高中數學必修2立體幾何教材分析和教學建議

1、高中數學必修2立體幾何教材分析和教學建議 立體幾何內容的設計： 1.定位：定位于培養(yǎng)和發(fā)展學生把握圖形的能力，空間想象與幾何直觀能力、邏輯推理能力等。強調幾何直觀，合情推理與邏輯推理并重，適當滲透公理化思想。 2.內容處理與呈現：按照從整體到局部的方式展開：柱、錐、臺、球 點、線、面 側面積、表面積與體積的計算（如圖1），而原教材是點、線、面 柱、錐、臺、球，即從局部到整體（如圖2），突出直觀感知、操作確認，并結合簡單的推理發(fā)現、論證一些幾何性質 3.內容設計：螺旋上升，分層遞進，逐步到位.在必修課程中，主要是通過直觀感知、操作確認，獲得幾何圖形的性質，并通過簡單的推理發(fā)現、論證一些幾何性質.

2、進一步的論證與度量則放在選修2中用向量處理.教材在內容的設計上不是以論證幾何為主線展開幾何內容，而是先使學生在特殊情境下通過直觀感知、操作確認，對空間的點、線、面之間的位置關系有一定的感性認識，在此基礎上進一步通過直觀感知、操作確認，歸納出有關空間圖形位置關系的一些判定定理和性質定理，并對性質定理加以邏輯證明，不是不要證明，而是完善過程，既要發(fā)展演繹推理能力，也要發(fā)展合情推理能力。 4.教學內容增減： 刪除（或在選修課內體現的）： （1）異面直線所成的角的計算。（2）三垂線定理及其逆定理。（3）多面體及歐拉公式.（4）原教材中有4個公理，4個推論，14個定理（都需證明）（不包含以例題出現的定理

3、）.新教材中有4個公理，9個定理（4個需證明） 增加：（7）簡單空間圖形的三視圖專設“空間幾何體的三視圖和直觀圖”這一節(jié)，重點在于培養(yǎng)空間想像能力（8）臺體的表面積和體積等內容立體幾何內容采用上述處理方式，主要是為了增進學生對幾何本質的理解，培養(yǎng)學生對幾何內容的興趣，克服以往幾何學習中易造成的學生兩極分化的弊端 立體幾何初步是初等幾何教育重要內容之一，它是在初中平面幾何學習的基礎上開設的，以空間圖形的性質、畫法、計算以及它們的應用為研究對象，以演繹法為研究方法通過對三維空間的幾何對象進行直觀感知、操作確認、思辨論證，使學生的認識水平從平面圖形延拓至空間圖形，完成由二維空間向三維空間的轉化，發(fā)展

4、學生的空間想象能力，邏輯推理能力和分析問題、解決問題的能力一、考綱要求： （1）空間幾何體 認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構. 能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖. 會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式. 會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）. 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）. （2）點、直線、平面之間的

5、位置關系 理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據的公理和定理.公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點在此平面內.公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補. 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定.理解以下判定定理.如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.如果一個

6、平面內的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.理解以下性質定理，并能夠證明.如果一條直線與一個平面平行，經過該直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.垂直于同一個平面的兩條直線平行.如果兩個平面垂直，那么一個平面內垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直. 能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題.2、 考查熱點： 1.能畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，且會把

7、三視圖、直觀圖還原成空間圖形。注重培養(yǎng)學生的空間想象能力， 2.注重線面關系（線線平行、線面平行、面面平行之間的轉移；線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉移；還有平行與垂直關系的轉移）。 （1）從命題形式上看，立體幾何解答題往往會設計成幾個小問題，此類題往往以多面體為依托，考查線線、線面、面面的位置關系；空間角、面積、體積等度量關系，強調作圖、證明和計算相結合。 （2）從內容上看，（1）線線、線面、面面的平行與垂直問題，重點考查直線與直線、直線與平面的位置關系，這類題既可考查多面體的概念和性質，又能考查空間的線面關系，并將論證與計算有機地結合在一起，可以比較全面的考查學生的能力。（2）簡單幾何

8、體的側面積、表面積和體積問題。 （3）從方法上來看，著重考查公理化方法，如解答題注重理論推導和計算相結合；考查轉化的思想方法，如常把立體幾何問題轉化為平面幾何問題來解決；考查模型化方法和整體考慮問題、處理問題的方法，如有時把形體納入不同的幾何背景之中，從而宏觀上把握形體，巧妙的把問題解決；考查等體積變換法，以及變化運動的思想方法等。 （4）從能力上，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會”：（1）會畫圖根據題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線（面），作出圖形要直觀虛實分明；（2）會識圖根據題目所給的圖形，想象出立體的形狀和有關的線面關系；（3）會析圖對

9、圖形進行必要的分解、組合；（4）會復圖對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉、展開或實行割補術；考查邏輯思維能力和運算能力；考察探索能力。三、教材分析：（一）教學目標： 1.理解柱、錐、臺、球的結構特征，了解二面角及其平面角的概念，掌握空間點、直線、與平面之間的位置關系分類。  2.理解三視圖畫法的規(guī)則，能畫簡單幾何體的三視圖，掌握斜二測畫法，能作簡單幾何體的直觀圖，了解柱、錐、臺、球表面積和體積的計算公式，并能計算一些簡單組合體的表面積和體積，理解并掌握平行關系和垂直關系的判斷和性質，能利用公理和基本定理證明簡單的幾何命題。 3.新課程立體幾何初步新增加了三視圖以及與實物圖之間的轉換

10、新增這些內容的目的就是為了讓學生更好的認識我們所生活的這個三維空間，能夠準確地描述現實世界與圖形之間的關系，能從課本還原到現實，來解決生活、生產中的各種問題，發(fā)展學生對數學知識的應用意識例如，平行關系和垂直關系中都是從生活中的平行或垂直關系出發(fā)，引入新課，進而進行探究，最后回到生活中來解決實際問題此外，教師也應注重學生畫圖能力的培養(yǎng)，特別是立體圖形直觀圖的畫法良好的空間想象能力是學生應該具備的基本數學素養(yǎng)，對于學生更好的生存與發(fā)展具有重要意義 4.標準在立體幾何初步部分，要求學生首先通過觀察實物模型，空間幾何體等，直觀認識和理解空間圖形的性質以及點、線、面的位置關系，并用數學語言進行表述這種由

11、一般到特殊，從具體到抽象的推理、歸納、并抽象的過程更易于學生的理論創(chuàng)新而以往的教材只注重知識的強化和變式應用來鍛煉學生的邏輯推理能力，卻忽略了知識的發(fā)現過程和呈現方式新課程強調數學的本質，強調數學思維品質的培養(yǎng)我們可以適當弱化演繹推理，更多地強調從具體情境或前提出發(fā)，進行合情推理，轉向更全面的教育價值。（二）教材解讀： §11.1空間幾何體（4課時）基本要求發(fā)展要求說明1認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構，了解柱、錐、臺、球的概念2了解畫立體圖形三視圖的原理，并能畫出簡單幾何圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖

12、能識別上述的三視圖表示的立體模型，會用斜二測法畫出立體圖形的直觀圖1能用運動的觀點整體認知柱、錐、臺、球2通過本節(jié)學習，進一步體會觀察、比較、歸納、分析等一般科學方法的運用1柱、錐、臺、球的結構特征只須通過實例概括，不必證明2空間幾何體的性質不必深入挖掘 重點：讓學生感受大量空間實物及模型，概括出柱、錐、臺、球的結構特征，會用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖 難點：如何讓學生概括柱、錐、臺、球的結構特征 教學建議： 1.新課標在幾何教學中強調幾何學習的直觀性，強調實物、模型對幾何學習的作用因此對柱、錐、臺、球的學習需要從實物圖形的感知出發(fā)，抽象出其本質特征，來建立多面體、旋轉體的概念，進一步研究

13、它們的結構和分類課外可讓學生動手做一做，更直接的感受空間幾何圖形的特征如建議學生用紙板或游戲棒或細鐵絲（作骨架）做出下列幾何體的模型：（1）正方體；（2）長方體；（3）三棱錐；（4）四棱錐；（5）三棱臺學生通過動手做，親身體驗柱、錐、臺的結構特征，必會幫助學生逐步形成空間想像能力 2.用斜二測畫法畫直觀圖，關鍵是掌握畫水平放置的平面圖形，它是畫空間幾何體直觀圖的基礎而水平放置的平面圖形的畫法可以歸結為確定點的位置的畫法在平面上確定點的位置我們可以借助直角坐標系來完成，因此畫水平放置的直角坐標系是學生首先要掌握的方法通過例題的教學使學生明確畫直觀圖的基本要求 3.關于“三視圖”的一些補充說明：

14、（1）畫三視圖容易忽視的問題不給出“正方向”，把想當然的“正方向”看作是規(guī)定的“正方向” 如某中考題：“下面四個幾何體中，左視圖是四邊形的幾何體共有（ ）”正方體球圓錐圓柱 A1個 B2個 C3個 D4個 嚴格意義上來說，該題（屬開放性問題）是沒有答案的，因為你沒有給出正方向，所以不知左視圖為何形視圖中缺少應有的線段，尤其是缺少該用虛線描繪的不可見的物體輪廓線、分界線和棱如常將四棱錐SABCD的三視圖作成圖（10）而非圖（11），即俯視圖中缺少棱SC。正方向ABCDS正視圖左視圖俯視圖俯視圖正視圖左視圖 （10） （11）主視圖、左視圖和俯視圖的大小不符合“長對正、高平齊、寬相等”的要求 &#

15、167;2空間幾何體的表面積與體積（3課時）基本要求發(fā)展要求說明1了解柱、錐、臺、球表面積的計算公式，并能計算一些簡單組合體的表面積； 2了解柱、錐、臺、球的體積公式，并能計算一些簡單組合體的體積1初步體驗將空間問題轉化為平面問題的思想方法；2體會柱、錐、臺之間的關系3初步體會“積分”思想的應用祖暅原理可向學生形象地介紹，但不作了解要求 重點：讓學生了解柱體、錐體、臺體、球的表面積和體積計算公式 難點：球的表面積與體積公式的推導 教學建議： 1.應從學生熟悉的正方體、長方體的側面展開圖入手探究展開圖和表面積的關系 2.通過對球的表面積、體積公式的運用，加深學生對公式的認識，突出公式在實際問題解

16、決中的作用 §3點、線、面之間的位置關系（10課時）基本要求發(fā)展要求說明1了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示了解平面的基本性質，即公理1、2、3及其推論1、推論2和推論3，了解平行公理(即公理4)與等角定理2了解異面直線的定義，會說明兩條直線是異面直線，并能正確畫出兩條異面直線，在畫圖過程中感知兩條異面直線所成的角3通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面平行、垂直以及兩平面的平行、垂直的判定定理4通過直觀感知、操作確認，歸納并能證明出直線與平面平行、垂直以及兩平面的平行、垂直的性質定理 5能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題1會進行“文字語言”“符號語言”“圖形語言”

17、之間的轉化2在引導學生觀察、比較、抽象、類比得出空間點、線、面位置關系的過程中，努力浸透數學思想與辯證唯物主義觀念1有關判定定理的證明不作要求2有關角與距離不作計算要求3三垂線定理及其逆定理不補充 重點：直線與平面、平面與平面平行的判定定理和性質定理 難點：文字語言、符號語言與圖形語言的轉化；對異面直線的認識 教學建議： 1.平面的基本性質雖僅為了解，但卻是進一步研究空間點、線、面位置關系的基礎，在教學中，可以先給出一些實物圖片，旨在激發(fā)學生學習空間圖形的興趣，然后引入最簡單的幾何體長方體模型，有關點、線、面用彩色來突出，讓學生仔細的觀察；設計一些實例，再給出實物圖片，讓學生覺得四個公理確實是

18、顯而易見的；設計一幅實物圖片和直觀圖形進行對比，使學生從平面到空間理解等角定理，顯得更直觀、更可信 2.空間點、線、面的位置關系應依托長方體模型，教學中，讓學生仔細地觀察“教室”這一長方體模型和其他長方體模型的點、線、面的位置關系，這樣顯得更直觀，容易得出直線和平面平行的判定定理，平面和平面平行的判定定理以及直線和平面平行的性質定理，平面和平面平行的性質定理；例題和習題的設計要有意識的考慮長方體、正方體模型以及一些不太規(guī)則的圖形 3.本章教學中應重視文字語言、符號語言和圖形語言的相互“翻譯”轉換 4.在教學中，要努力浸透歸納、類比等數學思想方法，幫助學生形成辯證唯物主義世界觀四、注意事項： 1

19、.明確立體幾何的教學目標，不拔高，也不降低。新增的內容不加深，刪除的內容不增補。 2.注意概念定理的發(fā)生發(fā)展過程；加強幾何直觀、合情推理教學，適當進行思辨論證，從幾何直觀、合情推理、邏輯推理等多角度培養(yǎng)學生空間想象能力。 3.注意從不同角度認識幾何體。 4.重視問題的數學化表達，加強“符號語言”、“圖形語言”與“文字語言”的轉換，在表述與證明中，科學準確地使用數學符號，盡量少用或不用漢字，在確需使用漢字時，應合理使用漢字。 5.充分依托長方體模型，在此基礎上，認知三棱錐、四棱臺、圓柱、球等常見的空間幾何體同時重視現代教育技術手段在認知常見空間幾何體中的使用。6.教學中，要注意聯系平面圖形的知識

20、，利用類比、聯想等方法，辨別平面圖形和立體圖形的異同，理解兩者的內在聯系，并逐漸地讓學生感悟到，將空間問題轉化為平面問題是處理立幾問題的重要思想。 7.從近年高考立體幾何試題的命題來源來看，很多題目是出自于課本，或略高于課本。我們在復習備考中，一定要依綱靠本，控制好題目的難度，不出偏題、怪題。從近年立體幾何解答題的答題情況來看，學生“會而不對，對而不全”的問題比較嚴重，很值得引起我們的重視。因此，在平時的訓練中，我們就應當培養(yǎng)學生規(guī)范答題的良好習慣，要使學生在做解答題時作到“一看、二證、三求解”。 8.站在全局的角度了解學生，把握新課的定位。  新課改已經由義務教育到高中教育全面推行

21、，很多高中老師卻只關心高中的課標變化，而忽略了學生在初中的幾何基礎，學生學習最重要的因素就是學生已經知道了什么，這樣才能了解學生的最近發(fā)展區(qū)，對學生提出適度的要求，以免造成學生過重的負擔或浪費他們的能力只有立足整體，通過聯系初中平面幾何中的知識，將其在三維空間中進行推廣或演變， 將前后知識連結為整體，增強學生知識的系統(tǒng)性。  9.主次分明，對于課標不要求的點到為止。  本章的重點在第三節(jié)到第六節(jié)，簡單幾何體的體積、球的體積和表面積，根據課標要求只需了解公式在教這一節(jié)時，我們只要求學生初步了解公式導出過程中所隱含的數學思想方法，并不要求理解其證明過程。 10.書中有

22、的旁白是對定義的補充，有的是方法指導，教師不得忽略，要做適當的講解。5、 變式分析：1.原題（必修2第15頁練習第4題）如圖是一個幾何體的三視圖，想象它的幾何結構特征，并說出它的名稱正視圖側視圖俯視圖改編 如圖是一個幾何體的三視圖（單位：cm）（1）畫出這個幾何體的直觀圖（不要求寫畫法）；（2）求這個幾何體的表面積及體積；（3）設異面直線與所成的角為，求俯視圖正視圖側視圖【解析】（1）如圖所示： （2）表面積幾何體的體積（3）因為，所以與所成的角是正視圖側視圖俯視圖在中，故2.原題（必修2第28頁例3）如圖，已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖改編1 如圖，已知幾何體的三視圖（單位：

23、cm）（1）畫出它的直觀圖（不要求寫畫法）；（2）求這個幾何體的表面積和體積【解析】（1）這個幾何體的直觀圖如圖所示（2）這個幾何體是一個簡單組合體，它的下部是一個圓柱（底面半徑為1cm，高為2cm），它的上部是一個圓錐（底面半徑為1cm，母線長為2cm，高為cm）。表面積為7平方厘米，體積為2+立方厘米。3.原題（必修2第30頁習題1.3B組第三題）分別以一個直角三角形的斜邊，兩直角邊所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成三個幾何體，畫出它們的三視圖和直觀圖，并探討它們體積之間的關系.改編 已知直角三角形，其三邊分為,（）.分別以三角形的邊，邊，邊所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲

24、面圍成三個幾何體，其表面積和體積分別為和,則它們的關系為 ( )., ., ., ., 【解析】, , , 選B.4.原題（必修2第32頁圖像）改編 如圖幾何體是圓柱挖去一個同底等高的圓錐所得，現用一個豎直的平面截這個幾何體，所得截面可能是( )【解析】（1）、（4）5.原題（必修2第37頁復習參考題B組第三題）改編1 如右上圖是一個正方體的展開圖,如果將它還原為正方體,那么這六條面對角線所在直線中，所成的角為的直線共有 對.【解析】計算可得共有12對改編2 如圖正方體中，為底面中心，以所在直線為旋轉軸，線段形成的幾何體的正視圖為（ ） 【解析】C6.原題（必修2第37頁復習參考題B組第三題）

25、你見過如圖所示的紙簍嗎？仔細觀察它的幾何結構，可以發(fā)現，它可以由多條直線圍成，你知道它是怎么形成的嗎？改編 如圖所示的紙簍，觀察其幾何結構，可以看出是由許多條直線圍成的旋轉體，該幾何體的正視圖為（ ）【解析】選項A、B、D中的幾何體是圓臺、圓錐、圓柱或由它們組成，而圓臺、圓錐、圓柱的側面除了與旋轉軸在同一平面的母線以外，沒有其他直線。即A、B、D不可能，故選C.7.原題（必修2第59頁例3）改編 設四棱錐P-ABCD的底面不是平行四邊形, 用平面去截此四棱錐（如右圖）, 使得截面四邊形是平行四邊形, 則這樣的平面 （ ）A不存在 B只有1個 C恰有4個 D有無數多個【解析】設四棱錐的兩組不相鄰

26、的側面的交線為 m、n, 直線 m、n 確定了一個平面 作與 平行的平面 , 與四棱錐的各個側面相截，則截得的四邊形必為平行四邊形，而這樣的平面 有無數多個答案：D.8.原題（必修2第62頁習題2.2A組第八題）如圖，直線AA1，BB1，CC1相交于點O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，求證：平面ABC平面A1B1C1.改編 如圖，直線AA1、BB1、CC1相交于點O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，形成兩個頂點相對、底面水平的三棱錐，設三棱錐高均為1，若上面三棱錐中裝有高度為0.5的液體，若液體流入下面的三棱錐，則液體高度為_.ABCA1B1C1【解析】1.9.原題（必修2第63頁習題2.2B組第四題）如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面