雞西市重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則m的值為（）A． B． C．1 D．32．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．3．已知奇函數(shù)是上的減函數(shù)，若滿足不等式組，則的最小值為（）A．-4 B．-2 C．0 D．44．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．240 B．264 C．274 D．2825．某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）A． B． C． D．6．函數(shù)與在上最多有n個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)分別為（，……，n），則（）A．7 B．8 C．9 D．107．已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則（）A． B．2 C． D．8．展開(kāi)式中x2的系數(shù)為()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．12809．將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A． B． C． D．10．設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．11．若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．12．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A．或 B．或C．或 D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求直線和曲線的普通方程；（2）設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是直線：上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)．已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)__________．15．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年級(jí)的人數(shù)依次成等差數(shù)列，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人，那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為_(kāi)_______．16．在中，，，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）百年大計(jì)，教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號(hào)召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長(zhǎng)班進(jìn)行專項(xiàng)培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計(jì)有如下表格.（其中表示通過(guò)自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)，表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù)）年份（屆）2014201520162017201841495557638296108106123（1）通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）（2）若已知該校2019年通過(guò)自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人，預(yù)測(cè)2019年高考該?？既嗣５娜藬?shù)；（3）若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個(gè)人回校宣傳，在選取的5個(gè)人中再選取2人進(jìn)行演講，求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，，，18．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）求證：．19．（12分）在中，、、分別是角、、的對(duì)邊，且.（1）求角的值；（2）若，且為銳角三角形，求的取值范圍.20．（12分）在，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，邊上的中線，求的面積.21．（12分）已知與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為（）.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.22．（10分）已知矩陣，且二階矩陣M滿足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個(gè)特征向量.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

如圖所示，設(shè)依次構(gòu)成等差數(shù)列，其公差為.根據(jù)橢圓定義得，又，則，解得，.所以，，，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故選D．3、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域，畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù)，則，且，畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，，即，表示直線與軸截距的相反數(shù)，根據(jù)平移得到：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，即時(shí)，有最小值為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，線性規(guī)劃問(wèn)題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】

將三視圖還原成幾何體，然后分別求出各個(gè)面的面積，得到答案.【詳解】由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，其中，，，所以表面積.故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體，求組合體的表面積，屬于中檔題5、C【解析】由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2，高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2，高為2的圓錐的一半，所以，半圓柱的體積為，上部半圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故應(yīng)選．6、C【解析】

根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合，可得最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后利用對(duì)稱性，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：直線過(guò)定點(diǎn)且在是關(guān)于對(duì)稱如圖通過(guò)圖像可知：直線與最多有9個(gè)交點(diǎn)同時(shí)點(diǎn)左、右邊各四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，難點(diǎn)在于正確畫(huà)出圖像，同時(shí)掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì)，屬難題.7、C【解析】

把代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部為0且虛部不為0求解即可．【詳解】∵，∴，∵為純虛數(shù)，∴，解得．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．8、A【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的公式得到具體為：化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式得到可以第一個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，第二個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，或者第一個(gè)括號(hào)里出，第二個(gè)括號(hào)里出，具體為：化簡(jiǎn)得到-1280x2故得到答案為：A.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略：(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫(xiě)出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).9、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式，然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.【詳解】解：圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,得到再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，故選：D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.10、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知在上有變號(hào)零點(diǎn).由此令，利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)，要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，令，則，令，則問(wèn)題即在上有零點(diǎn)，由于在上遞增，所以的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12、C【解析】

簡(jiǎn)單判斷可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，并計(jì)算，結(jié)合對(duì)稱性，可得結(jié)果.【詳解】由，可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱當(dāng)時(shí)，，可知在單調(diào)遞增則又函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以且在單調(diào)遞減，所以或，故或所以或故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性求解不等式，抽象函數(shù)給出式子的意義，比如：，，考驗(yàn)分析能力，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1），；（2），.【解析】

（1）利用代入消參的方法即可將兩個(gè)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）利用參數(shù)方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問(wèn)題，即可求得.【詳解】（1）直線的普通方程為.在曲線的參數(shù)方程中，，所以曲線的普通方程為.（2）設(shè)點(diǎn).點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，以及利用參數(shù)方程求距離的最值問(wèn)題，屬中檔題.14、【解析】

依題意畫(huà)圖,設(shè),根據(jù)圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角,可得,通過(guò)勾股定理得,再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出,進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解:依題意畫(huà)圖,設(shè)以為直徑的圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為,且,又因?yàn)闉閳A的直徑,則所對(duì)的圓周角,則,則為點(diǎn)到直線：的距離.所以,則.又因?yàn)辄c(diǎn)在直線：上,設(shè),則.解得,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,考查了兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,是基礎(chǔ)題.15、【解析】

由三個(gè)年級(jí)人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級(jí)共有人，根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為，則且，解得：，用分層抽樣的方法抽取人，那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為人．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣問(wèn)題的求解，涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

先由題意得：，再利用向量數(shù)量積的幾何意義得，可得結(jié)果.【詳解】由知：，則在方向的投影為，由向量數(shù)量積的幾何意義得：，∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了投影的應(yīng)用，考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）117人；（3）分布列見(jiàn)解析，【解析】

（1）首先求得和，再代入公式即可列方程，由此求得關(guān)于的線性回歸方程；（2）根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算可得人數(shù)；（3）和被選中的人數(shù)分別為2和3，利用超幾何分布分布列的計(jì)算公式，計(jì)算出的分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題，所以線性回歸方程為（若第一問(wèn)求出.）（2）當(dāng)時(shí)，所以預(yù)測(cè)2019年高考該?？既朊５娜藬?shù)約為117人（3）由題知和被選中的人數(shù)分別為2和3，進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的所有可能取值為0，1，2，，的分布列為012【點(diǎn)睛】本小題主要考查平均數(shù)有關(guān)計(jì)算，考查回歸直線方程的計(jì)算，考查期望的計(jì)算，考查超幾何分布和數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.18、（1）時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）利用的導(dǎo)函數(shù)，求得的最大值的表達(dá)式，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此判斷出的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（2）由，得到和，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，即有，從而證得，即.【詳解】（1），∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，.令在上遞減，在上遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．①時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；②時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；③時(shí)，，令在上遞增，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上:時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn);（2）由（1）可知：，令在上遞增，．【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19、(1).(2).【解析】

（1）根據(jù)題意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；（2）由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)為銳角三角形，求得，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意知，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴.（2）由正弦定理可知，，即∴，又∵為銳角三角形，∴，即，則，所以，綜上的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問(wèn)題，對(duì)于解三角形問(wèn)題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.20、(1)(2)答案不唯一，見(jiàn)解析【解析】

（1）由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得的值；（2）在中，由余弦定理可得，解方程分別由三角形面積公式可得答案．【詳解】解：（1）在中，因?yàn)?，又已知，所以，因?yàn)椋?，于?所以.（2）在中，由余弦定理得，得解得或，當(dāng)時(shí)，的面積，當(dāng)時(shí)，的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面積公式和分類討論思想，屬于中檔題．21、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，分析函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，可證得：，，分析直線，與從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在，處的切線即得解.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)，，令，令故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，∵時(shí)；；時(shí).（2）①過(guò)點(diǎn)，的直線為，則令，，，.②過(guò)點(diǎn)，的直線為，則，在上單調(diào)遞增.③設(shè)直線，與從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，由圖知.④在，處的切線分別為，，