層次分析法課件

層次分析法AnalyticHierarchyProcessAHP什么是層次分析法？日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標準選擇某一種方案。例1某人準備選購一臺電冰箱他對市場上的6種不同類型的電冰箱進行了解后，選取一些中間指標進行考察。例如電冰箱的容量、制冷級別、價格、型式、耗電量、外界信譽、售后服務等。然后再考慮各種型號冰箱在上述各中間標準下的優(yōu)劣排序。借助這種排序，最終作出選購決策。在決策時，由于6種電冰箱對于每個中間標準的優(yōu)劣排序一般是不一致的，因此，決策者首先要對這7個標準的重要度作一個估計，給出一種排序，然后把6種冰箱分別對每一個標準的排序權重找出來，最后把這些信息數(shù)據(jù)綜合，得到針對總目標即購買電冰箱的排序權重。有了這個權重向量，決策就很容易了。例2旅游假期旅游，是去風光秀麗的蘇州，還是去涼爽宜人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林？通常會依據(jù)景色、費用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。例3擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素擇業(yè)。例4科研課題的選擇由于經費等因素，有時不能同時開展幾個課題，一般依據(jù)課題的可行性、應用價值、理論價值、被培養(yǎng)人才等因素進行選題。

面臨各種各樣的方案，要進行比較、判斷、評價、最后作出決策。這個過程主觀因素占有相當?shù)谋戎?，各種因素的影響很難量化，從而給用數(shù)學方法解決問題帶來不便。T.L.Saaty等人在20世紀七十年代提出了一種能有效處理這類問題的實用方法。層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)是一種定性和定量相結合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。具有系統(tǒng)性、實用性與簡潔性的特點。一、層次分析法的基本思路：先分解后綜合

整理綜合人們的主觀判斷，使定性分析與定量分析有機結合，實現(xiàn)定量化決策。首先將所要分析的問題層次化，根據(jù)問題的性質和要達到的總目標，將問題分解成不同的組成因素，按照因素間的相互關系及隸屬關系將因素按不同層次聚合，形成一個多層分析結構模型，最終歸為最底層相對于最高層相對重要程度的權值或相對優(yōu)劣次序的問題。層次分析法的步驟：1、建立層次分析模型2、構造判斷矩陣3、層次單排序及其一致性檢驗4、層次總排序及其一致性檢驗二層次分析法的基本步驟買鋼筆質量顏色價格外形實用可供選擇的筆1建立層次結構模型將決策問題分為三層，最上面為目標層，最下面為方案層，中間是準則層或指標層；例1選擇鋼筆的層次結構

準則層方案層目標層例2選擇旅游地的層次結構

準則層A

方案層B目標層Z遞階層次結構的一般形式：遞階層次結構的特點：1、從上到下的順序存在著支配關系；除第一層外，每一個元素至少受上一層一個元素的支配；除最后一層外，每一個元素至少自配下一層一個元素；上下層元素的聯(lián)系比同一層元素的聯(lián)系要強，故認為同一層元素之間不存在支配關系。2、整個層次中的層數(shù)與問題復雜程度和分析的詳盡程度有關，可不受限制。3、最高層只有一個元素；4、每個元素所支配的元素一般不超過9個，元素過多時可進一步分組（層）。5、完全相關結構：上層的每一個要素與下層的每一個要素都存在聯(lián)系不完全相關結構：上層的每一個元素并不是與下層的每一個要素都存在聯(lián)系。6、擴展形式：內部依存關系的遞階層次結構、反饋層次結構指標設置原則1、科學性原則2、系統(tǒng)性原則3、獨立性原則4、層次性原則5、實用性原則6、簡易性原則

人們在決策的時候憑自己的經驗和知識進行判斷，當因素較多時給出的結果往往是不全面和不準確的，如果只是定性的結果，則常常不被別人接受。Saaty等人的做法，一是不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對比；二是對比時采用相對尺度，以盡可能地減少性質不同的諸因素相互比較的困難，提高準確度。2構造成對比較矩陣（判斷矩陣）尺度第個因素與第個因素的影響相同第個因素比第個因素的影響稍強第個因素比第個因素的影響強第個因素比第個因素的影響明顯強第個因素比第個因素的影響絕對地強含義比較尺度：（1~9尺度的含義）2,4,6,8表示第個因素相對于第個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義，根據(jù)。設某層有個因素，要比較它們對上一層某一準則（或目標）的影響程度，確定在該層中相對于某一準則所占的比重。（即把個因素對上層某一目標的影響程度排序）用表示第個因素相對于第個因素的比較結果，則則稱為成對比較矩陣。上述比較是兩兩因素之間進行的比較，比較時取1~9尺度。由上述定義知，成對比較矩陣則稱為正互反陣。比如，在旅游問題中，某人給出第二層C的各因素對目標層Z的影響兩兩比較結果如下：滿足以下性質:

11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。由上表，可得成對比較矩陣

表示景色與費用之比為1：2，表示景色居住條件之比為4：1，…，可以看出，此人在選擇旅游地時，費用因素最重要，景色次之，居住條件再次。旅游問題的成對比較矩陣共有6個（一個5階，5個3階）。問題：兩兩進行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對上層某因素的影響程度的排序結果呢？構造成對比較矩陣3、層次單排序和一致性檢驗如果一個正互反矩陣A滿足則稱A為一致性判斷矩陣。但上例子中，如果該判斷矩陣是一致的那么應該等于8，但是由判斷矩陣可以看出但是，n個因素要作n(n-1)/2次成對比較，全部一致的要求是太苛刻了！因此，Saaty等人給出了在成對比較不一致的情況下計算各因素對因素z的權重的方法，并且確定了這種不一致的容許范圍，為了說明這一點，我們先看成對比較完全一致的情況。一致陣的性質5.A的任一列(行)都是對應于特征根n的特征向量。計算權向量的方法原理所以其權向量為權向量就是歸一化處理后的最大特征值所對應的特征向量計算權重的近似方法1和法步驟如下a)將A的每一列向量歸一化得b)對按行求和得c)歸一化d)計算2根法按行求積并開n次方（幾何平均），即e)計算，最大特征值的近似值。接下來便與和法相同3對數(shù)最小二乘法用擬合方法確定權向量使得

逼近aij，為此要求殘差平方和達到最小，即

由于連續(xù)的依賴于，則比大的越多，的不一致性越嚴重。用最大特征值對應的特征向量作為被比較因素對上層某因素影響程度的權向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用數(shù)值的大小來衡量的不一致程度。定義一致性指標

CI=0時，為一致陣；CI越大A的不一致程度越嚴重。注意到的個特征根之和恰好為，CI相當于除外其余的特征根的平均值。一致性檢驗：則可得一致性指標定義隨機一致性指標隨機構造500個成對比較矩陣隨機一致性指標RI的數(shù)值：一致性檢驗：利用一致性指標和一致性比率<0.1及隨機一致性指標的數(shù)值表，對進行檢驗的過程。

一般，當一致性比率的不一致程度在容許范圍之內，可用其歸一化特征向量作為權向量，否則要重新構造成對比較矩陣，對加以調整。時，認為例2，旅游問題成對比較矩陣的最大特征值表明通過了一致性驗證。故則該特征值對應的歸一化特征向量

對成對比較矩陣可以求層次總排序的權向量并進行一致性檢驗，結果如下：計算可知通過一致性檢驗。0.00520.001700.008604層次總排序及其一致性檢驗

對總目標Z的排序為的層次單排序為確定某層所有因素對于總目標相對重要性的排序權值過程，稱為層次總排序從最高層到最低層逐層進行。設：即層第個因素對總目標的權值為：層的層次總排序為：CB層次總排序的一致性檢驗設層對上層(層)中因素的層次單排序一致性指標為，隨機一致性指為，則層次總排序的一致性比率為：當時，認為層次總排序通過一致性檢驗?？砂凑湛偱判驒嘞蛄勘硎镜慕Y果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構造那些一致性比率CR較大的成對比較矩陣。例2，旅游問題對總目標的權值為：又決策層對總目標的權向量為：同理得對總目標的權值分別為：故，層次總排序通過一致性檢驗?？勺鳛樽詈蟮臎Q策依據(jù)。故最后的決策應為去桂林。又分別表示蘇州、北戴河、桂林，即各方案的權重排序為三層次分析法的優(yōu)點和局限性1系統(tǒng)性

層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。2實用性層次分析法把定性和定量方法結合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術無法著手的實際問題，應用范圍很廣，同時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應用它，這就增加了決策的有效性。3簡潔性具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計算也非常簡便，并且所得結果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個方面：第一只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案。第二該法中的比較、判斷以及結果的計算過程都是粗糙的，不適用于精度較高的問題。第三從建立層次結構模型到給出成對比較矩陣，人主觀因素對整個過程的影響很大，這就使得結果難以讓所有的決策者接受。當然采取專家群體判斷的辦法是