《概率論與數理統(tǒng)計》第一章 習題及答案

《概率論與數理統(tǒng)計》第一章習題及答案習題1.11.將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件出現正面”。試寫出樣本空間及事件分別表示“第一次出現正面”，“兩次出現同一面”，“至少有一次中的樣本點。解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）(正，正)，（正，反）；（正，正），（反，反）(正，正)，（正，反），（反，正）2.在擲兩顆骰子的試驗中，事件分別表示“點數之和為偶數”，“點數之和小于5”，“點數相等”，“至少有一顆骰子的點數為3”。試寫出樣本空間及事件中的樣本點。解：；；；；；3.以分別表示某城市居民訂閱日報、晚報和體育報。試用表示以下事件：（1）只訂閱日報；（3）只訂一種報；（5）至少訂閱一種報；（7）至多訂閱一種報；（9）三種報紙不全訂閱。解：（2）只訂日報和晚報；（4）正好訂兩種報；（6）不訂閱任何報；（8）三種報紙都訂閱；（1）（2）（3）；；；（4）（5）（6）（7）（8）（9）;；；或；4.甲、乙、丙三人各射擊一次，事件分別表示甲、乙、丙射中。試說明下列事件所表示的結果：,,,,,.解：甲未擊中；乙和丙至少一人擊中；甲和乙至多有一人擊中或甲和乙至少有一人未擊中；甲和乙都未擊中；甲和乙擊中而丙未擊中；甲、乙、丙三人至少有兩人擊中。5.設事件滿足，試把下列事件表示為一些互不相容的事件的和：，，.解：如圖：6.若事件滿足，試問是否成立？舉例說明。解：不一定成立。例如：，，，那么，，但。7.對于事件，試問是否成立？舉例說明。解：不一定成立。例如：，，，那么，但是。8.設，，試就以下三種情況分別求：（1），（2），（3）.解：（1）（2）（3）；；。9.已知，，求事件全不發(fā)生的概率。解：=10.每個路口有紅、綠、黃三色指示燈，假設各色燈的開閉是等可能的。一個人騎車經過三個路口，試求下列事件的概率：“三個都是紅燈”=“全紅”；“全綠”；“全黃”；“無紅”；“無綠”；“三次顏色相同”；“顏色全不相同”；“顏色不全相同”。解：；；；；.11.設一批產品共100件，其中98件正品，2件次品，從中任意抽取3件（分三種情況：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），試求：（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：（1）；（2）；每次拿一件，取后放回，拿3次：（1）；（2）；每次拿一件，取后不放回，拿3次：（1）；（2）12.從中任意選出3個不同的數字，試求下列事件的概率：，。解：；或13.從中任意選出4個不同的數字，計算它們能組成一個4位偶數的概率。解：14.一個宿舍中住有6位同學，計算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；解：（1）（3）；（2）；15.從一副撲克牌（52張）任取3張（不重復），計算取出的3張牌中至少有2張花色相同的概率。解：或習題1.21.假設一批產品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，從中任取一件，結果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令“取到的是等品”，。2.設10件產品中有4件不合格品，從中任取2件，已知所取2件產品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令“兩件中至少有一件不合格”，“兩件都不合格”3.為了防止意外，在礦內同時裝有兩種報警系統(tǒng)I和II。兩種報警系統(tǒng)單獨使用時，系統(tǒng)I和II有效的概率分別0.92和0.93，在系統(tǒng)I失靈的條件下，系統(tǒng)II仍有效的概率為0.85，求（1）兩種報警系統(tǒng)I和II都有效的概率；（2）系統(tǒng)II失靈而系統(tǒng)I有效的概率；（3）在系統(tǒng)II失靈的條件下，系統(tǒng)I仍有效的概率。解：令則“系統(tǒng)（Ⅰ）有效”，“系統(tǒng)（Ⅱ）有效”（1）（2）（3）4.設證：：，證明事件與獨立的充要條件是與獨立，與也獨立。：又而由題設即，故與獨立。5.設事件與相互獨立，兩個事件只有發(fā)生的概率與只有發(fā)生的概率都是，求和.解：，又與獨立即。6.證明若>0，>0，則有（1）當與獨立時，與相容；（2）當與不相容時，與不獨立。證明：（1）因為與獨立，所以，與相容。（2）因為，而，，與不獨立。相互獨立，求證7.已知事件與也獨立。證明：因為、、相互獨立，與獨立。8.甲、乙、丙三機床獨立工作，在同一段時間內它們不需要工人照顧的概率分別為0.7，0.8和0.9，求在這段時間內，最多只有一臺機床需要工人照顧的概率。解：令分別表示甲、乙、丙三機床不需要工人照顧，那么令表示最多有一臺機床需要工人照顧，那么9.如果構成系統(tǒng)的每個元件能正常工作的概率為，（稱為元件的可靠性），假設各元件能否正常工作是相互獨立的，計算下面各系統(tǒng)的可靠性。注：利用第7題的方法可以證明與時獨立。解：令“系統(tǒng)（Ⅰ）正常工作”“系統(tǒng)（Ⅱ）正常工作”“第個元件正常工作”，相互獨立。那么10.10張獎券中含有4張中獎的獎券，每人購買1張，求（1）前三人中恰有一人中獎的概率；（2）第二人中獎的概率。解：令“第個人中獎”，(1)或（2）11.在肝癌診斷中，有一種甲胎蛋白法，用這種方法能夠檢查出95%的真實患者，但也有可能將10%的人誤診。根據以往的記錄，每10000人中有4人患有肝癌，試求：（1）某人經此檢驗法診斷患有肝癌的概率；（2）已知某人經此檢驗法檢驗患有肝癌，而他確實是肝癌患者的概率。解：令“被檢驗者患有肝癌