工程力學(xué)5第五章彎曲應(yīng)力

第五章彎曲應(yīng)力主講:符春生yzxFSMFS～τM=Mz～σ§5－1概述純彎曲梁分析截面上正應(yīng)力彎矩M作用產(chǎn)生什么應(yīng)力?FS純彎曲：如圖CD段。剪切(橫力）彎曲：如圖AC段和BD段。MABCDF

aaF§5－2梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁：彎矩不為零，剪力為零（1）橫線：變形后仍為直線，但轉(zhuǎn)過一角度，并與縱線仍正交。MM一.純彎曲梁的正應(yīng)力中性層與橫截面的交線——中性軸z；z（2）縱線：彎成弧線，上部縮短，下部伸長,中間有一層縱線既不伸長，也不縮短——中性層。y對稱軸1﹒幾何關(guān)系yz橫線縱線（1）平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，與彎曲后的縱線正交；基本假設(shè)

（2）單向受力假設(shè)：各縱向線（纖維）之間無擠壓。每一縱向線處于單向受力狀態(tài)。1122MM（對稱軸）z(中性軸）yyρ——變形后中性層的曲率半徑。y——任一縱線到中性層的距離。dθ——1-1和2-2截面的相對轉(zhuǎn)角。y中性層1122ρdθa'b'o'1

o'2ba1212o1o2dx任一條纖維的線應(yīng)變?yōu)椋簓中性層1122ρdθa'b'o'1

o'22.物理關(guān)系:yz⊕?3.靜力學(xué)關(guān)系:zySz=0——中性軸z通過橫截面的形心。Iyz=0——梁發(fā)生平面彎曲的條件。dAzyEIz——彎曲剛度說明：(2)符號：①由M與y的符號確定σ的符號；⑴線彈性;彎曲截面系數(shù)WZ=ymaxIzzy②由彎曲變形確定。(3)①z軸為對稱時：②

z軸為非對稱時:二.純彎曲正應(yīng)力公式的推廣ytzyycc例1：一簡支梁及其所受荷載如圖所示。若分別采用截面面積相同的矩形截面，圓形截面和工字形截面,試求以三種截面的最大拉應(yīng)力。設(shè)矩形截面高為140mm,寬為100mm,面積為14000mm2。

F＝20kNACB3ｍ3ｍ解：該梁C截面的彎矩最大，

Mmax=10×3=30kN.m⑴矩形截面:F＝20kNACB3ｍ3ｍ⑵圓形截面⑶工字形截面。選用50C號工字鋼,其截面面積為139000mm2。

在承受相同荷載和截面面積相同時，工字梁所產(chǎn)生的最大拉應(yīng)力最小。反過來說，如果使三種截面所產(chǎn)生的最大拉應(yīng)力相同時，工字梁所承受的荷載最大。因此，工字形截面最為合理，矩形截面次之，圓形截面最差。結(jié)論如下：§5-3

矩形截面梁的切應(yīng)力1、兩點假設(shè):

（1）切應(yīng)力與橫截面的側(cè)邊平行（2）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布bhF2F1q(x)zyτhbFSτx=0τyτz=0zyτhbFSτ'由切應(yīng)力互等定理bhFSFSmnnmMM+dMdxF2F1q(x)mndxmn2、彎曲切應(yīng)力公式y(tǒng)——所求點距中性軸的距離。FSFSmnnmMM+dMdxyabmnσ'σ''abmndxmnyzabFN1FN2dFy'dAmnσ'σ''abmnFS——橫截面上剪力。Iz——整個橫截面對中性軸z的慣性矩。b——橫截面寬度。S

z*

——橫截面上距中性軸y處橫線一側(cè)截面對中性軸的面積矩。dxmnyzabFN1FN2dFy'dA3、切應(yīng)力沿截面高度的分布ττmaxhzbyy=±h/2，τ＝0＋－比較F剪切彎曲時，平面假設(shè)不再成立mmm'm'γ1、腹板FS——橫截面上剪力。矩形截面的兩個假定同樣適用。y

zbhdδh1翼緣腹板一、工字形截面梁y§5-4、其他形狀截面梁的切應(yīng)力zdxh1bδδyhFN1FN2dF工字形截面梁腹板上的切應(yīng)力:FS——橫截面上剪力。Iz——整個工字形截面對中性軸z的慣性矩。d——腹板寬度。Sz*

——距z軸y處橫線一側(cè)陰影部分截面對z的面積矩。τmaxy

zbhdδh1yτ1τ1（c）其中——面積δ×u對中性軸的面積矩。2、翼緣F’N2'F’N1'Bdxu（b）dFBAzdxubδδuh(a)τ1τ'1切應(yīng)力流：切應(yīng)力沿截面像水流一樣流動的現(xiàn)象。工字形截面梁切應(yīng)力的分析方法同樣適用于T字形，槽形，箱形等截面梁。τ1τ1（c）二、圓形截面梁zτmaxydA三、薄壁圓環(huán)截面梁zR0δ例2：一T形截面外伸梁及其所受荷載如圖所示。試求最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力，并畫出最大剪力截面上的切應(yīng)力分布圖。q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60解:(1)確定橫截面形心的位置.(2)計算橫截面的慣性矩Iz.Iz=186.6×106mm4yc=180q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c6022.5M(kN.m)1.5m40(3)畫剪力、彎矩圖.q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60280zy60220c60yc=180FS

(kN)3050401.5m(4)計算最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力由于該梁的截面不對稱于中性軸，因而橫面上下邊緣的距離不相等，故需分別計算B、D截面的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，然后比較。

①在B截面上的彎矩為負(fù)，故該截面上邊緣各點處產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，下邊緣各點處產(chǎn)生最大壓應(yīng)力。σtmax=40×103×100×10-3/186.6×10-6=21.4MPa,σcmax=40×103×180×10-3/186.6×10-6=38.6MPa22.5M(kN.m)1.5m40q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180②D截面上的彎矩為正，故該截面下邊緣各點處產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，上邊緣各點處產(chǎn)生最大壓應(yīng)力：σtmax=22.5×103×180×10-3/186.6×10-6=21.7MPa,σcmax=22.5×103×100×10-3/186.6×10-6=12.1MPa22.5M(kNm)1.5m40q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180∴σtmax=21.7MPa，

發(fā)生在D截面的下邊緣各點處。σcmax=38.6MPa，

發(fā)生在B截面的下邊緣各點處。4.34MPa4.13MPa280zy60220c60FSmax=50kN截面上的切應(yīng)力分布:yc=180τ1max例3：一矩形截面外伸梁，如圖所示?，F(xiàn)自梁中1.2.3.4點處分別取四個單元體，試畫出單元體上的應(yīng)力，并寫出應(yīng)力的表達(dá)式。qABl123l/4h/4l/44zbhττmax解：(1)求支座反力:(2)畫FS

圖和M

圖FSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/4412zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/4434zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/445－4、梁的強(qiáng)度計算

危險點：

最大彎矩截面的上、下底面各點為正應(yīng)力危險點。最大剪力截面的中性軸各點為切應(yīng)力危險點。危險截面：最大彎矩截面最大剪力截面一、梁的強(qiáng)度計算1、等截面梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：注：①彎曲容許正應(yīng)力[σ]彎略大于軸向拉壓容許正應(yīng)力[σ]軸，一般可取[σ]彎=[σ]軸。②當(dāng)[σt]

≠[σc]時，需分別計算σtmax和σcmax，使

σtmax≤[σt]

，σcmax≤[σc]。2、等截面梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為:

校核強(qiáng)度；

設(shè)計截面；求容許荷載。

強(qiáng)度計算：注：①一般情況下，只需按正應(yīng)力強(qiáng)度條件來進(jìn)行強(qiáng)度計算，不必對切應(yīng)力作校核。②特殊情況下，需校核切應(yīng)力強(qiáng)度。a.FS很大而M較小。焊接或鉚接的組合薄壁截面梁。如工字形截面，當(dāng)復(fù)板高度很高，厚度很小時，腹板上產(chǎn)生相當(dāng)大的切應(yīng)力。

c.木梁的順紋向抗剪強(qiáng)度較低，應(yīng)校核τ順。d、題中給定[τ]。例4.如圖一簡支木梁。已知：[σt]=[σc]=10MPa，[τ]=2MPa。梁截面為矩形，b=80mm，求高度。2m10kN/mhbz解：由正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面高度，再校核切應(yīng)力強(qiáng)度。1°按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計算h。而可取h=200mm。2°切應(yīng)力強(qiáng)度校核：

故由正應(yīng)力強(qiáng)度條件所確定的h=200mm能滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。例5.一受載外伸梁及截面形狀如圖。已知:l=2m,Iz=5493×104mm4;若材料為鑄鐵:[σt]=30MPa，[σc]=90MPa,[τ]=24MPa。試求q的容許值,并校核切應(yīng)力強(qiáng)度。解：1°畫剪力、彎矩圖，確定危險截面、危險點。lqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-2°求[q]。C截面：q≤12.3kN/mlqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-B截面：q≤9.6kN/m∴該梁所受q的容許值為：[q]=9.6kN/mlqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-3、校核切應(yīng)力lqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-二、提高承載能力的措施1、選擇合理截面形式即Wz/A越大越合理，此時Iz/A也較大，既可提高強(qiáng)度，又可提高剛度。彎矩M與Wz成正比，Wz越大越合理合理截面：是在不增加材料消耗的前提下，盡可能使得Wz越大越合理。如設(shè)截面高度為h，可見，工字型截面比矩形截面合理，而矩形截面又比圓截面合理。選擇截面的形式時，還要考慮材料的性能。塑性：中性軸對稱；脆性：中性軸非對稱,；矩形截面：工字形截面：對圓形截面：2、采用強(qiáng)度較高的材料一般高強(qiáng)度材料的[σ]和[τ]較高。3、采用變截面梁采用變截面梁，可節(jié)省材料及減少自重。FAB（a）l/2l/2x最合理的變截面梁是等強(qiáng)度梁.σmax=M(x)/W(x)=[σ]M(x)=Fx/2W(x)=bh2(x)/6當(dāng)高度b=常數(shù)時:由切應(yīng)力強(qiáng)度條件:Fhmin---魚腹梁FhminF/2F/2FyFF4、改善梁的受力狀況可通過調(diào)整支座和改變結(jié)構(gòu)來完成。lqq0.6l0.2l0.2lql2/40ql2/50ql2/50l/2Fl/2l/4Fl/4l/4l/4Fl/4Fl/8ql2/8ABqABq5、增加梁的支座——超靜定梁可減少M(fèi)max及位移?！?－5非對稱截面梁的平面彎曲﹑對稱彎曲：梁具有縱向?qū)ΨQ平面，外力(力偶）作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。開口簿壁截面的彎曲中心非對稱彎曲：梁不具有縱向?qū)ΨQ平面或雖具有縱向?qū)ΨQ平面，但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。一、平面彎曲時外力作用的方向設(shè)z為中性軸：又由當(dāng)中性軸z通過截面形心時，F(xiàn)N=0。CyzdAzyO可見：非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲時，外力作用的平面必須平行于形心主慣性平面。此時，梁的軸線在形心主慣性平面內(nèi)彎成一條平面曲線。橫截面上的另一根形心主軸即為中性軸。y、z軸為形心主軸（梁受到平行于y軸的外力作用）=M=0CyzdAzyO對于無縱向?qū)ΨQ面的非對稱彎曲梁，如果是純彎曲，只要外力偶作用在與形心主慣性平面平行的任意平面內(nèi)，則梁只發(fā)生平面彎曲，而不發(fā)生扭轉(zhuǎn)；如果是橫力（剪切）彎曲，即使外力作用在形心主慣性平面內(nèi)，梁除發(fā)生彎曲以外，還會發(fā)生扭轉(zhuǎn)。CxyzFxzyCFAe二.開口薄壁截面的彎曲中心只有當(dāng)外力作用在彎心平面內(nèi)，梁才只發(fā)生平面彎曲。彎心平面：通過彎曲中心與形心主慣性平面平行的平面。彎曲中心：當(dāng)梁在兩個正