管理統(tǒng)計(jì)學(xué)課件-第15章

演講者：XXX第十五章因子分析管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院1.因子分析的基本概念2.因子分析的基本步驟3.SPSS因子分析的操作步驟目錄北京理工大學(xué)Beijinginstituteoftechnology管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics因子分析的基本概念1因子變量的特點(diǎn)：1.因子變量的數(shù)量遠(yuǎn)少于原有變量，減少了分析計(jì)算的工作量；2.因子變量是對(duì)原始變量的重新組構(gòu)，能夠反映原始變量的絕大部分信息；3.因子變量間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系，避免了原始變量的共線性問(wèn)題。

4.因子變量具有命名解釋性。2因子變量：代表各類信息的綜合指標(biāo)，也稱公因子。3因子分析的優(yōu)點(diǎn)：

能以較少的因子變量和最小的信息損失來(lái)解釋變量之間的結(jié)構(gòu)。4因子分析：利用各變量間存在一定的相關(guān)關(guān)系，用較少的綜合指標(biāo)分別綜合存在于各變量中的相關(guān)關(guān)系，而綜合指標(biāo)之間彼此不相關(guān)。北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院因子分析的基本概念12將關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜的原始變量綜合為少數(shù)幾個(gè)因子(不可觀測(cè)，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量)，以再現(xiàn)因子與原始變量之間的內(nèi)在聯(lián)系。因子分析的主要應(yīng)用：尋求基本結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)化觀測(cè)系統(tǒng)用于分類對(duì)p個(gè)變量或n個(gè)樣品進(jìn)行分類。北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院因子分析的基本概念12因子分析的分類：

根據(jù)研究對(duì)象，可分為R型因子分析和Q型因子分析。

兩者的處理方法相同，只是出發(fā)點(diǎn)不同。R型因子分析：研究變量之間的相關(guān)關(guān)系。通過(guò)研究變量相關(guān)陣或協(xié)差陣的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，找出控制所有變量的幾個(gè)公共因子，用以對(duì)變量或樣品進(jìn)行分類。Q型因子分析：研究樣品之間的相關(guān)關(guān)系，通過(guò)研究樣品相似矩陣的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，找出控制所有樣品的幾個(gè)主因子。北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院例題：

為了解青年對(duì)婚姻家庭的態(tài)度，隨機(jī)訪問(wèn)100人，詢問(wèn)30個(gè)問(wèn)題，把這些問(wèn)題歸結(jié)于不可測(cè)的因子變量，即對(duì)外型的重視、對(duì)孩子的教育觀點(diǎn)、對(duì)家庭的重視、對(duì)金錢的重視等其它方面。因子分析的目的：

建立一個(gè)模型，用不可測(cè)的、所有原始變量共有的因子變量和每個(gè)原始變量所特有的特殊因子來(lái)描述可測(cè)的原始變量，進(jìn)而分析和解釋青年人對(duì)婚姻家庭的態(tài)度。北京理工大學(xué)Beijinginstituteoftechnology管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics因子分析的基本模型設(shè)是可觀測(cè)的向量，是不可觀測(cè)的公共因子向量，又與F相互獨(dú)立，（即F

的各分量方差為1，且互不相關(guān)）北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院北京理工大學(xué)Beijinginstituteoftechnology管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics因子分析的基本模型因子分析模型可構(gòu)造成：上式的矩陣形式為：其中矩陣

北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院矩陣是待估系數(shù)矩陣，稱為因子載荷矩陣，系數(shù)a11是變量X1在因子F1上的載荷。

為公共因子，一般對(duì)X每個(gè)分量Xi都有作用；為Xi的特殊因子，起殘差的作用，只對(duì)Xi起作用。因子分析模型：因子分析的基本模型123北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院四個(gè)關(guān)鍵性的假設(shè)：因子分析的基本模型特殊因子互不相干，且;特殊因子與公共因子不相干，即；

1234即向量F的協(xié)方差陣為m階單位陣；即向量ε

的協(xié)方差陣為p階對(duì)角陣；北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院因子分析的標(biāo)準(zhǔn)分析步驟：根據(jù)具體問(wèn)題，判斷原始變量是否適合作因子分析，并采用某些檢驗(yàn)方法來(lái)判斷數(shù)據(jù)是否符合分析要求。選擇提取公因子的方法，并按一定標(biāo)準(zhǔn)確定提取的公因子數(shù)目?？疾旃蜃拥目山忉屝裕⒃诒匾獣r(shí)進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，以尋求最佳的解釋方式。計(jì)算出因子得分等中間指標(biāo)進(jìn)一步分析使用。1234因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院判斷原始變量是否適合進(jìn)行因子分析：1

因子分析有一個(gè)默認(rèn)的前提條件，就是原始各變量間必須有較強(qiáng)的相關(guān)性，否則根本無(wú)法從中綜合出能反映原始變量結(jié)構(gòu)的因子變量。

所以一般在進(jìn)行因子分析前，需先對(duì)原始變量進(jìn)行相關(guān)分析。計(jì)算變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。

如果相關(guān)系數(shù)矩陣中的大部分相關(guān)系數(shù)都小于0.3且未通過(guò)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，那么就不適合作因子分析。最簡(jiǎn)單的方法：除此之外，SPSS還提供了幾種幫助判斷變量是否適合作因子分析的方法：(1)巴特利特球度檢驗(yàn)；(2)反映象相關(guān)矩陣檢驗(yàn)；(3)KMO檢驗(yàn)。原假設(shè)H0：

相關(guān)陣是單位陣，即各變量各自獨(dú)立。檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)相關(guān)系數(shù)矩陣的行列式計(jì)算得到。判斷方法：如果該統(tǒng)計(jì)量值較大且對(duì)應(yīng)的相伴概率值小于顯著性水平，則拒絕H0，認(rèn)為相關(guān)系數(shù)矩陣不太可能是單位陣，適合作因子分析；如果該統(tǒng)計(jì)量值較小且對(duì)應(yīng)的相伴概率值大于顯著性水平，則不能拒絕H0，認(rèn)為相關(guān)系數(shù)矩陣可能是單位陣，不適合作因子分析。（1）巴特利特球度檢驗(yàn)（Bartletttestofsphericity）因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院判斷原始變量是否適合進(jìn)行因子分析1基本思想：將偏相關(guān)系數(shù)矩陣的每個(gè)元素取反，得到反映象相關(guān)陣。

如果變量之間確實(shí)存在較強(qiáng)的相互重疊傳遞影響，由于計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)時(shí)是在控制其它變量對(duì)兩變量影響的條件下計(jì)算出來(lái)的凈相關(guān)系數(shù)。判斷方法：如果變量中確實(shí)能夠提取出公共因子，那么偏相關(guān)系數(shù)必然很小，則反映象相關(guān)矩陣中的有些元素的絕對(duì)值比較大，則說(shuō)明這些變量可能不適合作因子分析。（2）反映象相關(guān)矩陣（Anti-imagecorrelationmatrix）檢驗(yàn)因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院判斷原始變量是否適合進(jìn)行因子分析1基本思想：KMO統(tǒng)計(jì)量是比較各變量間簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)的大小。判斷方法：

KMO統(tǒng)計(jì)量的取值在0和1之間，KMO統(tǒng)計(jì)量越接近1，則越適合作因子分析，KMO統(tǒng)計(jì)量越小，則越不適合作因子分析。

一般認(rèn)為，KMO值大于0.9就非常適合，0.7以上效果一般；0.6則不太適合，0.5以下不適合。（3）KMO（Kaiser-Meyer-Olkin）檢驗(yàn)因子分析的基本步驟判斷原始變量是否適合進(jìn)行因子分析北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院12因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院提取公因子和確定公因子數(shù)目常用提取公因子的方法：主成分分析法，最大似然法，α因子提取法等。在此僅簡(jiǎn)單解釋應(yīng)用最廣泛的主成分分析法。主成份分析法的目的：從原始的多個(gè)變量取若干線性組合，使得能盡可能多地保留原始變量中的信息。2因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院提取公因子的方法（主成分分析法）主成份分析法的手段：通過(guò)坐標(biāo)變換手段，將原始變量轉(zhuǎn)換到新變量是一個(gè)正交變換（坐標(biāo)變換）。設(shè)有是一個(gè)p維隨機(jī)變量，記考慮它的線性變換:該方程組要求：2因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院其中，依照以下兩個(gè)原則來(lái)確定：（1）與互不相關(guān)；（2）是的一切線性組合中方差最大的；

是與不相關(guān)的的一切線性組合中方差最大的；

同理，是與不相關(guān)的的一切線性組合中方差最大的。在實(shí)際應(yīng)用中，一般選取前面幾個(gè)方差最大的主成分。稱為原始數(shù)據(jù)的第一、第二、…、第p主成分。對(duì)原始變量的保留信息最多，因?yàn)槠湓诳偡讲钪兴嫉谋戎刈畲?，其余的主成分保留的原始信息相?yīng)地遞減。提取公因子的方法（主成分分析法）因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院主成分?jǐn)?shù)學(xué)模型的系數(shù)求解步驟歸納如下：2（1）將原有變量數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理；（2）計(jì)算變量的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)矩陣；（3）求解協(xié)方差陣的特征根，并將特征值從大到小排序并重新編碼：（4）按預(yù)先規(guī)定所取的P個(gè)公因子的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率達(dá)到的百分比m％；定義為主成分的貢獻(xiàn)率，為主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率。提取公因子的方法（主成分分析法）因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院主成分?jǐn)?shù)學(xué)模型的系數(shù)求解步驟：2（5）確定所選定的前k個(gè)特征值，并求出相應(yīng)的單位特征向量。（6）寫出因子負(fù)荷陣。提取公因子的方法（主成分分析法）因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院2確定公因子數(shù)目的方法（1）根據(jù)特征根來(lái)確定特征根在某種程度上可看成是表示公因子影響力度大小的指標(biāo)，如果特征根小于1，說(shuō)明該公因子的解釋力度還不如直接引入一個(gè)原變量的平均解釋力度大。因此在SPSS中默認(rèn)用特征根大于1作為納入標(biāo)準(zhǔn)。（2）根據(jù)公因子的累積方差貢獻(xiàn)率來(lái)確定公因子的累積方差貢獻(xiàn)率就是主成分分析中的主成分的累積貢獻(xiàn)率。

一般來(lái)說(shuō)，提取公因子的方差累積貢獻(xiàn)率達(dá)到85%-90%以上就比較滿意了，可以此決定需要提取多少個(gè)公因子。大量實(shí)踐表明，根據(jù)方差累積貢獻(xiàn)率確定公因子數(shù)往往較多，而用特征根來(lái)確定又往往偏低，許多時(shí)候應(yīng)當(dāng)將兩者結(jié)合起來(lái)。重點(diǎn)在于提取出的公因子的可解釋性上。如果有實(shí)際意義，即使貢獻(xiàn)率較小，也可以考慮保留。而如果特征根大于1，但是找不到合理的解釋，則也可考慮將該公因子去除。因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院2確定公因子數(shù)目的方法提取公因子數(shù)量的原則:因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院公因子的命名解釋3某個(gè)原始變量xi同時(shí)與幾個(gè)公因子都有比較大的相關(guān)關(guān)系，即xi的信息要由若干個(gè)公因子共同解釋；同時(shí)，雖然一個(gè)公因子能夠解釋許多原始變量的信息，但它都只是解釋每一個(gè)原始變量的一部分信息，而不是任何一個(gè)變量的典型代表。

這樣在按照默認(rèn)的分解方式，各因子可能難以找到所代表的實(shí)際意義。實(shí)際分析中的常見(jiàn)問(wèn)題：因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院公因子的命名解釋3因此，可以利用這一特點(diǎn)對(duì)因子載荷矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)，使公因子載荷系數(shù)向更大（向1）或更?。ㄏ?）方向變化，使得對(duì)公因子的命名和解釋變得更加容易，但保持因子載荷矩陣A各行的元素的平方和即變量X的共同度不變。因子模型的一個(gè)特點(diǎn)：因子載荷陣不唯一。實(shí)現(xiàn)以上目的是通過(guò)因子軸的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行變換的。因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院公因子的命名解釋3設(shè)從公因子F旋轉(zhuǎn)到公因子G，則模型變?yōu)椋浩渲?，b11仍稱為因子載荷。比較旋轉(zhuǎn)前后的模型，可看出旋轉(zhuǎn)并不影響公因子的提取過(guò)程和結(jié)果，只會(huì)改變?cè)甲兞康男畔⒘吭诓煌蜃由系姆植迹锤淖円蜃虞d荷陣。因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院公因子的命名解釋3常用的旋轉(zhuǎn)方法分類：正交旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)。正交旋轉(zhuǎn)：在因子旋轉(zhuǎn)過(guò)程中如果因子軸仍相互正交。斜交旋轉(zhuǎn)：在因子旋轉(zhuǎn)過(guò)程中如果因子軸之間不是相互正交的。進(jìn)行正交變換可以保證變換后各因子仍正交，這是比較理想的情況。最常用的斜交旋轉(zhuǎn)：方差最大化正交旋轉(zhuǎn)（Varimax）旋轉(zhuǎn)原則：各因子仍保持直角正交，但使得因子間方差的差異達(dá)到最大，即使得在每個(gè)因子具有較高載荷的變量個(gè)數(shù)最小化。這種方法一般能簡(jiǎn)化對(duì)因子的解釋。因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院公因子的命名解釋3如果正交變換后對(duì)公因子仍然不易解釋，也可以進(jìn)行斜交旋轉(zhuǎn)，或許可以得到比較容易解釋的結(jié)果。最常用的斜交旋轉(zhuǎn)：傾斜旋轉(zhuǎn)（Promax）旋轉(zhuǎn)原則：在方差最大化正交旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行斜交旋轉(zhuǎn)，計(jì)算速度較快，旋轉(zhuǎn)后允許因子間存在相關(guān)（交角非直角）。因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院公因子的命名解釋3因子命名有一些原則：（1）因子分析的命名必須簡(jiǎn)明、用盡量少的詞（2～3個(gè)）去解釋因子。（2）必須要注重不同因子荷載高的變量之間的相似性（3）可以根據(jù)因子中包含什么樣的變量來(lái)給因子命名。對(duì)因子矩陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后，就必須給不同的因子進(jìn)行命名。因子分析的基本步驟北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院計(jì)算因子得分4在因子分析中，還可以將公因子表示為原始變量的線性組合，這樣就可以從原始變量的觀測(cè)值估計(jì)各個(gè)公因子的值，此值就是因子得分。稱為因子得分模型，每一個(gè)式子都是因子得分函數(shù)。由此可以得到以下模型:因子分析的SPSS實(shí)現(xiàn)北京理工大學(xué)Beijinginstituteoftechnology管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics1.選擇Analyze→DataReduction→Factor3.可選一變量作為樣本的篩選變量移入到SelectionVariable框中。選