函數(shù)的單調性

§2.3函數(shù)的單調性

下圖是我市一天24小時內的氣溫變化圖．氣溫θ是關于時間t的函數(shù)，記為θ＝f(t)，觀察這個氣溫變化圖，說明氣溫在哪些時間段內是逐漸升高的或下降的？2.我們用怎樣的數(shù)學語言來刻畫上述時間段內“隨著時間的增大氣溫逐漸升高或減小”這一特征呢？問題1.討論問題2：觀察學生繪制的函數(shù)的圖象（如圖1、2、3，實際教學中可根據(jù)學生回答定），它們的圖象有什么變化規(guī)律?指出圖象變化的趨勢。這反映了相應的函數(shù)值的哪些變化規(guī)律?提出問題、建構數(shù)學上升下降局部上升局部下降從上面的觀察分析，能得出什么結論？函數(shù)的單調性問題從上面的觀察分析可以看出：從左向又看，函數(shù)的函數(shù)圖象有的呈逐漸上升的趨勢，有的呈逐漸下降的趨勢，有的在一個區(qū)間內呈上升的趨勢，在另一區(qū)間內呈逐漸下降的趨勢．不同的函數(shù)，其圖象的變化趨勢不同，同一函數(shù)在不同區(qū)間上變化趨勢也不同，函數(shù)圖象的這種變化規(guī)律就是函數(shù)性質的反映，這就是我們今天所要研究的函數(shù)的一個重要性質——函數(shù)的單調性．2．單調函數(shù)的“直觀定義”

在區(qū)間上，若函數(shù)的圖象（從左至右看）總是上升的，則稱函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間稱為函數(shù)的增區(qū)間；在區(qū)間上，若函數(shù)的圖象（從左至右看）總是下降的，則稱函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間稱為函數(shù)的減區(qū)間．函數(shù)的這種性質稱為函數(shù)的單調性。．例：下圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調區(qū)間以及每一單調區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？讓學生尋找函數(shù)y＝x2與函數(shù)y=x3+x的單調區(qū)間Oxy單調函數(shù)的“描述性定義”能用圖象上動點P（x，y）的橫、縱坐標關系來說明上升或下降趨勢嗎？OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy單調函數(shù)的“描述性定義”

函數(shù)圖象呈上升趨勢等價于函數(shù)值y隨x的增大而增大。函數(shù)圖象呈下降趨勢＜＝＞函數(shù)值y隨x的增大而減小函數(shù)的這種性質稱為函數(shù)的單調性問題在區(qū)間I上，若隨著自變量x增大，函數(shù)值y也增大，則稱函數(shù)在區(qū)間I上是增函數(shù)；在區(qū)間I上，若隨著自變量x增大，函數(shù)值y減少，則稱函數(shù)在區(qū)間I上是減函數(shù)．因此函數(shù)y＝x2時，當x<0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，稱函數(shù)在（-∞，0）是減函數(shù)，當x>0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，在（0，+∞）是增函數(shù)。對區(qū)間D內

x1，x2

，當x1<x2時，有f(x1)<f(x2)區(qū)間D上圖象從左到右逐漸上升？OxDy區(qū)間D內隨著x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN任意都探究1：

如果對于區(qū)間（a,b)上的任意一個x,都有f(x)>f(a)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞增。這個說法對嗎？探究2：

函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b)上有兩個確定量x1、x2,使得當x1<x2時，有f(x1)<f(x2),

能不能說函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞增呢？探究3：

函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b)上有無數(shù)個量x1,x2,…,使得當a<x1<x2<…<b時，有f(a)<f(x1)<f(x2)<…<f(b),

能不能說函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞增？問題4形成數(shù)學概念

定義：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為A，區(qū)間I．如果對于區(qū)間I內的任意兩個值x1,x2，當x1＜x2時，都有，y1＜y2,那么就說y=f(x)在區(qū)間上是單調增函數(shù)（increasinfunction），I稱為y=f(x)的單調增區(qū)間（increasinginterval）．問題4：如何定義單調減函數(shù)呢？定義：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為A，區(qū)間I．如果對于區(qū)間內的任意兩個值，當時，都有，那么就說y=f(x)在區(qū)間上是單調減函數(shù)（decreasingfunction），稱為的單調減區(qū)間（decreasinginterval）．如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上具有單調性，這個區(qū)間就叫做函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間．判斷題：（1）已知f(x)=1/x，因為f(-1)<f(2),所以函數(shù)f(x)是增函數(shù)。（2）若函數(shù)f(x)滿足f(2)<f(3),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，3]

上為增函數(shù)。（3）因為函數(shù)f(x)=1/x在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)，所以f(x)=1/x在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數(shù)。深入理解函數(shù)單調性的概念函數(shù)單調性是針對某個區(qū)間而言的，是一個局部性質;

x1,x2取值的任意性24你能分析總結一下定義中增減函數(shù)的要點嗎？思考討論2（1）自變量具有任意性（3）自變量有大小，通常規(guī)定（2）自變量同屬于一個區(qū)間（4）f(x)是增（減）函數(shù)則

(5)單調性是函數(shù)的局部性質應用概念證明：函數(shù)在區(qū)間[0，+∞)上是增函數(shù)，并由此總結證明函數(shù)是單調函數(shù)的一般步驟：（1）在給定的區(qū)間內任取兩個自變量的值x1，x2，時規(guī)定x1＜x2；（2）判定f（x1）－f（x2）的符號在給定的區(qū)間內是否不變，并由此得出f（x1）與f（x2）的大小關系；（3）得出f（x）在給定的區(qū)間上為單調函數(shù)．讓學生利用單調函數(shù)的定義證明函數(shù)y＝x2在區(qū)間（－∞，0）上是減函數(shù)．例：證明函數(shù)在R上是增函數(shù)。證明：任取練習：證明函數(shù)在上是增函數(shù)．2．歸納解題步驟引導學生歸納證明函數(shù)單調性的步驟：定義法判斷或證明函數(shù)的單調性的步驟是第一步：在所給的區(qū)間上任取兩個自變量x1和x2,通常令x1<x2；第二步：比較f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比較法比較大小,此時比較它們大小的步驟是作差、變形、看符號；第三步：再歸納結論.定義法的步驟可以總結為：設元、作差、變形、斷號、定論通過本例向學生說明：判斷函數(shù)單調性的主要方法：⑴觀察法：畫出函數(shù)圖象來觀察．⑵定義法：嚴格按照定義進行驗證．⑶分解法：對函數(shù)進行恰當?shù)淖冃?，使之變成我們所熟悉的且已知其單調性的較簡單函數(shù)的組合．課堂小結:1.本節(jié)課學習了單調函數(shù)的概念，要求同學們掌握單調函數(shù)的定義，能利用定義判定函數(shù)的單調性，并掌握以下關系：f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)

f（x）的圖象在區(qū)間I上是上升的在區(qū)間I自變量大函數(shù)值也大；形成增函數(shù)的的定義.f（x）在區(qū)間I上是減函數(shù)

f（x）的圖象在區(qū)間I