環(huán)境規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)補(bǔ)充內(nèi)容

調(diào)查研究預(yù)測(cè)技術(shù)價(jià)值分析環(huán)境分析可行性分析決策技術(shù)可靠性分析評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)研制方案分析評(píng)估方案優(yōu)選實(shí)驗(yàn)實(shí)證普遍實(shí)施確定目標(biāo)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題反饋科學(xué)決策程序

4.1基本概念一、問(wèn)題的提出例4.1

環(huán)境工程設(shè)施設(shè)計(jì)某單位計(jì)劃建造環(huán)境工程設(shè)施，在已經(jīng)確定選址及總規(guī)定總建筑面積的前提下，作出了三個(gè)設(shè)計(jì)方案，現(xiàn)要求從以下5個(gè)目標(biāo)綜合選出最佳的設(shè)計(jì)方案：低造價(jià)（每平方米造價(jià)不低于500元，不高于700元）；抗震性能（抗震能力不低于里氏5級(jí)不高于7級(jí)）；建造時(shí)間（越快越好）；結(jié)構(gòu)合理（單元?jiǎng)澐?、生活設(shè)施及使用面積比例等）；造型美觀（評(píng)價(jià)越高越好）這三個(gè)方案的具體評(píng)價(jià)表如下:具體目標(biāo)方案1（A1）方案2（A2）方案3（A3）低造價(jià)（元/平方米）500700600抗震性能（里氏級(jí)）6.55.56.5建造時(shí)間（年）21.51結(jié)構(gòu)合理（定性）中優(yōu)良造型美觀（定性）良優(yōu)中

基本特點(diǎn)目標(biāo)不至一個(gè)目標(biāo)間的不可公度性目標(biāo)間的矛盾性具體目標(biāo)方案1（A1）方案2（A2）方案3（A3）低造價(jià)（元/平方米）500700600抗震性能（里氏級(jí)）6.55.56.5建造時(shí)間（年）21.51結(jié)構(gòu)合理（定性）中優(yōu)良造型美觀（定性）良優(yōu)中目標(biāo)體系――是指由決策者選擇方案所考慮的目標(biāo)組及其結(jié)構(gòu)；備選方案――是指決策者根據(jù)實(shí)際問(wèn)題設(shè)計(jì)出的解決問(wèn)題的方案；決策準(zhǔn)則――是指用于選擇的方案的標(biāo)準(zhǔn)。通常有兩類：最優(yōu)準(zhǔn)則，滿意準(zhǔn)則。

多目標(biāo)問(wèn)題的三個(gè)基本要素二、幾個(gè)基本概念1）劣解和非劣解如某方案的各目標(biāo)均劣于其他目標(biāo)，則該方案可以直接舍去。這種通過(guò)比較可直接舍棄的方案稱為劣解。

如圖中A、B、C、D、E、F、G均為劣解。非劣解：既不能立即舍去，又不能立即確定為最優(yōu)的方案稱為非劣解。如圖中H、I。第一目標(biāo)值第二目標(biāo)值A(chǔ)BCDEFGHI對(duì)于m個(gè)目標(biāo)，一般用m個(gè)目標(biāo)函數(shù)，它滿足刻劃，其中x表示方案。最優(yōu)解：設(shè)最優(yōu)解為2）選好解在處理多目標(biāo)決策時(shí)，先找最優(yōu)解，若無(wú)最優(yōu)解，就盡力在各待選方案中找出非劣解，然后權(quán)衡非劣解，從中找出一個(gè)按某一準(zhǔn)則較為滿意的解，這個(gè)過(guò)程稱為“選好解”。單目標(biāo)――辨優(yōu)多目標(biāo)――辨優(yōu)＋權(quán)衡（反映了決策者的主觀價(jià)值和意圖）4.2決策方法

一、化多目標(biāo)為單目標(biāo)的方法二、重排次序法三、分層序列法一、化多目標(biāo)為單目標(biāo)的方法主要目標(biāo)優(yōu)化兼顧其它目標(biāo)的方法線性加權(quán)和法3.平方和加權(quán)法4.乘除法

設(shè)有m個(gè)目標(biāo)f1(x)，f2(x)，…，fm(x)；均要求為最優(yōu)，但在這m個(gè)目標(biāo)中有一個(gè)是主要目標(biāo)，例如為f1(x)，并要求其為最大。在這種情況下，只要使其它目標(biāo)值處于一定的數(shù)值范圍內(nèi)，即就可把多目標(biāo)決策問(wèn)題轉(zhuǎn)化為下列單目標(biāo)決策問(wèn)題：1.主要目標(biāo)優(yōu)化兼顧其它目標(biāo)的方法

設(shè)有一多目標(biāo)決策問(wèn)題，共有f1(x)，f2(x)，…,fm(x)等m個(gè)目標(biāo)，則可以對(duì)目標(biāo)fi(x)分別給以權(quán)重系數(shù)（i=1，2，…,m），然后構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)如下：2.線性加權(quán)和法

計(jì)算所有方案的F(x)值，從中找出最大值的方案，即為最優(yōu)方案。技巧：在多目標(biāo)決策問(wèn)題中，或由于各個(gè)目標(biāo)的量綱不同，或有些目標(biāo)值要求最大而有些要求最小，則可首先將目標(biāo)值變換成效用值或無(wú)量綱值，然后再用線性加權(quán)和法計(jì)算新的目標(biāo)函數(shù)值并進(jìn)行比較，以決定方案取舍。

并要求minF(x)。其中是第i(i=1,2,…,m)個(gè)目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)。3.平方和加權(quán)法

設(shè)有m個(gè)目標(biāo)的決策問(wèn)題，現(xiàn)要求各方案的目標(biāo)值f1(x)，f2(x)，…,fm(x)與規(guī)定的m個(gè)滿意值f1*，f2*，…,fm*的差距盡可能小，這時(shí)可以重新設(shè)計(jì)一個(gè)總的目標(biāo)函數(shù)：4.乘除法

并要求minF(x)。

當(dāng)有m個(gè)目標(biāo)f1(x)，f2(x)，…，fm(x)時(shí)，其中目標(biāo)f1(x)，f2(x)，…，fk(x)的值要求越小越好，目標(biāo)fk(x)，fk+1(x)，…，fm(x)的值要求越大越好，并假定fk(x)，fk+1(x)，…，fm(x)都大于0。于是可以采用如下目標(biāo)函數(shù)，重排次序法是直接對(duì)多目標(biāo)決策問(wèn)題的待選方案的解重排次序，然后決定解的取舍，直到最后找到“選好解”。下面舉例說(shuō)明重排次序法的求解過(guò)程。二、重排次序法例4.2

設(shè)某新建廠選擇廠址共有n個(gè)方案m個(gè)目標(biāo)。由于對(duì)m個(gè)目標(biāo)重視程度不同，事先可按一定方法確定每個(gè)目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)。若用fij

表示第i

方案第j目標(biāo)的目標(biāo)值，則可列表如下。（1）無(wú)量綱化。為了便于重排次序，可先將不同量綱的目標(biāo)值fij

變成無(wú)量綱的數(shù)值yij。

變換方法：對(duì)目標(biāo)fj，如要求越大越好，則先從n個(gè)待選方案中找出第j個(gè)目標(biāo)的最大值確定為最好值，而其最小值為最差值。即：并相應(yīng)地規(guī)定

而其它方案的無(wú)量綱值可根據(jù)相應(yīng)的f的取值用線性插值的方法求得。對(duì)于目標(biāo)fi，如要求越小越好，則可先從n個(gè)方案中的第j個(gè)目標(biāo)中找最小值為最好值，而其最大值為最差值。可規(guī)定(2)通過(guò)對(duì)n個(gè)方案的兩兩比較，即可從中找出一組“非劣解”，記作{B}，然后對(duì)該組非劣解作進(jìn)一步比較。(3)通過(guò)對(duì)非劣解{B}的分析比較，從中找出一“選好解”。最簡(jiǎn)單的方法是設(shè)一新的目標(biāo)函數(shù)：若Fi值為最大，則方案i為最優(yōu)方案。三、分層序列法分層序列法是把目標(biāo)按照重要程度重新排序，將重要的目標(biāo)排在前面，例如已知排成f1(x)，f2(x)，…，fm(x)。然后對(duì)第1個(gè)目標(biāo)求最優(yōu)，找出所有最優(yōu)解集合，用R1表示，接著在集合R1范圍內(nèi)求第2個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解，并將這時(shí)的最優(yōu)解集合用R2表示，依此類推，直到求出第m個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解為止。將上述過(guò)程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，即…

這種方法有解的前提是R1，R2，…，Rm-1等集合非空，并且不至一個(gè)元素。但這在解決實(shí)際問(wèn)題中很難做到。于是又提出了一種允許寬容的方法。所謂“寬容”是指，當(dāng)求解后一目標(biāo)最優(yōu)時(shí)，不必要求前一目標(biāo)也達(dá)到嚴(yán)格最優(yōu)，而是在一個(gè)對(duì)最優(yōu)解有寬容的集合中尋找。這樣就變成了求一系列帶寬容的條件極值問(wèn)題。

4.3多目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)決策分析模型

設(shè)有方案A，自然狀態(tài)有l(wèi)個(gè)，目標(biāo)有n個(gè)，該方案在第一個(gè)自然狀態(tài)下各目標(biāo)的后果值為θ11,θ12

，…,θ1n，第二個(gè)自然狀態(tài)下各目標(biāo)的后果值分別為θ21,θ22

，…,θ2n，等等。第l

個(gè)自然狀態(tài)下各目標(biāo)的后果值分別為θl1,θl2

，…,θlnp1p2plθl1,θl2

，…,θlnθ21,θ22

，…,θ2nθ11,θ12

，…,θ1nA該方案第一個(gè)目標(biāo)的期望收益值為一般地，假設(shè)有m個(gè)備選方案，n個(gè)目標(biāo)，第i個(gè)備選方案面臨li

個(gè)自然狀態(tài)。該模型可表述為下圖。第二個(gè)目標(biāo)的期望收益值為第n個(gè)目標(biāo)的期望收益值為多目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)型決策模型各方案中各目標(biāo)的期望收益值分別為…

…這樣，便把有限個(gè)方案的多目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為有限方案的多目標(biāo)確定型決策問(wèn)題：

問(wèn)題：從現(xiàn)有的m個(gè)備選方案中選取最優(yōu)方案（或最滿意方案），決策者決策時(shí)要考慮的目標(biāo)有n個(gè)：。決策者通過(guò)調(diào)查評(píng)估得到的信息可用下表表示4.4有限個(gè)方案多目標(biāo)決策問(wèn)題的分析方法

1.基本結(jié)構(gòu)這一表式結(jié)構(gòu)可用矩陣表示為稱為決策矩陣，是決策分析方法進(jìn)行決策的基礎(chǔ)。決策準(zhǔn)則：其中為第j個(gè)目標(biāo)的權(quán)重。存在兩個(gè)問(wèn)題：第一，在決策矩陣中，各目標(biāo)采用的單位不同，數(shù)值及其量級(jí)可能有很大的差異。如果使用原來(lái)目標(biāo)的值，往往不便于比較各目標(biāo)。第二，權(quán)重如何確定？w1w2……wn2.決策矩陣的規(guī)范化xy(1,2)xy

把一個(gè)向量化為單位向量1）效用值法2）向量規(guī)范化

把造價(jià)向量（500，700，600）規(guī)范化

把造價(jià)向量（500，700，600）規(guī)范化

一般地，bij無(wú)量綱，在區(qū)間(0,1)內(nèi)。但變換后各屬性的最大值和最小值并不是統(tǒng)一的，其最大者不一定是1，最小者不一定是0，有時(shí)仍不便比較。還有一個(gè)問(wèn)題，上面例子中的造價(jià)是越小越好，而抗震性能是震級(jí)越高越好，這樣二者不統(tǒng)一，還需作處理。3）線性變換如目標(biāo)為效益（目標(biāo)值愈大愈好），可令如目標(biāo)為成本（目標(biāo)值愈小愈好），令

如收益向量（20，40，30）如造價(jià)向量（500，700，600）首先，選聘L個(gè)專家（即專家或有豐富經(jīng)驗(yàn)的實(shí)際工作者），請(qǐng)他們各自獨(dú)立地對(duì)n個(gè)目標(biāo)給出相應(yīng)的權(quán)重。3.確定權(quán)的方法設(shè)第j位專家所提供的權(quán)重方案為：，滿足則匯集這些方案可列出如表所示。

1)專家法目標(biāo)權(quán)重專家給定允許，若…如果檢驗(yàn)不通過(guò)，則需要和那些對(duì)應(yīng)于方差估值大的專家進(jìn)行協(xié)商，充分交換意見(jiàn)，再讓他們重新調(diào)整權(quán)重，更新權(quán)重方案表。重復(fù)上述過(guò)程，最后得到一組滿意的權(quán)重均值作為目標(biāo)的權(quán)重。方法實(shí)用，但L不能太小。檢驗(yàn)：則取各目標(biāo)的權(quán)重為2）環(huán)比法這種方法先隨意把各目標(biāo)排成一定順序，接著按順序比較兩個(gè)目標(biāo)的重要性，得出兩目標(biāo)重要性的相對(duì)比率——環(huán)比比率，然后再通過(guò)連乘把此環(huán)比比率換算為都以最后一個(gè)目標(biāo)基數(shù)的定基比率，最后在歸一化為權(quán)重。設(shè)某決策有五個(gè)目標(biāo)，下面按順序來(lái)求其權(quán)重，見(jiàn)下表。目標(biāo)按環(huán)比計(jì)算的重要性比率換算為以E為基數(shù)的重要性比率權(quán)重A2.04.50.327B0.52.250.164C3.04.500.327D1.51.500.109E—1.000.073合計(jì)13.751.000否則，,即。選擇一組權(quán)，使比較各目標(biāo)的相對(duì)重要度，（）—第i個(gè)目標(biāo)對(duì)第j個(gè)目標(biāo)的相對(duì)重要性的估計(jì)值；

—這兩個(gè)目標(biāo)的權(quán)重和的比；如果決策人對(duì)（）的估計(jì)一致，則3）權(quán)的最小平方法

如用拉格朗日乘子法解此有約束的優(yōu)化問(wèn)題，則拉格朗日函數(shù)為：為最小，其中滿足4.強(qiáng)制決定法

此法要求把各個(gè)目標(biāo)進(jìn)行兩兩對(duì)比，兩個(gè)目標(biāo)比較，重要者記1分，次要者記0分。舉例說(shuō)明。考慮一個(gè)機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)方案決策，設(shè)其目標(biāo)有：靈敏度、可靠性、耐沖擊性、體積、外觀和成本共6項(xiàng)，首先畫(huà)一個(gè)棋盤(pán)表格如下,其中打分所用列數(shù)為15（如目標(biāo)數(shù)為n，則打分?jǐn)?shù)為n(n-1)/2）。目標(biāo)重要性得分總分修正總分權(quán)重靈敏度00111340.190可靠性11111560.286耐沖擊性10111450.238體積00010120.095外觀00000010.047成本00011230.142合計(jì)15211.000

在每個(gè)列內(nèi)只打兩個(gè)分，即在重要的那個(gè)目標(biāo)行內(nèi)打1分，在次要的那個(gè)目標(biāo)行內(nèi)打0分。該列的其余各行任其空著。表中總分列為各行得分之和，修正總分列是為了避免使權(quán)系數(shù)為0而設(shè)計(jì)的，其數(shù)值由總分列各數(shù)分別加上1得到，權(quán)重為各行修正總分歸一化的結(jié)果。4.5

層次分析法（AHP）

層次分析法（AHP,theanalytichierarchyprocess）是20世紀(jì)70年代由美國(guó)學(xué)者薩蒂最早提出的一種多目標(biāo)評(píng)價(jià)決策法。特點(diǎn)：將決策者對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的評(píng)價(jià)決策思維過(guò)程數(shù)學(xué)化?；舅枷胧前褟?fù)雜的問(wèn)題分解成若干層次和因素，在同層次各要素間簡(jiǎn)單地進(jìn)行比較、判斷和計(jì)算，以獲得不同要素和不同備選方案的權(quán)重。定量信息要求較少，但要對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)包含的要素相互間的邏輯關(guān)系掌握透徹。步驟：1）對(duì)構(gòu)成決策問(wèn)題的各種要素建立多級(jí)遞階的結(jié)構(gòu)模型；總目標(biāo)子目標(biāo)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則方案2）對(duì)同一層次的要素以上一級(jí)的要素為準(zhǔn)則進(jìn)行兩兩比較，根據(jù)評(píng)定尺度確定其相對(duì)重要程度，并據(jù)此建立判斷矩陣；3）確定各要素的相對(duì)重要度；4）對(duì)重要度進(jìn)行綜合，對(duì)各方案進(jìn)行優(yōu)先排序。一、多級(jí)遞階結(jié)構(gòu)用層次分析法分析的系統(tǒng)，其多級(jí)遞階結(jié)構(gòu)一般可以分成三層，即目標(biāo)層，準(zhǔn)則層和方案層。目標(biāo)層為解決問(wèn)題的目的，要想達(dá)到的目標(biāo)。準(zhǔn)則層為針對(duì)目標(biāo)評(píng)價(jià)各方案時(shí)所考慮的各個(gè)子目標(biāo)（因素或準(zhǔn)則），可以逐層細(xì)分。方案層即解決問(wèn)題的方案。層次結(jié)構(gòu)往往用結(jié)構(gòu)圖形式表示，圖中標(biāo)明上一層次與下一層次元素之間的聯(lián)系。如果上一層的每一要素與下一層次所有要素均有聯(lián)系，稱為完全相關(guān)結(jié)構(gòu)。層次結(jié)構(gòu)往往用結(jié)構(gòu)圖形式表示，圖中標(biāo)明上一層次與下一層次元素之間的聯(lián)系。如果上一層的每一要素與下一層次所有要素均有聯(lián)系，稱為完全相關(guān)結(jié)構(gòu)。目標(biāo)準(zhǔn)則1準(zhǔn)則3準(zhǔn)則2方案1方案2方案1目標(biāo)層A準(zhǔn)則層C方案層P完全相關(guān)性結(jié)構(gòu)圖綜合決策

某地要改善一條河道的過(guò)河運(yùn)輸條件，為此需要確定是否要建立橋梁或隧道以代替現(xiàn)有的輪渡。在此問(wèn)題中過(guò)河方式的確定取決于過(guò)河的效益與代價(jià)（即成本）。通常我們用費(fèi)效比（即效益/代價(jià)）作為選擇方案的標(biāo)準(zhǔn)。為此分別給出了兩個(gè)層次結(jié)構(gòu)（圖1.1.2和圖）。它們分別考慮了影響過(guò)河的效益與代價(jià)的因素，這些因素可分為三類：經(jīng)濟(jì)的、社會(huì)的和環(huán)境的。

決策的制定將取決于根據(jù)這兩個(gè)層次結(jié)構(gòu)確定的方案的效益權(quán)重與代價(jià)權(quán)重之比，即如能知道底層方案Di（i=1,2,3）對(duì)最高層Aj（j=1,2）的權(quán)系數(shù)wij（i=1,2,3，j=1,2），則可根據(jù)如下的決策公式Si=wi1/wi2，i=1,2,3

對(duì)三個(gè)方案進(jìn)行排序、選擇。工作選擇可供選擇的單位P1’

P2，Pn

貢獻(xiàn)收入發(fā)展聲譽(yù)工作環(huán)境生活環(huán)境目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層層次結(jié)構(gòu)模型

準(zhǔn)則層A

方案層B目標(biāo)層Z若上層的每個(gè)因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。某城市鬧市區(qū)域的某一商場(chǎng)附近，由于顧客過(guò)于稠密，常常造成車輛阻塞以及各種交通事故。市政府決定改善鬧市區(qū)的交通環(huán)境。經(jīng)約請(qǐng)各方面專家研究，制定出三種可供選擇的方案：A1：在商場(chǎng)附近修建天橋一座，供行人橫穿馬路；A2：同樣目的，在商場(chǎng)附近修建一條地下行人橫道；A3：搬遷商場(chǎng)?，F(xiàn)試用決策分析方法對(duì)三各備選方案進(jìn)行選擇。一個(gè)完全相關(guān)性結(jié)構(gòu)的案例這是一個(gè)多目標(biāo)決策問(wèn)題。在改變鬧市區(qū)交通環(huán)境這一總目標(biāo)下，根據(jù)當(dāng)?shù)氐木唧w情況和條件，制定了以下5個(gè)分目標(biāo)作為對(duì)備選方案的評(píng)價(jià)和選擇標(biāo)準(zhǔn)：C1：通車能力；C2：方便過(guò)往行人及當(dāng)?shù)鼐用?；C3：新建或改建費(fèi)用不能過(guò)高；C4：具有安全性；C5：保持市容美觀。改變鬧市區(qū)交通環(huán)境（G）通車能力C1方便市民C2改建費(fèi)用C3安全性C4市容美觀C5天橋A1地道A2搬遷A3二、判斷矩陣

判斷矩陣是層次分析法的基本信息，也是計(jì)算各要素權(quán)重的重要依據(jù)。1.建立判斷矩陣設(shè)對(duì)于準(zhǔn)則C，其下一層有n

個(gè)要素A1，A2，…，An。以上一層的某一要素C作為判斷準(zhǔn)則，對(duì)下一層的n個(gè)要素進(jìn)行兩兩比較來(lái)確定矩陣的元素值，其形式如下：CA1A2…Aj…AnA1a11a12…a1j…a1nA2a21a22…a2j…a2n…………………Aiai1ai2…aij…ain………………Anan1an2…anj…annCA1A2A3…Anaij表示以判斷準(zhǔn)則C

的角度考慮要素Ai對(duì)Aj的相對(duì)重要程度。若假設(shè)在準(zhǔn)則C下要素A1，A2，…，An的權(quán)重分別為w1,w2,…,wn，即w=

(w1,w2,…,wn)T,則aij=wi/wj，矩陣稱為判斷矩陣。若假設(shè)在準(zhǔn)則C下要素A1，A2，…，An的權(quán)重分別為w1,w2,…,wn，即w=(w1,w2,…,wn)T,則aij=wi/wj，aij應(yīng)該滿足：1）aii

=1；2)aij=1/aji；3)aikakj

=aij2)判斷尺度判斷矩陣中的元素aij是表示兩個(gè)要素的相對(duì)重要性的數(shù)量尺度，稱做判斷尺度，其取值如表所示。判斷尺度定義判斷尺度定義1對(duì)C而言，Ai和Aj同樣重要7對(duì)C而言，Ai比Aj重要的多3對(duì)C而言，Ai比Aj稍微重要9對(duì)C而言，Ai比Aj絕對(duì)重要5對(duì)C而言，Ai比Aj重要2，4，6，8介于上述兩個(gè)相鄰判斷尺度之間三、相對(duì)重要度及判斷矩陣的最大特征值的計(jì)算在應(yīng)用層次分析法進(jìn)行系統(tǒng)評(píng)價(jià)和決策時(shí)，需要知道Ai關(guān)于C的相對(duì)重要度，也就是Ai關(guān)于C的權(quán)重，即已知＝＝求

由=n知，n為矩陣A的一個(gè)特征值，W是矩陣A

的對(duì)應(yīng)于特征值n的特征向量。AW=nW成立，這樣的數(shù)

稱為方陣A的特征值，非零向量x稱為A的對(duì)應(yīng)于

的特征向量。假設(shè)A是n階矩陣，如果數(shù)

和n維非零列向量x，使關(guān)系式矩陣A的特征向量即特征方程時(shí)，A具有唯一的非零最大特征值，且當(dāng)矩陣A的元素滿足由于判斷矩陣A的最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量即為W，為此，可先求出判斷矩陣的最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，再經(jīng)過(guò)歸一化處理，即可求出Ai關(guān)于C的相對(duì)重要度。由于判斷矩陣A的最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量即為W，為此，可先求出判斷矩陣的最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，再經(jīng)過(guò)歸一化處理，即可求出Ai關(guān)于C的相對(duì)重要度。求A的最大特征值和其對(duì)應(yīng)的特征向量單位化得權(quán)重向量W設(shè)某一AHP判斷矩陣為計(jì)算該矩陣的最大特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量的步驟如下：1.方根法1）計(jì)算矩陣A的每一行元素的乘積Mi2)計(jì)算Mi的n次方根i=1,2,…,n3）對(duì)向量作歸一化處理，即令從而得到另一向量即為所求。4)

計(jì)算A的最大特征值由例求判斷矩陣的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量。解：（1）求A中各行元素之乘積M1=1/15,M2=15,M3=1（2）求Mi

的n次方根（n＝3）（3）對(duì)向量w(0)＝(0.4055,2.4662,1)T

作歸一化處理M1=1/15,M2=15,M3=1即為所求特征向量。w＝(0.4055,2.4662,1)T4）求0.10470.63700.2583精度比較：算法w1w2w3方根法3.03850.10470.63700.2583乘冪法3.03850.10420.63730.2583注：乘冪法為“計(jì)算方法”中計(jì)算矩陣的最大特征值的最常用的方法之一。這里取精度為0.0001。求解步驟如下：1）將判斷矩陣A中各元素按列作歸一化處理，得另一矩陣B=(bij)，其元素一般項(xiàng)為2）將矩陣B中各元素按行分別相加，其和為2.和積法3）對(duì)向量作歸一化處理，得向量即為所求。4）求的方法與方根法相同，即對(duì)前例用和積法求得的結(jié)果如下：這樣就提示我們可以用的關(guān)系來(lái)度量偏離相容性的程度。四、相容性判斷若矩陣A完全相容，則有，否則由于判斷矩陣的三個(gè)性質(zhì)中的前兩個(gè)容易被滿足，第三個(gè)“一致性”則不易保證。如判斷矩陣A被判斷為A'有偏差，則稱A'為不相容判斷矩陣，這時(shí)就有度量相容性的指標(biāo)為C.I.(ConsistenceIndex)，一般情況下，若C.I.≤0.10，就可認(rèn)為判斷矩陣A'有相容性，據(jù)此計(jì)算的W'是可以接受的，否則重新進(jìn)行兩兩比較判斷。判斷矩陣的維數(shù)n越大，判斷的一致性將越差，故應(yīng)放寬對(duì)高維判斷矩陣一致性的要求，于是引入修正值R.I，見(jiàn)下表，并取更為合理的C.R為衡量判斷矩陣一致性的指標(biāo)。維數(shù)123456789R.I0.000.000.580.961.121.241.321.411.45五、綜合重要度的計(jì)算

方案層n個(gè)方案對(duì)準(zhǔn)則層的各準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)重為：設(shè)有目標(biāo)層A、準(zhǔn)則層C、方案層P構(gòu)成的層次模型（對(duì)于層次更多的模型，其計(jì)算方法相同），準(zhǔn)則層C對(duì)目標(biāo)層A的相對(duì)權(quán)重為：AC1C2C3C4P1P2P3p11p12p13p14c1c2c3c4P1對(duì)A的權(quán)重為：p11c1+p12c2+p13c3+p14c4

對(duì)層次總排序也需作一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。

設(shè)層中與相關(guān)的因素的成對(duì)比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗(yàn)，求得單排序一致性指標(biāo)為，（），相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為（已在層次單排序時(shí)求得），則層總排序隨機(jī)一致性比例為當(dāng)時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析分別分別表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。案例1

旅游問(wèn)題（2）構(gòu)造成對(duì)比較矩陣(3)計(jì)算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣的最大特征值表明通過(guò)了一致性驗(yàn)證。故則該特征值對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量

對(duì)成對(duì)比較矩陣可以求層次總排序的權(quán)向量并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，結(jié)果如下：計(jì)算可知通過(guò)一致性檢驗(yàn)。對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為：（4）計(jì)算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗(yàn)又決策層對(duì)總目標(biāo)的權(quán)向量為：同理得，對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值分別為：故，層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)?？勺鳛樽詈蟮臎Q策依據(jù)。故最后的決策應(yīng)為去桂林。又分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案的權(quán)重排序?yàn)?/p>

挑選合適的工作。經(jīng)雙方懇談，已有三個(gè)單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，如下圖所示。案例2111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/3311222331AB1B2B3B4B5B6B1

B2

B3B4B5B6（方案層）11/41/211/41/5413411/221/31521B1C1C2C3C1C2C3B2C1C2C3C1C2C3131/311/351/31731731/711/51/711171791171/7111/71/711/911B5C1C2C3B6C1C2C3B3C1C2C3B4C1C2C3C1C2C3C1C2C3C1C2C3C1C2C3層次總排序）如下表所示。準(zhǔn)則研究課題發(fā)展前途待遇情況同事地理位置單位名氣總排序權(quán)值準(zhǔn)則層權(quán)值0.15070.17920.18860.04720.14640.2879方案層單排序權(quán)值工作1工作2工作30.13650.09740.24260.27900.46670.79860.62500.33310.08790.64910.46670.10490.23850.56950.66940.07190.06670.09650.39520.29960.3052根據(jù)層次總排序權(quán)值，該生最滿意的工作為工作1案例3某單位準(zhǔn)備挑選一位負(fù)責(zé)人，根據(jù)組織章程，上級(jí)提出了挑選負(fù)責(zé)人的十二條標(biāo)準(zhǔn)（1）忠誠(chéng)正派；（2）責(zé)任心強(qiáng)；（3）虛懷若谷；（4）有遠(yuǎn)見(jiàn)；（5）有組織協(xié)調(diào)能力；（6）知人善用；（7）多某善斷；（8）精通業(yè)務(wù)；（9）學(xué)歷高，知識(shí)面廣；（10）具有現(xiàn)代管理知識(shí)；（11）身體健康；（12）年齡合適。在報(bào)名競(jìng)爭(zhēng)的總經(jīng)理人選中，根據(jù)上級(jí)任命的人事小組評(píng)選結(jié)果，得分最高的三人總分一樣，其得分如下：標(biāo)準(zhǔn)候選人得分123456789101112總分甲96784985868785乙89978768565785丙88775857669985為了從中選出一人為負(fù)責(zé)人，應(yīng)進(jìn)行權(quán)重分析。若得到十二個(gè)指標(biāo)的權(quán)重，便可詳細(xì)區(qū)分。選書(shū)記B1B2B3B4123456789101112B1:道德水平B2:管理才能B3:學(xué)識(shí)水平B4:健康水平目標(biāo)層準(zhǔn)則層標(biāo)準(zhǔn)層AB1B2B3B4B11223B21/2152B31/21/512B41/31/21/21（每行相加）（歸一化）維數(shù)123456789R.I0.000.000.580.961.121.241.321.411.45B2C4C5C6C7C8C413331C51/31211/2C61/31/2121/3C71/311/211/2C812321B3C8C9C10C811/31/2C9312C1021/21B4C11C12C1113C121/31案例4改變鬧市區(qū)交通環(huán)境（G）通車能力C1方便市民C2改建費(fèi)用C3安全性C4市容美觀C5天橋A1地道A2搬遷A3C1A1A2A3A1115A2115A31/51/51C2A1A2A3A1135A21/312A31/51/21C3A1A2A3A1147A21/414A31/71/41GC1C2C3C4C5C113535C21/31313C31/51/311/33C41/31313C51/51/31/31/31C4A1A2A3A111/21/3A2211A3311C5A1A2A3A111/21/3A221