Sbcp??S=—BC-CD=-a2abcd 2 2S =1CD-PF=1a2ACDP2 8B GC圖4BEDFabcp???SABPD點(diǎn)評：本題考查了正方形各邊長相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中正確計(jì)算SBPD、SABCD、SACDP、SABCP是解題的關(guān)鍵。5、如圖5,四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于。點(diǎn)，如果SOABD OABC OBCD那么sOOBC5、如圖5,四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于。點(diǎn)，如果SOABD OABC OBCD那么sOOBC=.答案：4考點(diǎn)：三角形的面積。分析：先設(shè)出一個(gè)三角形的面積：OAOB的面積是s1=%，再用代數(shù)式表示出圖中其它三角形的面積，利用中間橋OA得出方程，進(jìn)一步求出結(jié)果。OC解答：設(shè)OAOB的面積是s1=%，則OADO的面積是s2ODOC的面積是s=10-（6—%）=4+%??,OABO的邊OA上和OBOC的邊上的高相等=5—%，OBOC的面積是s=6—%，OCOAOCss??-1——2-s3s4即—匚=5s￡，解得：%—26-%4+%?SOobc=6—2=4點(diǎn)評：解此題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形的面積公式，等高時(shí)面積比等于邊之比，從而轉(zhuǎn)化成解方程，求出未知數(shù)的值。6、（第5屆“希望杯”邀請賽題）在OABC的三邊AB、BC、CA上，分別取AD、BE、CF，使AD=1AB

4，BE=1BC4CF=1AC，則ODEF的面積是OABC的面積的（4A、B、C、D、16答案:考點(diǎn)：三角形的面積?？键c(diǎn)：三角形的面積。分析：連接AE.根據(jù)三角形的面積公式求得OBDE和OABE的面積比，OABE和OABC的面積比，進(jìn)而求得OBDE和OABC的面積比，同理求得OECF、OADF和OABC的面積比，最后求解。分析：解答：如圖，連接AE??,AD=1AB，4BE=??,AD=1AB，4BE=1BC

43??S ——S，OBDE 4OABES=1SOABE 4OABC3??.S——S

OBDE 16OABC 3同理可得：S——S，OCEF16OABC3S——S

OADF 16OABC所以S——SODEF 16OABC點(diǎn)評：此題考查了根據(jù)三角形的面積公式求三角形的面積比的方法。7、（2004年第15屆“希望杯”初二年級競賽題）如圖6,在直角扇形ABC內(nèi)，分別以AB和AC為直徑作半圓兩條半圓弧相交于點(diǎn)D，整個(gè)圖形被分成SjS2S3,S4四部分，則S2和S4的大小關(guān)系是（D、無法確定答案：B考點(diǎn)：和AC為直徑作半圓兩條半圓弧相交于點(diǎn)D，整個(gè)圖形被分成SjS2S3,S4四部分，則S2和S4的大小關(guān)系是（D、無法確定答案：B考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算。分析：設(shè)AB=AC=2a,2 扇形ACB 半圓ab式分別計(jì)算出它們的面積就可得到S2和S4的大小關(guān)系。解答：設(shè)AB=AC=2a，根據(jù)題意得：根據(jù)扇形和圓的面積公半+SS2=S扇形ACBS半圓ABS半圓ACS490kx（2a）2 °1 0 ° 2x—x兀xa2+S=S360 2 4 4S4S1S3S2C圖16故選B.點(diǎn)評：本題考查了扇形的面積公式：S=理R2，其中n為扇形的圓心角的度數(shù)，360R為圓的半徑），或S=1伏，2為扇形的弧長，R為半徑。8、2在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,則矩形的內(nèi)接三角形的面積總比數(shù)（）小或相等。A、C、答案：等。A、C、答案：B解答：需分類討論，如圖，顯然圖（甲）及圖（乙）中內(nèi)接三角形面積為1如圖（丙）、（丁）、（戊）中NEFG的面積顯然小于1,綜上所述A丙A丁戊A丙A丁戊9、（第11屆“希望杯”邀請賽）在正方形ABCD中，AB=43,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且/BAE=30。,/DAF=15。，則AAEF的面積為.答案：3--v3考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。分析：將AADF繞A點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到AABG的位置，得到AABG，得AAEF=AAEG，要求AAEF的面積求AAEG即可，且AB為底邊上的高，EG為底邊。解答：將AADF繞A點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到AABG的位置??AG=AF,/GAB=ZFAD=15。，/GAE=15。+30。=45。，/EAF=90。一（30。+15。）=45°EC=BC-BE=v3-EC=BC-BE=v3-1,EF=2C3-1)又AE=AE??AAEF=AAEG??EF=EG,/AEF=/AEG=60°在RtAABE中，AB=<3,/BAE=30°???/AEB=60°,BE=ABtan30°=1???EG=2(3-1),在RtAEFC中，/FEC=180°-(60。+???EG=2(3-1),S =1EG-AB=3-y3AAEG2J，SAAEF=SAAEG=點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的證明，考查了正方形各邊各內(nèi)角均相等的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是巧妙地構(gòu)建AABG,并且求證AAEF=AAEG.10、（2005年第16屆“希望杯”初二年級競賽題）已知AABC三條高的比是3:4:5，且三條邊的長均為整數(shù)，則AABC的一條邊長可能是（ ）A、10 B、12 C、14 D、16答案：B考點(diǎn)：約數(shù)與倍數(shù)；三角形的面積。專題：推理填空題。分析：根據(jù)題意，設(shè)三邊為X,Y,Z,運(yùn)用三角形面積公式得到1Xa=1Ya=1Za，據(jù)給2 12 2 2 3出的已知條件得出三邊之比，既而得出答案。解答：解：設(shè)三邊為X,Y,Z三條對應(yīng)的高為aJa/a3可得:-Xa=-Ya=Za2 12223

已知a:a:a=3:4:5可得X:Y:Z=20:15:12因?yàn)槿吘鶠檎麛?shù)又4個(gè)答案分別是10,12,14,16所以答案應(yīng)該是12故選B.點(diǎn)評：此題考查了學(xué)生對公倍數(shù)和三角形面積的理解和掌握。關(guān)鍵是運(yùn)用三角形面積公式得到1Xa=1Ya=1Za，據(jù)給出的已知條件得出三邊之比。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 12 2 2 311、（第14屆“希望杯”邀請賽）如圖7,將AABC的三邊AB，BC，CA分別延長至B'，C，\o"CurrentDocument"A'，且使BB'=AB，CC=2BC，AA'=3AC，若S^BC=1，那么S匐既,是（ ）A、15 B、16答案：D考點(diǎn)：三角形的面積。專題：計(jì)算題。分析：連接CB'，利用BB'=AB，CC=2BC，理可求得SAA,CC,和S“BA,然后即可得出答案。解答：連接CB'???AB=BB'二SABB'C=SAABC=1又CC=2BC'SABCC=2SABBC=2'SABBC=3同理可得SACC=8,SABA=6...S^Bc=3+8+6+1=18???故選D.C、17D、18AA，=3ACC、17D、18AA，=3AC.若S^BC=1,求得sABBC，'同SABBC12、（2005年第16屆“希望杯”初二年級競賽題）如圖8,AABC中，BC:AC=3:5，四邊形BDEC和ACFG分均為正方形，已知AABC與正方形BDEC的面積比是3:5，那么ACEF與整個(gè)圖形的面積比等于 .答案：二224考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)三角形面積計(jì)算公式即可求得AABC和ACEF的面積相等，設(shè)BC=3，則即可計(jì)算ACEF的面積和整個(gè)圖形的面積，即可求得ACEF與整個(gè)圖形的面積比，即可解題。

解答：：S=1BC-ACsinZBCA,S =1CE-CFsinZECF,/BCA+ZECF=180。TOC\o"1-5"\h\zAABC2 4CEF 2???^ABC和ACEF的面積相等設(shè)BC=3則正方形BDEC的面積為9,四邊形BDEC的面積為25\o"CurrentDocument" 3 27AABC的面積為9x—=—5 5故整個(gè)圖形的面積比為25+9+2x27=22455???ACEF與整個(gè)圖形的面積比=々224點(diǎn)評：本題考查了三角形面積的計(jì)算，銳角和其補(bǔ)角的正弦值相等的性質(zhì)，正方形面積的計(jì)算，本題中求ACEF和整個(gè)圖形的面積是解題的關(guān)鍵。13、（第6屆“希望杯”邀請賽題）如圖9，AABC的面積為18cm2,點(diǎn)D、E、F分別位于AB、BC.CA上，且AD=4cm，DB=5cm，如果AABE的面積和四邊形DBEF的面積相等，則AABE的面積是（）A、8cm2 B、9cm2 C、10cm2 D、12cm2答案：C考點(diǎn)：三角形的面積。專題：轉(zhuǎn)化思想。分析：本題由題意可知AABE的面積和四邊形DBEF的面積相等，可通過連接DE，DC的方法，證明出DE//AC，進(jìn)而求出ABDC的面積，然后即可求出答案。解答：連接DE，DCSAABES四邊形DBEFSaade'afde??兩個(gè)三角形有公共底DE，且面積相等??高相等??DE//AC從而可得：S^DE=SACDESAABE ABDC又AD=4cm，DB=5cm???S=5S =10cm2ABDC9AABC即S =10cm2AABE點(diǎn)評：本題考查三角形面積性質(zhì)的應(yīng)用，可通過作輔助線的方法，做此題時(shí)注意理清各個(gè)三角形面積之間的關(guān)系。14、（第7屆“希望杯”邀請賽題）如圖10，直角ZAOB內(nèi)有一點(diǎn)P，OP=a，ZPOA=30。，過點(diǎn)P作一直線MN與OA>OB分別交于M、N,使AMON的面積最小