函數(shù)概念的演變及其對(duì)中學(xué)函數(shù)教學(xué)的啟示（初中版）

函數(shù)概念的演變及其對(duì)中學(xué)函數(shù)教學(xué)的啟示

賈隨軍西北師范大學(xué)教育學(xué)院jiasuijun@163.com函數(shù)概念的演變及其對(duì)

中學(xué)函數(shù)教學(xué)的啟示引言對(duì)函數(shù)概念演變的分析對(duì)中學(xué)函數(shù)教學(xué)的啟示3中學(xué)數(shù)學(xué)的中心數(shù)學(xué)的核心重要的模型函數(shù)引言

引言

函數(shù)為數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)中的許多概念由函數(shù)派生，由函數(shù)統(tǒng)領(lǐng)。（F．klein，1849-1925）函數(shù)是描述運(yùn)動(dòng)變化的重要模型引言

20世紀(jì)以來(lái)，世界各國(guó)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從以解方程為中心轉(zhuǎn)到以研究函數(shù)為中心，1908年，克萊茵首次提出中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)“以函數(shù)為綱”，到了20世紀(jì)50年代，函數(shù)在我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程中取得核心地位。

引言

函數(shù)的思想方法將貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終……

引言

引言

本研究依據(jù)歷史發(fā)生原理（即個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程與該概念的歷史發(fā)展過(guò)程相似）通過(guò)對(duì)函數(shù)概念演變歷史的分析獲取函數(shù)概念的教學(xué)啟示。對(duì)函數(shù)概念演變的分析

◆函數(shù)的早期形態(tài)

◆函數(shù)是曲線

◆函數(shù)是解析式

◆函數(shù)是對(duì)應(yīng)

函數(shù)的早期形態(tài)

古希臘根據(jù)弧的度數(shù)確定弦長(zhǎng)的正弦表蘇格蘭JohnNapier對(duì)數(shù)巴比倫60進(jìn)制的平方表、立方表、平方根表、普林頓322數(shù)表等各種數(shù)表奧雷斯姆(N．Oresme)運(yùn)用圖線表示的速率與時(shí)間之間的關(guān)系

公元前1700年左右，現(xiàn)藏于哥倫比亞大學(xué)稀有圖書和手稿圖書館。函數(shù)的早期形態(tài)

函數(shù)是曲線

行星的運(yùn)動(dòng)月球的運(yùn)動(dòng)地球的運(yùn)動(dòng)拋射體的運(yùn)動(dòng)單擺的運(yùn)動(dòng)

數(shù)學(xué)從運(yùn)動(dòng)的研究中引出了一個(gè)基本概念——函數(shù)萊布尼茲（Leibniz)的函數(shù)概念：任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量——例如切線、法線、次切線的長(zhǎng)度以及縱坐標(biāo)等。

函數(shù)與曲線緊密相關(guān)。函數(shù)是曲線評(píng)價(jià)伽利略證明：把物體斜拋向空中時(shí)，它的路徑是一個(gè)拋物線。梅森（Mersenne)把旋輪線（cycloid）定義為當(dāng)車輪沿地面滾動(dòng)時(shí)輪上一個(gè)頂點(diǎn)的軌跡。羅伯瓦(Roberval)把正弦曲線定義為旋輪線的伴侶曲線。函數(shù)是曲線在17世紀(jì)，函數(shù)是常常被當(dāng)做曲線來(lái)研究的。(曲線是動(dòng)點(diǎn)的軌跡。)函數(shù)是解析式萊布尼茲（G.W.Leibniz）于1714年用“函數(shù)”一詞表示依賴于一個(gè)變量的量。這個(gè)函數(shù)“定義”實(shí)質(zhì)上指出了函數(shù)就是兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系。但在17世紀(jì)依賴關(guān)系的表達(dá)常常要借助曲線。把函數(shù)看成曲線不利于函數(shù)參與運(yùn)算，函數(shù)概念必須由幾何形態(tài)走向代數(shù)形態(tài)。函數(shù)是解析式從17世紀(jì)末到18世紀(jì)，由于分析學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家對(duì)超越函數(shù)有了更為深刻的認(rèn)識(shí)。牛頓、萊布尼茲、歐拉（L.Euler）等數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等超越函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式。

數(shù)學(xué)家為超越函數(shù)找到了代數(shù)表達(dá)函數(shù)是解析式歐拉在1748年出版的《無(wú)窮分析引論》（第一卷）中就把函數(shù)定義為由一個(gè)變量與一些常量以任何方式形成的解析表達(dá)式。他認(rèn)為一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)解析表達(dá)式。雖然18世紀(jì)對(duì)函數(shù)概念還有一些其他認(rèn)識(shí)，但占統(tǒng)治地位的函數(shù)概念仍然是：函數(shù)是由一個(gè)解析式（有限的或無(wú)限的）所給出的。函數(shù)是對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)解析表達(dá)式一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)一條連續(xù)曲線后來(lái)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)即便是簡(jiǎn)單函數(shù)也存在著表達(dá)式不唯一的情形,如和18世紀(jì)后半葉對(duì)弦振動(dòng)問(wèn)題的討論使部分?jǐn)?shù)學(xué)家接受了函數(shù)在不同的區(qū)域上有不同的表達(dá)式的觀點(diǎn)。JeanBaptisteJosephFourier（1768－1830）熱傳導(dǎo)方程求解的需要促使傅立葉建立了其級(jí)數(shù)理論函數(shù)是對(duì)應(yīng)傅立葉（J.Fourier）把一個(gè)“不連續(xù)”的曲線（由不同連續(xù)曲線拼接起來(lái)的曲線）用一個(gè)表達(dá)式表示。函數(shù)是對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)解析式?一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)一條連續(xù)曲線?函數(shù)概念必須突破解析式的制約。函數(shù)是對(duì)應(yīng)函數(shù)代表一系列的值或縱坐標(biāo)，它們中的每一個(gè)都是任意的，對(duì)于無(wú)限多個(gè)給定的橫坐標(biāo)x值，有同樣多個(gè)的值，所有值要么為正數(shù)，要么為負(fù)數(shù)，要么是零，無(wú)需假設(shè)這些縱坐標(biāo)滿足同一法則，它們以任何方式接續(xù)，每一個(gè)都好象是單個(gè)的量。函數(shù)是對(duì)應(yīng)1837年狄里克雷(P.G.Dirichlet)給函數(shù)下了一個(gè)定義:如果對(duì)于給定區(qū)間上的每一個(gè)x的值有唯一的y值同它對(duì)應(yīng),那么y就是x的一個(gè)函數(shù),至于在整個(gè)區(qū)間上y是否按照一種規(guī)律依賴于x,或者y依賴于x是否可用數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)表達(dá),那都是無(wú)關(guān)緊要的。函數(shù)是一個(gè)解析式函數(shù)是變量之間的依賴關(guān)系函數(shù)是一條連續(xù)曲線函數(shù)是對(duì)應(yīng)函數(shù)是關(guān)系函數(shù)概念演變的主要?jiǎng)恿Α裉煳膶W(xué)、物理學(xué)的需要促進(jìn)了具體函數(shù)的產(chǎn)生。●對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化的研究是函數(shù)一般概念產(chǎn)生的直接原因。函數(shù)是描述運(yùn)動(dòng)與變化的重要的數(shù)學(xué)模型對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示●挖掘小學(xué)教材中的函數(shù)思想●注重從不同角度認(rèn)識(shí)函數(shù)概念●注重對(duì)運(yùn)動(dòng)、變化的體現(xiàn)與分析●注重函數(shù)與曲線、方程等概念的聯(lián)系與區(qū)別挖掘小學(xué)教材中的函數(shù)思想圖、表正比例函數(shù)反比例函數(shù)路程=速度時(shí)間總價(jià)=單價(jià)商品數(shù)量注重從不同角度認(rèn)識(shí)函數(shù)概念變量說(shuō)幾何觀念圖像表示解析說(shuō)代數(shù)觀念解析式表示對(duì)應(yīng)說(shuō)