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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,是橢圓的右焦點(diǎn),直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.2.某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績,并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖,如圖所示,則成績?cè)?,?nèi)的學(xué)生人數(shù)為()A.800 B.1000 C.1200 D.16003.如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為176,320,則輸出的a為()A.16 B.18 C.20 D.154.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的表面積為()A.8 B. C. D.5.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且,則的值為()A. B. C. D.6.已知直線:與圓:交于,兩點(diǎn),與平行的直線與圓交于,兩點(diǎn),且與的面積相等,給出下列直線:①,②,③,④.其中滿足條件的所有直線的編號(hào)有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的,則輸出的()A.9 B.31 C.15 D.638.如圖,正四面體的體積為,底面積為,是高的中點(diǎn),過的平面與棱、、分別交于、、,設(shè)三棱錐的體積為,截面三角形的面積為,則()A., B.,C., D.,9.的展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)為()A. B. C. D.10.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,將此圖象分別作以下變換,那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有()①繞著軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對(duì)稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對(duì)稱.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④12.已知函數(shù),若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則實(shí)數(shù)的取值為()A.-2 B.-1 C.1 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在中,已知,為邊的中點(diǎn).若,垂足為,則的值為__.14.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且,則__________.15.已知向量,,若,則________.16.已知點(diǎn)是拋物線上動(dòng)點(diǎn),是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值為______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;(2)直線(t為參數(shù))與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求最大時(shí),直線l的直角坐標(biāo)方程.18.(12分)2019年是中華人民共和國成立70周年.為了讓人民了解建國70周年的風(fēng)雨歷程,某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查,將他們的年齡分成6段:,,…,,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從年齡在,,內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再從這8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談,用表示年齡在)內(nèi)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若用樣本的頻率代替概率,用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查,其中有名市民的年齡在的概率為.當(dāng)最大時(shí),求的值.19.(12分)某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì),通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的人的得分(滿分:分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.組別頻數(shù)(1)已知此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表),請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求;(2)在(1)的條件下,環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案.(?。┑梅植坏陀诘目梢垣@贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi);(ⅱ)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和相應(yīng)的概率如下表.贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查,記為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,若,則,,.20.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)若,求證:對(duì)于任意,.21.(12分)已知,,,,證明:(1);(2).22.(10分)記函數(shù)的最小值為.(1)求的值;(2)若正數(shù),,滿足,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
聯(lián)立直線方程與橢圓方程,解得和的坐標(biāo),然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得,由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由,得,所以,.由題意知,所以,.因?yàn)?所以,所以.所以,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn),考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,考查了橢圓的離心率公式,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由圖可列方程算得a,然后求出成績?cè)趦?nèi)的頻率,最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率和為1,得,解得,所以成績?cè)趦?nèi)的頻率,所以成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù).故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】
根據(jù)題意可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù).【詳解】輸入的a,b分別為,,根據(jù)流程圖可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù),按流程圖計(jì)算,,,,,,,易得176和320的最大公約數(shù)為16,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),難度較易.4、D【解析】
根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐,即可求出幾何體的表面積.【詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐,如圖,且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直,四棱錐的底面是正方形,邊長為2,棱錐的高為2,所以,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體,棱錐表面積的計(jì)算,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.5、B【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得,即可得到,代入由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】解:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,解得,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用,涉及三角函數(shù)求值,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
求出圓心到直線的距離為:,得出,根據(jù)條件得出到直線的距離或時(shí)滿足條件,即可得出答案.【詳解】解:由已知可得:圓:的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線的距離為:,∴,而,與的面積相等,∴或,即到直線的距離或時(shí)滿足條件,根據(jù)點(diǎn)到直線距離可知,①②④滿足條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及點(diǎn)到直線的距離公式.7、B【解析】
根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算,直至滿足條件退出循環(huán)體,即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框;;;;;,滿足,退出循環(huán),因此輸出,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果,模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
設(shè),取與重合時(shí)的情況,計(jì)算出以及的值,利用排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】如圖所示,利用排除法,取與重合時(shí)的情況.不妨設(shè),延長到,使得.,,,,則,由余弦定理得,,,又,,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除B、D選項(xiàng);因?yàn)?,,此時(shí),,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除C選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、排除法,考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.9、B【解析】
根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則得出的一次項(xiàng)系數(shù),然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論.【詳解】由題意展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,應(yīng)用多項(xiàng)式乘法法則可得展開式中某項(xiàng)系數(shù).同時(shí)本題考查了組合數(shù)公式.10、C【解析】
兩復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
計(jì)算得到,,故函數(shù)是周期函數(shù),軸對(duì)稱圖形,故②④正確,根據(jù)圖像知①③錯(cuò)誤,得到答案.【詳解】,,,當(dāng)沿軸正方向平移個(gè)單位時(shí),重合,故②正確;,,故,函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,故④正確;根據(jù)圖像知:①③不正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)和圖像的綜合應(yīng)用.12、B【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用切線方程通過f′(0),求解即可;【詳解】f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),因?yàn)閒′(x)a,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x,可得1﹣a=2,解得a=﹣1,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程的求法,考查計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
,由余弦定理,得,得,,,所以,所以.點(diǎn)睛:本題考查平面向量的綜合應(yīng)用.本題中存在垂直關(guān)系,所以在線性表示的過程中充分利用垂直關(guān)系,得到,所以本題轉(zhuǎn)化為求長度,利用余弦定理和面積公式求解即可.14、【解析】
由題意知,繼而利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和為的公式代入求值即可.【詳解】解:由題意知,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式,屬于中檔題.15、10【解析】
根據(jù)垂直得到,代入計(jì)算得到答案.【詳解】,則,解得,故,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù),向量模,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、【解析】
過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線,為垂足,則由拋物線的定義可得,則,為銳角.故當(dāng)和拋物線相切時(shí),的值最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo),從而求得的最小值.【詳解】解:由題意可得,拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線,為垂足,則由拋物線的定義可得,則,為銳角.故當(dāng)最小時(shí),的值最小.設(shè)切點(diǎn),由的導(dǎo)數(shù)為,則的斜率為,求得,可得,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義,性質(zhì)的簡單應(yīng)用,直線的斜率公式,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)利用消去參數(shù),得到曲線的普通方程,再將,代入普通方程,即可求出結(jié)論;(2)由(1)得曲線表示圓,直線曲線C交于A,B兩點(diǎn),最大值為圓的直徑,直線過圓心,即可求出直線的方程.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(為參數(shù)),可得曲線C的普通方程為,因?yàn)?,所以曲線C的極坐標(biāo)方程為,即.(2)因?yàn)橹本€(t為參數(shù))表示的是過點(diǎn)的直線,曲線C的普通方程為,所以當(dāng)最大時(shí),直線l經(jīng)過圓心.直線l的斜率為,方程為,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化、直線與曲線的位置關(guān)系,考查化歸和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、(1)分布列見解析,(1)【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù),結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù);的可能取值為0,1,1,由離散型隨機(jī)變量概率求法即可求得各概率值,即可得分布列;由數(shù)學(xué)期望公式即可求得其數(shù)學(xué)期望.(1)先求得年齡在內(nèi)的頻率,視為概率.結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì),表示出,令,化簡后可證明其單調(diào)性及取得最大值時(shí)的值.【詳解】(1)按分層抽樣的方法拉取的8人中,年齡在的人數(shù)為人,年齡在內(nèi)的人數(shù)為人.年齡在內(nèi)的人數(shù)為人.所以的可能取值為0,1,1.所以,,,所以的分市列為011.(1)設(shè)在抽取的10名市民中,年齡在內(nèi)的人數(shù)為,服從二項(xiàng)分布.由頻率分布直方圖可知,年齡在內(nèi)的頻率為,所以,所以.設(shè),若,則,;若,則,.所以當(dāng)時(shí),最大,即當(dāng)最大時(shí),.【點(diǎn)睛】本題考差了離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求法,二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1);(2)見解析.【解析】
(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表,利用公式計(jì)算出平均數(shù)的值,再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將、表示為,,利用題中所給數(shù)據(jù),以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對(duì)稱性,求出對(duì)應(yīng)的概率;(2)根據(jù)題意,高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為,再結(jié)合得元、元的概率,分析得出話費(fèi)的可能數(shù)據(jù)都有哪些,再利用公式求得對(duì)應(yīng)的概率,進(jìn)而得出分布列,之后利用離散型隨機(jī)變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題意可得,易知,,,;(2)根據(jù)題意,可得出隨機(jī)變量的可能取值有、、、元,,,,.所以,隨機(jī)變量的分布列如下表所示:所以,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算,涉及到平均數(shù)的求法、正態(tài)分布概率的計(jì)算以及離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望,在解題時(shí)要弄清楚隨機(jī)變量所滿足的分布列類型,結(jié)合相應(yīng)公式計(jì)算對(duì)應(yīng)事件的概率,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20、(Ⅰ),(Ⅱ)見解析【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用切線方程求出切線的斜率及切點(diǎn),利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率及切點(diǎn)也在曲線上,列出方程組,求出,值;(2)首先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù),即將不等式右邊式子左移,得,構(gòu)造函數(shù)并判斷其符號(hào),這里應(yīng)注意的取值范圍,從而證明不等式.【詳解】解:(1)由于直
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