初中八年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)講義全套專題29幾何變換

專題29幾何變換閱讀與思考幾何變換是指把一個幾何圖形F變換成另一個幾何圖形F的方法，若僅改變圖形的位置，而不改

1 2變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、對稱、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換.平移變換如圖1，如果把圖形勺上的各點(diǎn)都按一定方向移動一定距離得到圖形F2后，則由勺到F2的變換叫平移變換.平移變換前后的對應(yīng)線段相等且平行，對應(yīng)角的兩邊分別平行且方向一致.對稱變換如圖2,將平面圖形F變換到與它成軸對稱的圖形F，這樣的幾何變換就叫做關(guān)于直線/（對稱軸）1 2的對稱變換.對稱變換前后的對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，其對稱軸是連結(jié)各對應(yīng)點(diǎn)線段的垂直平分線.旋轉(zhuǎn)變換如圖3,將平面圖形勺繞這一平面內(nèi)一定點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)一個定角a，得到圖形F2，這樣的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，M叫旋轉(zhuǎn)中心，a叫旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形是全等的，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角例題與求解【例1】如圖，ZAOB=450,角內(nèi)有點(diǎn)P,PO=10,在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q,H（均不同于O）,則4PQR的周長的最小值為. （黃岡市競賽試題）解題思路：作P點(diǎn)關(guān)于OA,OB的對稱點(diǎn)，確定Q,R的位置，化折線為直線，求△PQR的最小值.【例2】如圖，P是等邊△ABC的內(nèi)部一點(diǎn)，NAPB，/BPC,/CPA的大小之比是5：6:7，則以PA,PB,PC為邊的三角形的三個角的大小之比（從小到大）是（）A.2:3:4 B,3:4:5C.4:5:6 D.不能確定（全國通訊賽試題）解題思路：解本例的關(guān)鍵是如何構(gòu)造以PA,PB,PC為邊的三角形，若把△PAB,△PBC,△PCA中的任一個，繞一個頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)600就可以把PA,PB,PC有效地集中在一起.【例3】如圖，在"BC中，AD±BC于D，/B=2NC,求證：AB+BD=CD.（天津市競賽試題）解題思路：用截長法或補(bǔ)短法證明，實(shí)質(zhì)都利用AD翻折造全等.【例4】如圖，六邊形ABCDEF中，AB//DE,BC〃FE,CD〃AF,對邊之差BC-FE=ED-AB=AF-CD>0，求證：該六邊形的各角都相等.（全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題）解題思路：設(shè)法能將復(fù)雜的條件BC-FE=ED-AB=AF-CD>0，用一個基本圖形表示，題設(shè)條件有平行條件，考慮實(shí)施平移變換.

【例5】如圖1,如圖2,已知RtAABC中，AC=BC,/ACB【例5】如圖1,如圖2,已知RtAABC中，AC=BC,/ACB=90。，/MCN=45。當(dāng)M、N在AB上時，求證：MN2=AM2+BN2將NMCN繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M在BA的延長線時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.（天津市中考試題）圖1圖2解題思路：MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為直角三角形可將AACM沿直線CM對折，得△DCM.連DN,只需證DN=BN,NMDN=90。；或?qū)ⅰ鰽CM^（或△BCM）旋轉(zhuǎn).【例6】如圖，NDAC=120，/DBC=24。，/CAB=36。，/ABD=48。，求NDCA的度數(shù).（日本算術(shù)奧林匹克試題）解題思路：已知角的度數(shù)都是12的倍數(shù)，360+240=600,這使我們想到構(gòu)作正三角形.能力訓(xùn)練.在如圖所示的單位正方形網(wǎng)格中，將A45。向右平移3個單位后得到△AB'。'，則/BAA的度數(shù)是 .（泰安市中考試題）AC（第3題）AC（第3題）.如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=6,PB=8,PC=10,則NAPB=.TOC\o"1-5"\h\z4 k,,0、 4 9.如圖，直線J=-x與雙曲線J=-（k>0）交于點(diǎn)A，將直線J=x向右平移彳個單位后，與雙曲3 2x 1 3 2k AO線J0=—交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C.若—=2，則k= . （武漢市中考試題）x BC.如圖，△ABC中，/BAC=450,AD±BC,DB=3,DC=2,則4ABC的面積是 ..如圖，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，若PA:PB:PC=1:2:3，則NAPB的度數(shù)是（ ）.A.1200 B.1350 C.1450 D.1500

AAD（第5題）AD（第6AAD（第5題）AD（第6題）.如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)0,把邊BA、CD分別繞點(diǎn)B、C同時逆時針旋轉(zhuǎn)600TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"c 1- ，得四邊形A'BCD',下列結(jié)論：①四邊形A'BCD'為菱形；②s =S；③線段0D'的四邊形A'BCD' 2正方形ABCD長為。3-1.其中正確的結(jié)論有（ ）.\o"CurrentDocument"A.0個 B.1個 C.2個 D.3個CD=6米，若由L上一點(diǎn)分別向A，B.如圖，A，BCD=6米，若由L上一點(diǎn)分別向A，B連電話線，最短為（11米).10米9米8米8.如圖，在"連電話線，最短為（11米).10米9米8米8.如圖，在"BC中ZBAC=1200P是^ABC內(nèi)一點(diǎn)若記x=PA+PB+PC,y=AB+AC,則（x=yx>yx與y的大小關(guān)系不確定第8題圖.如圖，已知D是^ABC中BC邊的中點(diǎn)，過D作DE±DF,分別交AB于E，交AC于F,求證:BE+CF>EF.（天津市競賽試題）

.如圖，△ABC,△AB'C其各邊交成六邊形DEFGHK，且EF〃KH,GH〃DE,FG〃KD,KH—EF=FG—KD=DE—GH>0,求證：△ABC,△A'B'C'均為為正三角形.（“縉云杯”邀請賽試題）.如圖，已知^ABC中，AB=AC,P,Q分別為AC,AB上的點(diǎn)，且AP=PQ=QB=BCf/PCQ.(北京市競賽試題).如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,-3)，B(4,-1).(1)若P(X,0)是x軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長最短時，求x的值；(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x軸上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時，求a的值；(3)設(shè)M，N分別為x軸，y軸上的動點(diǎn)，問：是否存在這樣的點(diǎn)M(m,0)和N(0,n)，使四邊形ABMN的周長最短？若存在，求出m,n的值；若不存在，請說明理由.(浙江省湖州市中考試題).如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,分別以兩腰AB,CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF,設(shè)線段AD的垂直平分線佼線段EF于點(diǎn)M,EP±/于P,FQ±/于。，求證：EP=FQ.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）.如圖所示，已知Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，連結(jié)EC，取EC中點(diǎn)M，連結(jié)DM和BM.（1）若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖1,求證：BM=DM，