例談貝葉斯統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用

PAGEPAGE9吉林師范大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）論文分類號：密級：無例談貝葉斯統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用學(xué)院、專業(yè)：數(shù)學(xué)學(xué)院**專業(yè)學(xué)生姓名：***年級班：20**級*班指導(dǎo)教師：***（**）20**年*月*日例談貝葉斯統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用摘要：在許多復(fù)雜情況下，貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法比經(jīng)典數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法能更直接地解決問題。隨著MCMC算法的提出，貝葉斯統(tǒng)計(jì)已在各領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。實(shí)踐證明，貝葉斯統(tǒng)計(jì)是對經(jīng)濟(jì)和經(jīng)濟(jì)管理問題進(jìn)行量的研究的有效工具，為經(jīng)濟(jì)預(yù)測和決策提供了新的手段，有助于提高管理水平和經(jīng)濟(jì)效益。本文將通過實(shí)例利用貝葉斯方法解決一些問題，分析研究營銷成功與信譽(yù)度的關(guān)系、怎樣進(jìn)行投資決策以及怎樣檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量等。關(guān)鍵詞：貝葉斯統(tǒng)計(jì)經(jīng)濟(jì)管理問題實(shí)例應(yīng)用ExamplesoftheapplicationofBayesFormulainstatisticsAbstract:Insomecertaincomplicatedcases,BayesFormulacanmakemoredirectresolvementthanclassicalmathematic-statisticalmethods.AssoonastheMCMCcountingmethodwasputforward,BayesFormulaisnowbeingwidelyusedinalmosteveryfield.Asalreadyprovedinpractice,BayesFormulaisaneffectivereaserchingtooltoapplyoneconomicandmanagingissues,itprovidesnewmethodstomakeeconomicforecastanddicision,aswellashelpstoimprovemanagingandeconomicbenefit.ThisessayisgoingtoproviedesomepracticalexamplesoftheutilizationofBayesFormula,analyzingtherelationshipbetweencreditworthinessandthemarketingsuccessmeanwhile,andwillalsoanalyzehowtomakeinvestmentdicisionandhowtoinspectthequalityofproducts.Keyword：BayesianStatistics，economicalmanagingissue，practicalexample，application引言統(tǒng)計(jì)學(xué)中有兩個(gè)主要學(xué)派：頻率學(xué)派（也稱經(jīng)典學(xué)派）和貝葉斯學(xué)派，他們之間有共同點(diǎn)，又有不同點(diǎn)?；诳傮w信息和樣本信息進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)推斷被稱為經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)，基于總體信息、樣本信息和先驗(yàn)信息進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)推斷被稱為貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)。貝葉斯學(xué)派重視已出現(xiàn)的樣本觀察值，而對尚未發(fā)生的樣本觀察值不予考慮，貝葉斯學(xué)派很重視先驗(yàn)信息的搜集、挖掘和加工、使它數(shù)量化，形成先驗(yàn)分布，參加到統(tǒng)計(jì)推斷中來，以提高統(tǒng)計(jì)推斷的質(zhì)量。也就是說貝葉斯方法的基本特征是處理任何統(tǒng)計(jì)分析問題時(shí)，在利用樣本所提供的信息的同時(shí)，也必須利用先驗(yàn)信息。一、貝葉斯統(tǒng)計(jì)的產(chǎn)生和發(fā)展貝葉斯統(tǒng)計(jì)起源于英國學(xué)者托馬斯·貝葉斯(ReverendThomasBayes，1702—1761)死后發(fā)表的一篇論文“論有關(guān)基于問題的求解”。在這次論文中他提出著名的貝葉斯公式和一種歸納推理方法。隨后（1812）拉普拉斯(Laplace，P.C.1749～1827)等人用貝葉斯提出的方法導(dǎo)出一些有意義的結(jié)果，首次將貝葉斯思想以貝葉斯定理的形式展示給世人。拉普拉斯不僅重新發(fā)現(xiàn)了貝葉斯定理，而且闡述得遠(yuǎn)比貝葉斯更為清晰。之后雖有一些研究和應(yīng)用，但由于其理論尚不完整，應(yīng)用中又出現(xiàn)一些問題，致使貝葉斯方法長期未被普遍接受。直到二次大戰(zhàn)后，瓦爾德（Wald,A.1902～1950）提出統(tǒng)計(jì)決策論后又引起很多人對貝葉斯研究方法的興趣。因?yàn)樵谶@個(gè)理論中貝葉斯解被認(rèn)為是一種最優(yōu)決策函數(shù)?，F(xiàn)代貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法的發(fā)展應(yīng)歸Jeffreys,H.(1939)、Wa1d(1950)、Savage，L.J.(1954)、Ravffa、andSchleifer(1961)、Lindly,D.V.(1972)、Definelti(1974)、Berger，J.O.(1985)的<統(tǒng)計(jì)決策及貝葉斯分析>(StatisticalDecisionTheoryandBayesianAnalysis)一書在1980年和1985年相繼兩版問世把貝葉斯統(tǒng)計(jì)作了較完整的敘述。在20世紀(jì)90年代，<數(shù)據(jù)分析中的貝葉斯和經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法>(BayesandEmpiricalBayesMethodsforDataAnalysis)、<實(shí)際應(yīng)用中的馬爾可夫鏈蒙特卡洛技術(shù)>(MarkovChainMonteCarloinPrac—tice)的相繼出版進(jìn)一步促進(jìn)了貝葉斯統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的傳播。另外在這段時(shí)期貝葉斯統(tǒng)計(jì)在工業(yè)、經(jīng)濟(jì)、管理等領(lǐng)域內(nèi)獲得一批無可非議的成功應(yīng)用（見Singpurwalla主編課題論文集，1993～1995）。如今貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)已日趨成熟，走進(jìn)了大學(xué)教室，貝葉斯學(xué)派的發(fā)展成為了一個(gè)有影響的學(xué)派，打破了百年來統(tǒng)計(jì)教學(xué)由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)一統(tǒng)天下的局面。這不能不說是貝葉斯統(tǒng)計(jì)發(fā)展中的一些重要標(biāo)志。二、貝葉斯原理１.基本概念eq\o\ac(○,1)先驗(yàn)分布：總體分布參數(shù)的一個(gè)概率分布。貝葉斯學(xué)派的最基本的觀點(diǎn)是：任一個(gè)未知量都可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，應(yīng)用一個(gè)概率分布去描述對的未知狀況。這個(gè)概率分布是在抽樣前就有的關(guān)于的先驗(yàn)信息的概率陳述。這個(gè)概率分布被稱為先驗(yàn)分布。有時(shí)還簡稱為先驗(yàn)（Ｐrior）。因?yàn)槿我晃粗慷加胁淮_定性。而在表述不確定性程度時(shí)，概率與概率分布是最好的語言。即使是一個(gè)幾乎不變的未知量，用一個(gè)概率分布去描述它的不確定性也是十分合理的。eq\o\ac(○,2)后驗(yàn)分布：根據(jù)樣本分布和未知參數(shù)的先驗(yàn)分布，用概率論中求條件概率分布的方法，求出的在樣本已知下，未知參數(shù)的條件分布。因?yàn)檫@個(gè)分布是在抽樣以后才得到的，故稱為后驗(yàn)分布。eq\o\ac(○,3)狀態(tài)集=｛｝，其中每個(gè)元素表示自然界（或社會(huì)）可能出現(xiàn)的一種狀態(tài)，所有可能狀態(tài)的全體組成狀態(tài)集。eq\o\ac(○,4)行動(dòng)集＝｛｝，其中每個(gè)元素表示人對自然界（或社會(huì)）可能采取的一個(gè)行動(dòng)，所有此種行動(dòng)的全部就是行動(dòng)集。eq\o\ac(○,5)損失函數(shù)在一個(gè)決策問題中假設(shè)狀態(tài)集為=｛｝，行動(dòng)集為＝｛｝，而定義在A上的二元函數(shù)L（，）稱為損失函數(shù)。假如它能表示在自然界（或社會(huì)）處于狀態(tài)，而人們采取行動(dòng)時(shí)對人們引起的（經(jīng)濟(jì)的）損失。它與狀態(tài)集和行動(dòng)集組成決策問題的三要素。2.貝葉斯公式eq\o\ac(○,1)貝葉斯公式密度函數(shù)形式的推導(dǎo)a.依賴于參數(shù)的密度函數(shù)在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中記為p(x|），它表示在隨機(jī)變量給定某個(gè)值時(shí)，總體指標(biāo)X的條件分布。b.根據(jù)參數(shù)的先驗(yàn)信息確定先驗(yàn)分布（）。c.從貝葉斯的觀點(diǎn)看，樣本x=(,…,)的產(chǎn)生要分兩步進(jìn)行。首先設(shè)想從先驗(yàn)分布（）產(chǎn)生一個(gè)樣，這一步是老天爺做的，人們是看不到的，故用“設(shè)想”二字。第二部是從總體分布p(x|)產(chǎn)生一個(gè)樣本，這個(gè)樣本是具體的，人們能看得到的，此樣本發(fā)生的概率是與如下聯(lián)合密度函數(shù)成正比。p(x|)=這個(gè)聯(lián)合密度函數(shù)是綜合了總體信息和樣本信息，常稱為似然函數(shù)，記為L（）。在有了樣本觀察值x=(,…,)后，總體和樣本中所含的信息都被包含在似然函數(shù)L（）之中。d.由于是設(shè)想出來的，它仍然是未知的，它是按先驗(yàn)分布（）而產(chǎn)生的，要把先驗(yàn)信息進(jìn)行綜合，不能只考慮，而應(yīng)對的一切可能加以考慮。故要用（）參與進(jìn)一步綜合。這樣一來樣本x和參數(shù)的聯(lián)合分布h(x,)=p(x|)（）把三種可用的信息都綜合進(jìn)去了。e.我們的任務(wù)是要對未知參數(shù)作出統(tǒng)計(jì)推斷。在沒有樣本信息時(shí)，人們只能根據(jù)先驗(yàn)分布對作出判斷。在有樣本觀察值x=(,…,)之后，我們應(yīng)該根據(jù)h(x,)對作出推斷。為此我們需要把h(x,)作如下分解：h(x,)=（|x）m(x)其中m(x)是x的邊緣密度函數(shù)。m(x)==它與無關(guān)，或者說m(x)中不含的任何信息。因此能用來對作出推斷的僅是條件分布（|x）。它的計(jì)算公式是（|x）==這就是貝葉斯公式的密度函數(shù)形式。這個(gè)在樣本x給定下，的條件分布被稱為的后驗(yàn)分布。它是集中了總體、樣本和先驗(yàn)等三種信息中有關(guān)的一切信息。而又排除一切與無關(guān)的信息之后所得到的結(jié)果。故基于后驗(yàn)分布（|x）對進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷是更為有效，也是最合理的。f.在是離散隨機(jī)變量是，先驗(yàn)分布可用先驗(yàn)分布列（），i=1,2,．．．,表示。這是后驗(yàn)分布也是離散形式（｜ｘ）＝．eq\o\ac(○,2)后驗(yàn)分布是三種信息的綜合一般說來，先驗(yàn)分布（）是反映人們在抽樣前對的認(rèn)識，后驗(yàn)分布（|x）是反映人們在抽樣后對的認(rèn)識。之前的差異是由于樣本x出現(xiàn)后人們對認(rèn)識的一種調(diào)整。所以后驗(yàn)分布（|x）可以看作是人們用總體信息和樣本信息（綜合稱為抽樣信息）對先驗(yàn)分布（）作調(diào)整的結(jié)果。三、舉例說明貝葉斯統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)管理方面的應(yīng)用例1假如你是一名公司的經(jīng)理，限公司為了提高某種產(chǎn)品的質(zhì)量考慮增加投資來改進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計(jì)需投資90萬元，但從投資效果看，下屬部門有兩種意見：：改進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備后，高質(zhì)量產(chǎn)品可占90%：改進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備后，高質(zhì)量產(chǎn)品可占70%經(jīng)理當(dāng)然希望發(fā)生，公司效益可得到很大提高，投資改進(jìn)設(shè)備也是合算的。但根據(jù)下屬二個(gè)部門過去建議被采納的情況，經(jīng)理認(rèn)為的可信程度只有40%，的可信程度是60%.即（）=0.4（）=0.6這兩個(gè)都是經(jīng)理的主觀概率。經(jīng)理不想僅用過去的經(jīng)驗(yàn)來決策此事，想慎重一些，通過小規(guī)模試驗(yàn)后觀其結(jié)果再定。為此做了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果（記為A）如下：Ａ：試制五個(gè)產(chǎn)品，全市高質(zhì)量產(chǎn)品.經(jīng)理對這次試驗(yàn)結(jié)果很高興，希望用此試驗(yàn)結(jié)果來修改他原先對和的看法，即要求后驗(yàn)概率（｜Ａ）與（｜Ａ）。者可用貝葉斯公式的離散形式來完成。如今已有先驗(yàn)概率（）與（）。還需要兩個(gè)條件概率Ｐ（A｜）與Ｐ（A|），這可用二項(xiàng)分布算得，Ｐ（A|）==0.590Ｐ（A|）==0.168由全概率公式可算得Ｐ（A）=Ｐ（A｜）（）+Ｐ（A|）（）=0.337。最后由公式可得，（|A）=Ｐ（A|）（）／Ｐ（A）＝0.236／0.337＝0.700（|A）＝Ｐ（A|）（）／Ｐ（A）＝0.101／0.337＝0.300這表明，經(jīng)理根據(jù)試驗(yàn)Ａ的信息調(diào)整自己的看法，把對與的可信程度由0.4和0.6調(diào)整到0.7和0.3。后者是綜合了經(jīng)理的主觀概率和試驗(yàn)結(jié)果而獲得的，要比主觀概率更有吸引力，更貼近當(dāng)今的實(shí)際沒這就是貝葉斯公式的應(yīng)用。經(jīng)過試驗(yàn)A后，經(jīng)理對增加投資改進(jìn)質(zhì)量的興趣增大。但因投資額大，還想再做一次小規(guī)模試驗(yàn)，觀其結(jié)果再作決策。為此又做了一批試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果（記為Ｂ）如下：Ｂ：試制１０個(gè)產(chǎn)品，有９個(gè)是高質(zhì)量產(chǎn)品。經(jīng)理對此試驗(yàn)結(jié)果更為高興。希望用此試驗(yàn)結(jié)果對與再做一次調(diào)整。為此把上次后驗(yàn)概率看作這次的先驗(yàn)概率，即（）＝0.7（）＝0.3用二項(xiàng)分布還可算得Ｐ（Ｂ|）＝１０（）（０.１）＝0.387Ｐ（Ｂ|）＝１０（）（０.３）＝0.121由此可算得P(B)=0.307和后驗(yàn)概率（|B）=0.883，（|B）=0.117。經(jīng)理看到，經(jīng)過二次試驗(yàn)，（高質(zhì)量產(chǎn)品可占90%）的概率已經(jīng)上升到0.883，此時(shí)他便可以下定決心了，因?yàn)樗芤?8.3%的把握保證此項(xiàng)投資能取得較大經(jīng)濟(jì)效益。例2我們知道營銷的成功與信譽(yù)度有很大的關(guān)系，下面利用貝葉斯公式考察如果一家公司多次不講究信譽(yù)會(huì)有怎么樣的結(jié)果。例1設(shè)一家公司的可信度為0.8，不可信度為0.2，問該公司多次失信后客戶對其相信度變?yōu)槎嗌?？現(xiàn)在用貝葉斯公式來分析此問題中的可信度是如何下降的首先記事件A為“不可信”，記事件B為“可信”。不妨設(shè)客戶過去對該公司的印象為P(B)=0.8，P（）=0.2 （1）用貝葉斯公式來求P（B|A），亦即該公司失信一次后，客戶對其可信程度改變。在貝葉斯公式中我們要用到概率P(A|B)和P(A|)，這兩個(gè)概率的含義是：前者是“誠信”(B)的公司“不可信”(A)的可能性，后者為“不誠信”的公司“不可信”的可能性。設(shè)P(A|B)=0.1，P(A|)=0.5。第一次客戶相信該公司，發(fā)現(xiàn)該公司不可信?？蛻舾鶕?jù)這個(gè)信息對這家公司的可信程度改變?yōu)椋ㄓ秘惾~斯公式）P(B|A)===0.444這表明客戶上了一次當(dāng)后，對這家公司的可信程度由原來的0.8調(diào)整為0.444,也就是(1)式調(diào)整為P(B)=0.444，P（）=0.556(2)在此基礎(chǔ)上，我們對這家公司的可信程度再一次用貝葉斯公式來計(jì)算P（B|A），亦即該公司第二次不誠信后，客戶對他的可信程度改變?yōu)镻（B|A）==0.138這表明客戶經(jīng)過再次上當(dāng)，對這家公司的可信程度已經(jīng)從0.8下降到了0.138，如此低的可信度，該公司如何奢望對客戶進(jìn)行第三次營銷的時(shí)候會(huì)成功，顧客怎么會(huì)相信怎么會(huì)愿意購買呢？進(jìn)而必然嚴(yán)重影響公司營銷的業(yè)績。如果你是這家公司的營銷部經(jīng)理，經(jīng)過這一番計(jì)算，你就會(huì)知道誠信對一個(gè)公司來說有多么重要，不誠信的代價(jià)是多么的慘重。要想公司能夠長期經(jīng)營下去，并且盈利的話，那么講信用恐怕是再好不過的方法了。例3作為廠商其生產(chǎn)的目的就是通過銷售生產(chǎn)的產(chǎn)品獲取利潤，那么產(chǎn)品的不合格頻率是廠商比較關(guān)心的問題，因?yàn)楫a(chǎn)品要是不合格的話沒辦法銷售，萬一不小心銷售了不合格產(chǎn)品，對產(chǎn)品的聲譽(yù)影響很大，損失是不可估量的。再者如果產(chǎn)品的不合格率太高的話，那么就很有可能導(dǎo)致虧損?，F(xiàn)在王先生是一家彩電生產(chǎn)廠的廠長，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品不合格率為0.1%，但是沒有適當(dāng)?shù)膬x器進(jìn)行檢驗(yàn)，有人聲稱發(fā)明了一種儀器可以用來檢驗(yàn)，誤判的概率僅為5%，即把合格品判為不合格品的概率為0.05，把不合格品判為合格品的概率也是0.05。王廠長能否采用改人發(fā)明的儀器呢？聽了該人的敘述后王先生做了如下的計(jì)算：設(shè)事件A表示“隨機(jī)地取一件產(chǎn)品為不合格品”，事件B表示“隨機(jī)地取一件產(chǎn)品被儀器判為不合格品”，則有P（A）=0.001，P（）=0.999P（|A）=0.05，P（B|）=0.05按貝葉斯公式，被儀器判為不合格的產(chǎn)品實(shí)際上也確實(shí)是不合格品的概率為P（A|B）===0.02王廠長考慮到產(chǎn)品的成本較高，決定不購買這臺新發(fā)明的儀器，因?yàn)楸粌x器判為不合格品的產(chǎn)品中實(shí)際上有98%的產(chǎn)品是合格的。例4對產(chǎn)品的檢驗(yàn)是一項(xiàng)耗費(fèi)人力，物力，財(cái)力的事情。如果對一些信譽(yù)很好的產(chǎn)品實(shí)行免檢勢必會(huì)節(jié)約大量的資源，防止不必要的浪費(fèi)。那么“免檢產(chǎn)品”是如何確定的呢？某工廠的產(chǎn)品每天要抽檢幾件，獲得不合格品率的估計(jì)。經(jīng)過一段時(shí)間后，就可根據(jù)歷史資料（先驗(yàn)信息的一種）對過去產(chǎn)品的不合格頻率構(gòu)造一個(gè)分布P（=）=，i=0,1,2,…,n這種對先驗(yàn)信息進(jìn)行加工獲得的分布就是先驗(yàn)分布。有了這種先驗(yàn)分布就可得到對該產(chǎn)過去產(chǎn)品的不合格品率的一個(gè)全面的看法。如果這個(gè)分布的概率絕大部分集中在=0附近，那么該產(chǎn)品可以認(rèn)為是“信得過產(chǎn)品”。假如以后的多次檢驗(yàn)結(jié)果與歷史資料提供的先驗(yàn)分布是一致的，那就可以對它作出“免檢產(chǎn)品”的決定，或者每月抽檢一次就足夠了，這就省去了大量的人力物力，例5某制藥廠試制成一種新的止痛劑。為了決定此新藥是否投放市場，投放多少，價(jià)格如何等問題，需要了解此種新的止痛劑市場占有率是多少。這是一個(gè)經(jīng)營決策問題。在這個(gè)問題中，新的止痛劑在市場上的狀態(tài)就是上述占有率，所以狀態(tài)集就是={|01}=[0,1]而決策者所要采取的行動(dòng)只不過是選一個(gè)a作為的估計(jì)值。這個(gè)值當(dāng)然也在[0,1]之間，所以行動(dòng)集=[0,1]。順便指出，這里的狀態(tài)可用一個(gè)實(shí)數(shù)表示，故又稱為參數(shù)。如今要估計(jì)，那就是參數(shù)估計(jì)問題。在參數(shù)估計(jì)問題中常有=。在這個(gè)問題中，要估計(jì)收益較為困難，我們改為直接估算損失。大家知道，偏低估計(jì)或偏高估計(jì)都會(huì)給工廠帶來損失。如果偏低估計(jì)將會(huì)導(dǎo)致供不應(yīng)求，能賺到的錢沒有賺到，造成工廠損失。因?yàn)楣┎粦?yīng)求只損失應(yīng)得到的利潤；而供過于求將會(huì)造成庫存增加，資金積壓，原材料和設(shè)備浪費(fèi)，影響在生產(chǎn)。廠長認(rèn)為供過于求給工廠帶來損失要比供不應(yīng)求的損失高一倍，即偏高估計(jì)要比偏低估計(jì)給工廠帶來的損失高一倍。假如損失與|-|成正比，那么廠長決定采取如下?lián)p失函數(shù)：L（，a）=有了這個(gè)損失函數(shù)，加上狀態(tài)集=[0,1]和行動(dòng)集A=[0,1]