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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知中,角、所對的邊分別是,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分必要條件2.某個小區(qū)住戶共200戶,為調查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.1403.已知類產品共兩件,類產品共三件,混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分開來,每次隨機檢測一件產品,檢測后不放回,直到檢測出2件類產品或者檢測出3件類產品時,檢測結束,則第一次檢測出類產品,第二次檢測出類產品的概率為()A. B. C. D.4.某大學計算機學院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領域的語音識別、人臉識別,數(shù)據(jù)分析、機器學習、服務器開發(fā)五個方向展開研究,且每個方向均有研究生學習,其中劉澤同學學習人臉識別,則這6名研究生不同的分配方向共有()A.480種 B.360種 C.240種 D.120種5.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個“完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,則6和28恰好在同一組的概率為A. B. C. D.6.已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.7.函數(shù)()的圖像可以是()A. B.C. D.8.設,則復數(shù)的模等于()A. B. C. D.9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),函數(shù)滿足,且時,,則()A.2 B. C.1 D.10.已知奇函數(shù)是上的減函數(shù),若滿足不等式組,則的最小值為()A.-4 B.-2 C.0 D.411.設過定點的直線與橢圓:交于不同的兩點,,若原點在以為直徑的圓的外部,則直線的斜率的取值范圍為()A. B.C. D.12.已知l,m是兩條不同的直線,m⊥平面α,則“”是“l(fā)⊥m”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某高校開展安全教育活動,安排6名老師到4個班進行講解,要求1班和2班各安排一名老師,其余兩個班各安排兩名老師,其中劉老師和王老師不在一起,則不同的安排方案有________種.14.的二項展開式中,含項的系數(shù)為__________.15.設函數(shù),則滿足的的取值范圍為________.16.拋物線的焦點到準線的距離為.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為直線垂直于軸,垂足為,與拋物線交于不同的兩點,且過的直線與橢圓交于兩點,設且.(1)求點的坐標;(2)求的取值范圍.18.(12分)為提供市民的健身素質,某市把四個籃球館全部轉為免費民用(1)在一次全民健身活動中,四個籃球館的使用場數(shù)如圖,用分層抽樣的方法從四場館的使用場數(shù)中依次抽取共25場,在中隨機取兩數(shù),求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學期望;(2)設四個籃球館一個月內各館使用次數(shù)之和為,其相應維修費用為元,根據(jù)統(tǒng)計,得到如下表的數(shù)據(jù):x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程;②叫做籃球館月惠值,根據(jù)①的結論,試估計這四個籃球館月惠值最大時的值參考數(shù)據(jù)和公式:,19.(12分)有最大值,且最大值大于.(1)求的取值范圍;(2)當時,有兩個零點,證明:.(參考數(shù)據(jù):)20.(12分)如圖,在直三棱柱中,分別是中點,且,.求證:平面;求點到平面的距離.21.(12分)甲、乙兩班各派三名同學參加知識競賽,每人回答一個問題,答對得10分,答錯得0分,假設甲班三名同學答對的概率都是,乙班三名同學答對的概率分別是,,,且這六名同學答題正確與否相互之間沒有影響.(1)記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示甲班總得分,求隨機變量的概率分布和數(shù)學期望.22.(10分)已知是拋物線:的焦點,點在上,到軸的距離比小1.(1)求的方程;(2)設直線與交于另一點,為的中點,點在軸上,.若,求直線的斜率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由大邊對大角定理結合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中,角、所對的邊分別是、,由大邊對大角定理知“”“”,“”“”.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:D.【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷,考查三角形的性質等基礎知識,考查邏輯推理能力,是基礎題.2、C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C3、D【解析】
根據(jù)分步計數(shù)原理,由古典概型概率公式可得第一次檢測出類產品的概率,不放回情況下第二次檢測出類產品的概率,即可得解.【詳解】類產品共兩件,類產品共三件,則第一次檢測出類產品的概率為;不放回情況下,剩余4件產品,則第二次檢測出類產品的概率為;故第一次檢測出類產品,第二次檢測出類產品的概率為;故選:D.【點睛】本題考查了分步乘法計數(shù)原理的應用,古典概型概率計算公式的應用,屬于基礎題.4、B【解析】
將人臉識別方向的人數(shù)分成:有人、有人兩種情況進行分類討論,結合捆綁計算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當人臉識別方向有2人時,有種,當人臉識別方向有1人時,有種,∴共有360種.故選:B【點睛】本小題主要考查簡單排列組合問題,考查分類討論的數(shù)學思想方法,屬于基礎題.5、B【解析】
推導出基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),由此能求出6和28恰好在同一組的概率.【詳解】解:將五個“完全數(shù)”6,28,496,8128,33550336,隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),∴6和28恰好在同一組的概率.故選:B.【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.6、C【解析】
利用的前項和求出數(shù)列的通項公式,可計算出,然后利用裂項法可求出的值.【詳解】.當時,;當時,由,可得,兩式相減,可得,故,因為也適合上式,所以.依題意,,故.故選:C.【點睛】本題考查利用求,同時也考查了裂項求和法,考查計算能力,屬于中等題.7、B【解析】
根據(jù),可排除,然后采用導數(shù),判斷原函數(shù)的單調性,可得結果.【詳解】由題可知:,所以當時,,又,令,則令,則所以函數(shù)在單調遞減在單調遞增,故選:B【點睛】本題考查函數(shù)的圖像,可從以下指標進行觀察:(1)定義域;(2)奇偶性;(3)特殊值;(4)單調性;(5)值域,屬基礎題.8、C【解析】
利用復數(shù)的除法運算法則進行化簡,再由復數(shù)模的定義求解即可.【詳解】因為,所以,由復數(shù)模的定義知,.故選:C【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算法則和復數(shù)的模;考查運算求解能力;屬于基礎題.9、D【解析】
說明函數(shù)是周期函數(shù),由周期性把自變量的值變小,再結合奇偶性計算函數(shù)值.【詳解】由知函數(shù)的周期為4,又是奇函數(shù),,又,∴,∴.故選:D.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎.10、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調性得到可行域,畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù),則,且,畫出可行域和目標函數(shù),,即,表示直線與軸截距的相反數(shù),根據(jù)平移得到:當直線過點,即時,有最小值為.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調性和奇偶性,線性規(guī)劃問題,意在考查學生的綜合應用能力,畫出圖像是解題的關鍵.11、D【解析】
設直線:,,,由原點在以為直徑的圓的外部,可得,聯(lián)立直線與橢圓方程,結合韋達定理,即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件,故可設直線:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直線的斜率的取值范圍為.故選:D.【點睛】本題解題關鍵是掌握橢圓的基礎知識和圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達定理建立起目標的關系式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.12、A【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義,結合線面垂直的性質進行判斷即可.【詳解】當m⊥平面α時,若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立,即充分性成立,若l⊥m,則l∥α或l?α,即必要性不成立,則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件,故選:A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結合線面垂直的性質和定義是解決本題的關鍵.難度不大,屬于基礎題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、156【解析】
先考慮每班安排的老師人數(shù),然后計算出對應的方案數(shù),再考慮劉老師和王老師在同一班級的方案數(shù),兩者作差即可得到不同安排的方案數(shù).【詳解】安排6名老師到4個班則每班老師人數(shù)為1,1,2,2,共有種,劉老師和王老師分配到一個班,共有種,所以種.故答案為:.【點睛】本題考查排列組合的綜合應用,難度一般.對于分組的問題,首先確定每組的數(shù)量,對于其中特殊元素,可通過“正難則反”的思想進行分析.14、【解析】
寫出二項展開式的通項,然后取的指數(shù)為求得的值,則項的系數(shù)可求得.【詳解】,由,可得.含項的系數(shù)為.故答案為:【點睛】本題考查了二項式定理展開式、需熟記二項式展開式的通項公式,屬于基礎題.15、【解析】
當時,函數(shù)單調遞增,當時,函數(shù)為常數(shù),故需滿足,且,解得答案.【詳解】,當時,函數(shù)單調遞增,當時,函數(shù)為常數(shù),需滿足,且,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調性解不等式,意在考查學生對于函數(shù)性質的靈活運用.16、【解析】試題分析:由題意得,因為拋物線,即,即焦點到準線的距離為.考點:拋物線的性質.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)設出的坐標,代入,結合在拋物線上,求得兩點的橫坐標,進而求得點的坐標.(2)設出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理,結合,求得的表達式,結合二次函數(shù)的性質求得的取值范圍.【詳解】(1)可知,設則,又,所以解得所以.(2)據(jù)題意,直線的斜率必不為所以設將直線方程代入橢圓的方程中,整理得,設則①②因為所以且將①式平方除以②式得所以又解得又,所以令,則所以【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查直線和橢圓的位置關系,考查向量數(shù)量積的坐標運算,考查向量模的坐標運算,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,考查運算求解能力,屬于難題.18、(1)見解析,12.5(2)①②20【解析】
(1)運用分層抽樣,結合總場次為100,可求得的值,再運用古典概型的概率計算公式可求解果;(2)①由公式可計算的值,進而可求與的回歸直線方程;②求出,再對函數(shù)求導,結合單調性,可估計這四個籃球館月惠值最大時的值.【詳解】解:(1)抽樣比為,所以分別是,6,7,8,5所以兩數(shù)之和所有可能取值是:10,12,13,15,,,所以分布列為期望為(2)因為所以,,;②,設,所以當遞增,當遞減所以約惠值最大值時的值為20【點睛】本題考查直方圖的實際應用,涉及求概率,平均數(shù)、擬合直線和導數(shù)等問題,關鍵是要讀懂題意,屬于中檔題.19、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域為,,分和兩種情況討論,分析函數(shù)的單調性,求出函數(shù)的最大值,即可得出關于實數(shù)的不等式,進而可求得實數(shù)的取值范圍;(2)利用導數(shù)分析出函數(shù)在上遞增,在上遞減,可得出,由,構造函數(shù),證明出,進而得出,再由函數(shù)在區(qū)間上的單調性可證得結論.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,且.當時,對任意的,,此時函數(shù)在上為增函數(shù),函數(shù)為最大值;當時,令,得.當時,,此時函數(shù)單調遞增;當時,,此時函數(shù)單調遞減.所以,函數(shù)在處取得極大值,亦即最大值,即,解得.綜上所述,實數(shù)的取值范圍是;(2)當時,,定義域為,,當時,;當時,.所以,函數(shù)的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個零點、且,,,構造函數(shù),其中,,令,,當時,,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,則,則.所以,函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,,,即,即,,且,而函數(shù)在上為減函數(shù),所以,,因此,.【點睛】本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù),同時也考查了利用導數(shù)證明函數(shù)不等式,利用所證不等式的結構構造新函數(shù)是解答的關鍵,考查推理能力與計算能力,屬于難題.20、(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)利用線面垂直的判定定理和性質定理即可證明;(2)取中點為,則,證得平面,利用等體積法求解即可.【詳解】(1)因為,,,是的中點,,為直三棱柱,所以平面,因為為中點,所以平面,,又,平面(2),又分別是中點,.由(1)知,,又平面,取中點為,連接如圖,則,平面,設點到平面的距離為,由,得,即,解得,點到平面的距離為.【點睛】本
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