2016屆九年級下學期開學數(shù)學試卷【解析版】

2016屆九年級下學期開學數(shù)學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．下列各數(shù)中，負數(shù)是（）A．﹣（1﹣2） B．﹣1﹣1 C．（﹣1）0 D．1﹣22．下列運算正確的是（）A．﹣3（x﹣1）=﹣3x﹣1 B．﹣3（x﹣1）=﹣3x+1 C．﹣3（x﹣1）=﹣3x﹣3 D．﹣3（x﹣1）=﹣3x+33．下列命題中，不正確的是（）A．對角線相等的平行四邊形是矩形B．有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形C．正方形的兩條對角線相等且互相垂直平分D．直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半4．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．5．如圖，8×8方格紙的兩條對稱軸EF，MN相交于點O，圖a到圖b的變換是（）A．繞點O旋轉(zhuǎn)180°B．先向上平移3格，再向右平移4格C．先以直線MN為對稱軸作軸對稱，再向上平移4格D．先向右平移4格，再以直線EF為對稱軸作軸對稱6．如圖，將寬為1cm的紙條沿BC折疊，使∠CAB=45°，則折疊后重疊部分的面積為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm27．三軍受命，我解放軍各部隊奮力抗戰(zhàn)地救災一線．現(xiàn)有甲、乙兩支解放軍小分隊將救災物資送往某重災小鎮(zhèn)，甲隊先出發(fā)，從部隊基地到小鎮(zhèn)只有唯一通道，且路程為24km，如圖是他們行走的路線關(guān)于時間的函數(shù)圖象，四位同學觀察此函數(shù)圖象得出有關(guān)信息，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．在一個不透明的袋子中裝有4個除顏色外完全相同的小球，其中白球1個，黃球1個，紅球2個，摸出一個球不放回，再摸出一個球，兩次都摸到紅球的概率是（）A． B． C． D．9．四邊形ABCD中，AC和BD交于點E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四個命題：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④AB=BE=AE．其中命題一定成立的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④10．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的實數(shù)）．其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題（共10小題，每小題3分，共30分）11．分解因式：m2n﹣n=．12．若一次函數(shù)y=（2﹣m）x﹣2的函數(shù)值y隨x的增大而減少，則m的取值范圍是．13．某市高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值突破110億元，數(shù)據(jù)“110億”用科學記數(shù)法可表示為．14．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+8sinα=0的兩根相等，且α是銳角，則∠α=度．15．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，AB=3，則下底BC的長為．16．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連接BD，若sin∠DBC=，則BC的長是cm．17．如圖，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，點P1，P2在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，斜邊OA1，A1A2都在x軸上，則點A2的坐標是．18．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．P是AB的中點，正方形ADEF的邊在線段CP上，則正方形ADEF與△ABC的面積的比為．19．如圖，拋物線的頂點為P（﹣2，2），與y軸交于點A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，﹣2），點A的對應點為A′，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域的面積為．20．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如圖所示的方式放置．點A1，A2，A3，…，和點C1，C2，C3，…，分別在直線y=kx+b（k＞0）和x軸上，已知點B1、B2的坐標分別為B1（1，1），B2（3，2），則B8的坐標是．三、解答題21．（1）計算：（﹣1）2013﹣|﹣|﹣（﹣）﹣2+2sin45°﹣（π﹣3.14）0+（2）先化簡，再求值：?+，其中x滿足x2﹣3x+2=0．22．在建筑樓梯時，設計者要考慮樓梯的安全程度，如圖（1），虛線為樓梯的斜度線，斜度線與地板夾角為傾角為θ，一般情況下，傾角θ愈小，樓梯的安全度就越高．如圖（2），設計者為提高樓梯安全度，要把樓梯傾角由θ1減至θ2，這樣樓梯占用地板的長度d1增加到d2，已知d1=4m，∠θ1=45°，∠θ2=30°，求樓梯占用地板的長度增加了多少？23．如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BD上的一點，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，點G是BC、AE延長線的交點，AG與CD相交于點F．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）當AE=2EF時，判斷FG與EF有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．24．如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（，8），直線y=﹣x+b經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點Q（4，m）．（1）求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達式；（2）設該直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與反比例函數(shù)圖象的另一個交點為P，連接0P、OQ，求△OPQ的面積．25．我市的重大惠民工程﹣﹣公租房建設已陸續(xù)竣工，計劃10年內(nèi)解決低收入人群的住房問題，前6年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬平方米），與時間x的關(guān)系是y=﹣x+5，（x單位：年，1≤x≤6且x為整數(shù)）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬平方米），與時間x的關(guān)系是y=﹣x+（x單位：年，7≤x≤10且x為整數(shù)）．假設每年的公租房全部出租完．另外，隨著物價上漲等因素的影響，每年的租金也隨之上調(diào)，預計，第x年投入使用的公租房的租金z（單位：元/m2）與時間x（單位：年，1≤x≤10且x為整數(shù)）滿足一次函數(shù)關(guān)系如表：z（元/m2）5052545658…x（年）12345…（1）求出z與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求政府在第幾年投入的公租房收取的租金最多，最多為多少百萬元．26．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發(fā)沿DE方向運動，過點P作PQ⊥BC于Q，過點Q作QR∥BA交AC于R，當點Q與點C重合時，點P停止運動．設BQ=x，QR=y．（1）求點D到BC的距離DH的長；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）若△PQR是以QR為底邊的等腰三角形，求的x值．27．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式．（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

2016屆九年級下學期開學數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．下列各數(shù)中，負數(shù)是（）A．﹣（1﹣2） B．﹣1﹣1 C．（﹣1）0 D．1﹣2【考點】負整數(shù)指數(shù)冪；零指數(shù)冪．【專題】計算題．【分析】依次計算出各選項的值，然后判斷結(jié)果為負數(shù)的選項．【解答】解：A、﹣（1﹣2）=1，為正數(shù)，故本選項錯誤；B、﹣1﹣1=﹣1，為負數(shù)，故本選項正確；C、（﹣1）0=1，為正數(shù)，故本選項錯誤；D、1﹣2=1，為正數(shù)，故本選項錯誤；故選B．【點評】此題考查了負整數(shù)指數(shù)冪及零指數(shù)冪的知識，屬于基礎題，解答本題的關(guān)鍵是正確運算出各項的值，難度一般．2．下列運算正確的是（）A．﹣3（x﹣1）=﹣3x﹣1 B．﹣3（x﹣1）=﹣3x+1 C．﹣3（x﹣1）=﹣3x﹣3 D．﹣3（x﹣1）=﹣3x+3【考點】去括號與添括號．【分析】去括號時，要按照去括號法則，將括號前的﹣3與括號內(nèi)每一項分別相乘，尤其需要注意，﹣3與﹣1相乘時，應該是+3而不是﹣3．【解答】解：根據(jù)去括號的方法可知﹣3（x﹣1）=﹣3x+3．故選D．【點評】本題屬于基礎題，主要考查去括號法則，理論依據(jù)是乘法分配律，容易出錯的地方有兩處，一是﹣3只與x相乘，忘記乘以﹣1；二是﹣3與﹣1相乘時，忘記變符號．本題直指去括號法則，沒有任何其它干擾，掌握了去括號法則就能得分，不掌握就不能得分．3．下列命題中，不正確的是（）A．對角線相等的平行四邊形是矩形B．有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形C．正方形的兩條對角線相等且互相垂直平分D．直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半【考點】命題與定理．【分析】根據(jù)矩形的判定方法對A矩形判斷；根據(jù)等邊三角形的判定對B進行判斷；根據(jù)正方形的性質(zhì)對C進行判斷；根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)對D進行判斷．【解答】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形是正確的，不符合題意；B、有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形是正確的，不符合題意；C、正方形的兩條對角線相等且互相垂直平分是正確的，不符合題意；D、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故原來的命題不正確．故選D．【點評】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．4．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【考點】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集．【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：由得：x≤2．由2﹣x＜3得：x＞﹣1．所以不等式組的解集為﹣1＜x≤2．故選C．【點評】此題主要考查不等式組的解法及在數(shù)軸上表示不等式組的解集．不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．5．如圖，8×8方格紙的兩條對稱軸EF，MN相交于點O，圖a到圖b的變換是（）A．繞點O旋轉(zhuǎn)180°B．先向上平移3格，再向右平移4格C．先以直線MN為對稱軸作軸對稱，再向上平移4格D．先向右平移4格，再以直線EF為對稱軸作軸對稱【考點】利用軸對稱設計圖案．【分析】根據(jù)平移和軸對稱的性質(zhì)，結(jié)合圖形，對選項進行一一分析，排除錯誤答案．【解答】解：A、繞點O旋轉(zhuǎn)180°，兩條對稱軸EF，MN不可能相交于點O，故此選項錯誤；B、平移后的圖形與b形狀不同，故此選項錯誤；C、先以直線MN為對稱軸作軸對稱，其中平移后與b形狀不同，故此選項錯誤；D、先向右平移4格，再以直線EF為對稱軸作軸對稱，故此選項正確．故選：D．【點評】本題考查圖形的平移變換和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)即軸對稱的性質(zhì)．注意這些變換都不改變圖形的形狀和大小．注意結(jié)合圖形解題的思想．6．如圖，將寬為1cm的紙條沿BC折疊，使∠CAB=45°，則折疊后重疊部分的面積為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【考點】翻折變換（折疊問題）．【分析】先根據(jù)題意得出△ABC是一個頂角為45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB，過C作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)三角函數(shù)定義求出AC，AB，然后就可以求出△ABC面積．【解答】解：∵紙條的兩邊互相平行，∴∠1=∠BAC=45°，∴∠ABC===67.5°，同理可得，∠ACB=67.5°，∴△ABC是一個頂角為45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB．作CD⊥AB，垂足為D，則CD=1．∵sin∠A=，∴AC===AB，∴S△ABC=×AB×CD=，∴折疊后重疊部分的面積為cm2．故選B．【點評】本題考查的是圖形折疊的性質(zhì)，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．7．三軍受命，我解放軍各部隊奮力抗戰(zhàn)地救災一線．現(xiàn)有甲、乙兩支解放軍小分隊將救災物資送往某重災小鎮(zhèn)，甲隊先出發(fā)，從部隊基地到小鎮(zhèn)只有唯一通道，且路程為24km，如圖是他們行走的路線關(guān)于時間的函數(shù)圖象，四位同學觀察此函數(shù)圖象得出有關(guān)信息，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】一次函數(shù)的應用．【專題】壓軸題；閱讀型；圖表型．【分析】本題主要考查的是分段函數(shù)的應用，應結(jié)合函數(shù)的圖形，按不同的時間段進行逐段分析．【解答】解：由圖可知：甲、乙的起始時間分別為0h和2h；因此甲比乙早出發(fā)2小時；在3h﹣4h這一小時內(nèi)，甲的函數(shù)圖象與x軸平行，因此在行進過程中，甲隊停頓了一小時；兩個函數(shù)有兩個交點：①甲行駛4.5小時、乙行駛2.5小時時，兩函數(shù)相交，因此乙隊出發(fā)2.5小時后追上甲隊；②甲行駛6小時、乙行駛4小時后，兩函數(shù)相交，此時兩者同時到達目的地．所以在整個行進過程中，乙隊用的時間為4小時，行駛的路程為24千米，因此它的平均速度為6km/h．這四個同學的結(jié)論都正確，故選D．【點評】本題考查了識別函數(shù)圖象的能力，是一道較為簡單的題，觀察圖象提供的信息，再分析這四位同學的結(jié)論．8．在一個不透明的袋子中裝有4個除顏色外完全相同的小球，其中白球1個，黃球1個，紅球2個，摸出一個球不放回，再摸出一個球，兩次都摸到紅球的概率是（）A． B． C． D．【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】轉(zhuǎn)化思想．【分析】列舉出所有情況，看兩次都摸到紅球的情況占總情況的多少即可．【解答】解：∴一共有12種情況，有2種情況兩次都摸到紅球，∴兩次都摸到紅球的概率是=．故選：C．【點評】列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9．四邊形ABCD中，AC和BD交于點E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四個命題：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④AB=BE=AE．其中命題一定成立的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)判斷各選項是否正確即可．【解答】解：∵AB=AE，一個三角形的直角邊和斜邊一定不相等，∴AC不垂直于BD，①錯誤；利用邊角邊定理可證得△ADE≌△ABC，那么BC=DE，②正確；由△ADE≌△ABC可得∠ADE=∠ACB，那么A，B，C，D四點共圓，∴∠DBC=∠DAC=∠DAB，③正確；△ABE不一定是等邊三角形，那么④不一定正確；②③正確，故選B．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，以及直角三角形中斜邊最長；全等三角形的對應邊相等；等邊三角形的三邊相等．10．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的實數(shù)）．其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】觀察圖象：開口向下得到a＜0；對稱軸在y軸的右側(cè)得到a、b異號，則b＞0；拋物線與y軸的交點在x軸的上方得到c＞0，所以abc＜0；當x=﹣1時圖象在x軸下方得到y(tǒng)=a﹣b+c=0，即a+c=b；對稱軸為直線x=1，可得x=2時圖象在x軸上方，則y=4a+2b+c＞0；利用對稱軸x=﹣=1得到a=﹣b，而a﹣b+c＜0，則﹣b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；開口向下，當x=1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．【解答】解：開口向下，a＜0；對稱軸在y軸的右側(cè)，a、b異號，則b＞0；拋物線與y軸的交點在x軸的上方，c＞0，則abc＜0，所以①不正確；當x=﹣1時圖象在x軸下方，則y=a﹣b+c=0，即a+c=b，所以②不正確；對稱軸為直線x=1，則x=2時圖象在x軸上方，則y=4a+2b+c＞0，所以③正確；x=﹣=1，則a=﹣b，而a﹣b+c=0，則﹣b﹣b+c=0，2c=3b，所以④不正確；開口向下，當x=1，y有最大值a+b+c；當x=m（m≠1）時，y=am2+bm+c，則a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正確．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，當a＞0，開口向上，函數(shù)有最小值，a＜0，開口向下，函數(shù)有最大值；對稱軸為直線x=﹣，a與b同號，對稱軸在y軸的左側(cè)，a與b異號，對稱軸在y軸的右側(cè)；當c＞0，拋物線與y軸的交點在x軸的上方；當△=b2﹣4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點．二、填空題（共10小題，每小題3分，共30分）11．分解因式：m2n﹣n=n（m+1）（m﹣1）．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【分析】觀察原式，找到公因式n，提取公因式后發(fā)現(xiàn)m2﹣1符合平方差公式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可．【解答】解：m2n﹣n，=n（m2﹣1），=n（m+1）（m﹣1）．【點評】本題考查了提公因式法與公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．12．若一次函數(shù)y=（2﹣m）x﹣2的函數(shù)值y隨x的增大而減少，則m的取值范圍是m＞2．【考點】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)一次函數(shù)y=（2﹣m）x﹣2的增減性知m﹣1＜0，通過解不等式即可求得m的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)y=（2﹣m）x﹣2是一次函數(shù)，且y隨x的增大而減少，∴2﹣m＜0，解得，m＞2．故答案為：m＞2．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．：在直線y=kx+b中，當k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減?。?3．某市高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值突破110億元，數(shù)據(jù)“110億”用科學記數(shù)法可表示為1.1×1010．【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：將110億用科學記數(shù)法表示為：1.1×1010．故答案為：1.1×1010．【點評】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．14．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+8sinα=0的兩根相等，且α是銳角，則∠α=30度．【考點】根的判別式；特殊角的三角函數(shù)值．【分析】已知方程有兩相等實數(shù)根，則其根的判別式△=0．由此可以得到關(guān)于sinα的方程，解方程求出sinα后再求α的度數(shù)．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=8sinα，∴△=b2﹣4ac=16﹣32sinα=0，∴sinα=，∴α=30°．【點評】一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．15．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，AB=3，則下底BC的長為10．【考點】梯形．【專題】壓軸題．【分析】過A作AE∥CD，把梯形分成平行四邊形和直角三角形，利用平行四邊形的對邊相等得到CE=AD，所以BE可以求出，在直角三角形中，根據(jù)∠B=30°，利用勾股定理求出BE，BC的長也就可以求出了．【解答】解：如圖，過A作AE∥CD交BC于點E，∵AD∥BC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∴CE=AD=4，∵∠B=30°，∠C=60°，∴∠BAE=90°，∴AE=BE（直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2，即BE2=（3）2+（BE）2，BE2=27+BE2，BE2=36，解得BE=6，∴BC=BE+EC=6+4=10．故答案為：10．【點評】通過作腰的平行線，把梯形分成平行四邊形和直角三角形，再利用直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半和勾股定理求解，考慮本題的突破口在于兩個已知角的和是90°．16．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連接BD，若sin∠DBC=，則BC的長是4cm．【考點】解直角三角形．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進行等量轉(zhuǎn)換，運用三角函數(shù)定義解直角三角形．【解答】解：AB的垂直平分線MN交AC于D，∴AD=BD．∵sin∠DBC==，設CD=3a，則BD=5a，AC=AD+CD=BD+CD=8，∴a=1，∴CD=3，BD=5，BC=4．【點評】此題考查了線段垂直平分線性質(zhì)和三角函數(shù)定義的應用．17．如圖，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，點P1，P2在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，斜邊OA1，A1A2都在x軸上，則點A2的坐標是（，0）．【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；等腰直角三角形．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】作P1B⊥y軸，P1A⊥x軸，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：作P1B⊥y軸，P1A⊥x軸，∵△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，∴AP1=BP1，A1D=DA2=DP2，則OA?OB=4，∴OA=OB=AA1=2，OA1=4，設A1D=x，則有（4+x）x=4，解得x=﹣2+2，或x=﹣2﹣2（舍去），則OA2=4+2x=4﹣4+4=4，A2坐標為（4，0）．故答案為：（4，0）．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與反比例函數(shù)的性質(zhì)的綜合，一定經(jīng)過某點的函數(shù)應符合這個點的橫縱坐標．18．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．P是AB的中點，正方形ADEF的邊在線段CP上，則正方形ADEF與△ABC的面積的比為．【考點】正方形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】設AC與EF交于點M，首先根據(jù)∠BAC=90°，∠DAF=90°，可知∠PAD=∠MAF，根據(jù)SAS證明△PAD≌△MAF，可得AP=AM，已知P為AB中點，則知道M為AC中點，又可證明△AFM≌△CEM，得出M為EF中點，設FM=x，則EF=AD=2x，根據(jù)勾股定理得出AP=x，則AB=2x，分別求出△ABC的面積和正方形ADEF的面積，即可求出它們的比值．【解答】解：設AC與EF交于點M，∵∠BAC=90°，∠DAF=90°，∴∠PAD=∠MAF，在△PAD和△MAF中，，∴△PAD≌△MAF，則AP=AM，∵P為AB中點，AB=AC，∴M為AC中點，在△AFM和△CEM中，，∴△AFM≌△CEM，則M為EF中點，設FM=x，則EF=AD=2x，∴AM==x，則AB=AC=2AM=2x，∴S△ABC=×2x?2x=10x2，S正方形ADEF=2x?2x=4x2．則正方形ADEF與△ABC的面積的比為==．故答案為：．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，涉及了全等三角形的證明，勾股定理的運用，解題關(guān)鍵是根據(jù)各邊之間的關(guān)系求出兩圖形的面積．19．如圖，拋物線的頂點為P（﹣2，2），與y軸交于點A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，﹣2），點A的對應點為A′，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域的面積為12．【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出四邊形APP′A′是平行四邊形，進而得出AD，PP′的長，求出面積即可．【解答】解：連接AP，A′P′，過點A作AD⊥PP′于點D，由題意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，∴四邊形APP′A′是平行四邊形，∵拋物線的頂點為P（﹣2，2），與y軸交于點A（0，3），平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，﹣2），∴PO==2，∠AOP=45°，又∵AD⊥OP，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′=2×2=4，∴AD=DO=sin45°?OA=×3=，∴拋物線上PA段掃過的區(qū)域的面積為：4×=12．故答案為：12．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換以及平行四邊形面積求法和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出AD，PP′是解題關(guān)鍵．20．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如圖所示的方式放置．點A1，A2，A3，…，和點C1，C2，C3，…，分別在直線y=kx+b（k＞0）和x軸上，已知點B1、B2的坐標分別為B1（1，1），B2（3，2），則B8的坐標是（28﹣1，28﹣1）或（255，128）．【考點】一次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】首先利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，然后分別求得B1，B2，B3…的坐標，可以得到規(guī)律：Bn（2n﹣1，2n﹣1），據(jù)此即可求解．【解答】解：∵B1的坐標為（1，1），點B2的坐標為（3，2），∴正方形A1B1C1O1邊長為1，正方形A2B2C2C1邊長為2，∴A1的坐標是（0，1），A2的坐標是：（1，2），代入y=kx+b得：，解得：，則直線的解析式是：y=x+1．∵A1B1=1，點B2的坐標為（3，2），∴點A3的坐標為（3，4），∴A3C2=A3B3=B3C3=4，∴點B3的坐標為（7，4），∴B1的縱坐標是：1=20，B1的橫坐標是：1=21﹣1，∴B2的縱坐標是：2=21，B2的橫坐標是：3=22﹣1，∴B3的縱坐標是：4=22，B3的橫坐標是：7=23﹣1，∴Bn的縱坐標是：2n﹣1，橫坐標是：2n﹣1，則Bn（2n﹣1，2n﹣1）．∴B8的坐標是：（28﹣1，28﹣1），即（255，128）．故答案為：（28﹣1，28﹣1）或（255，128）．【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和坐標的變化規(guī)律．此題難度較大，注意正確得到點的坐標的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．（1）計算：（﹣1）2013﹣|﹣|﹣（﹣）﹣2+2sin45°﹣（π﹣3.14）0+（2）先化簡，再求值：?+，其中x滿足x2﹣3x+2=0．【考點】分式的化簡求值；實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．【分析】（1）先算乘方，絕對值，負指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，0次冪以及開方，再算加減；（2）先化簡分式，進一步根據(jù)式子的特點整理，整體代入求得答案即可．【解答】解：（1）原式=﹣1﹣﹣4+2×﹣1+2=﹣1﹣﹣4+﹣1+2=﹣4；（2）原式=?+=x+=∵x2﹣3x+2=0，∴x2+2=3x∴原式=3．【點評】此題考查分式的化簡求值，實數(shù)的混合運算，掌握運算方法是解決問題的關(guān)鍵．22．在建筑樓梯時，設計者要考慮樓梯的安全程度，如圖（1），虛線為樓梯的斜度線，斜度線與地板夾角為傾角為θ，一般情況下，傾角θ愈小，樓梯的安全度就越高．如圖（2），設計者為提高樓梯安全度，要把樓梯傾角由θ1減至θ2，這樣樓梯占用地板的長度d1增加到d2，已知d1=4m，∠θ1=45°，∠θ2=30°，求樓梯占用地板的長度增加了多少？【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題．【專題】計算題．【分析】由題意得：增加部分是CD長，分別在Rt△ABC，Rt△ABD中利用三角函數(shù)的定義即可求出BC，BD長，然后利用已知條件即可求出CD長．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=d1=4m，∠ACB=∠θ1=45°，∴AB=BC×tan45°=4tan45°=4m，在Rt△ABD中，BD=d2，∠ADB=θ2=30°，∴BD=AB÷tan30°=4÷=4m∴CD=d2﹣d1=BD﹣CB=（4﹣4）m．∴樓梯占用地板的長度增加了（4﹣4）m．【點評】此題考查的知識點是解直角三角形的應用，關(guān)鍵是當兩個直角三角形共用一條線段時，應先利用三角函數(shù)算出這條線段的長度．23．如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BD上的一點，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，點G是BC、AE延長線的交點，AG與CD相交于點F．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）當AE=2EF時，判斷FG與EF有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的判定．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性質(zhì)，即可得∠CBE=∠ABE，又由四邊形ABCD是矩形，即可證得△ABD與△BCD是等腰直角三角形，繼而證得四邊形ABCD是正方形；（2）由題意易證得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得FG=3EF．【解答】（1）證明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，∴∠CBE=∠ABE=45°，∴△ABD與△BCD是等腰直角三角形，∴AB=AD=BC=CD，∴四邊形ABCD是正方形；（2）當AE=2EF時，F(xiàn)G=3EF．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，∵AE=2EF，∴BE：DE=AE：EF=2，∴BG：AD=BE：DE=2，即BG=2AD，∵BC=AD，∴CG=AD，∵△ADF∽△GCF，∴FG：AF=CG：AD，即FG=AF=AE+EF=3EF．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．24．如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（，8），直線y=﹣x+b經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點Q（4，m）．（1）求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達式；（2）設該直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與反比例函數(shù)圖象的另一個交點為P，連接0P、OQ，求△OPQ的面積．【考點】反比例函數(shù)綜合題．【專題】綜合題．【分析】（1）把點（，8）代入反比例函數(shù)，確定反比例函數(shù)的解析式為y=；再把點Q（4，m）代入反比例函數(shù)的解析式得到Q的坐標，然后把Q的坐標代入直線y=﹣x+b，即可確定b的值；（2）把反比例函數(shù)和直線的解析式聯(lián)立起來，解方程組得到P點坐標；對于y=﹣x+5，令y=0，求出A點坐標，然后根據(jù)S△OPQ=S△AOB﹣S△OBP﹣S△OAQ進行計算即可．【解答】解：（1）把點（，8）代入反比例函數(shù)，得k=×8=4，∴反比例函數(shù)的解析式為y=；又∵點Q（4，m）在該反比例函數(shù)圖象上，∴4?m=4，解得m=1，即Q點的坐標為（4，1），而直線y=﹣x+b經(jīng)過點Q（4，1），∴1=﹣4+b，解得b=5，∴直線的函數(shù)表達式為y=﹣x+5；（2）聯(lián)立，解得或，∴P點坐標為（1，4），對于y=﹣x+5，令y=0，得x=5，∴A點坐標為（5，0），∴S△OPQ=S△AOB﹣S△OBP﹣S△OAQ=×5×5﹣×5×1﹣×5×1=．【點評】本題考查了點在圖象上，點的橫縱坐標滿足圖象的解析式以及求兩個圖象交點的方法（轉(zhuǎn)化為解方程組）；也考查了利用面積的和差求圖形面積的方法．25．我市的重大惠民工程﹣﹣公租房建設已陸續(xù)竣工，計劃10年內(nèi)解決低收入人群的住房問題，前6年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬平方米），與時間x的關(guān)系是y=﹣x+5，（x單位：年，1≤x≤6且x為整數(shù)）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬平方米），與時間x的關(guān)系是y=﹣x+（x單位：年，7≤x≤10且x為整數(shù)）．假設每年的公租房全部出租完．另外，隨著物價上漲等因素的影響，每年的租金也隨之上調(diào)，預計，第x年投入使用的公租房的租金z（單位：元/m2）與時間x（單位：年，1≤x≤10且x為整數(shù)）滿足一次函數(shù)關(guān)系如表：z（元/m2）5052545658…x（年）12345…（1）求出z與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求政府在第幾年投入的公租房收取的租金最多，最多為多少百萬元．【考點】二次函數(shù)的應用；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【分析】（1）表格中x的值每增加1，對應z的值增加2，可知z是關(guān)于x的一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)收取的租金=公租房面積×公租房的租金，分別就1≤x≤6、7≤x≤10列出函數(shù)關(guān)系式，配方找到最大值，比較可得．【解答】解：（1）由題意，z與x是一次函數(shù)關(guān)系，設z=kx+b（k≠0）把（1，50），（2，52）代入，得∴∴z=2x+48；（2）當1≤x≤6時，設收取的租金為W1百萬元，則W1=（）?（2x+48）==（x﹣3）2+243，∵﹣＜0，∴當x=3時，W1最大=243（百萬元）；當7≤x≤10時，設收取的租金為W2百萬元，則W2=（）?（2x+48）==﹣（x﹣7）2+，∵＜0，∴當x=7時，W2最大=（百萬元），∵243＞，∴第3年收取的租金最多，最多為243百萬元．【點評】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的實際應用能力，根據(jù)題意找到相等關(guān)系是根本，列出函數(shù)關(guān)系式并會求其最值是關(guān)鍵．26．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發(fā)沿DE方向運動，過點P作PQ⊥BC于Q，過點Q作QR∥BA交AC于R，當點Q與點C重合時，點P停止運動．設BQ=x，QR=y．（1）求點D到BC的距離DH的長；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）若△PQR是以QR為底邊的等腰三角形，求的x值．【考點】相似形綜合題．【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出BC的長，再由相似三角形的判定定理得