【創(chuàng)新設計】2011屆高三數(shù)學一輪復習 4-3向量的數(shù)量積、向量的應用課件 理 蘇教版

1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系．3．掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算．4．能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系．5．會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．6．會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題．第3課時向量的數(shù)量積、向量的應用【命題預測】向量的數(shù)量積是高考命題的重點，主要考查平面向量數(shù)量積的性質在向量運算、化簡、求值、證明中的應用，考查平面向量平行、垂直的充要條件的應用，以及用向量的數(shù)量積解平面幾何問題．多出現(xiàn)在填空題與選擇題中，難度不會太大．在解答題中，常常與其他章節(jié)的內容，例如三角函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)等相結合，考查平面向量數(shù)量積的綜合運用，綜合性較強，屬于中等偏難的題．【應試對策】1．在運用向量的數(shù)量積解題時，一定要注意兩向量的夾角． 兩向量的夾角描述了兩向量的方向差異，求兩向量的夾角時一定要注意向量 的方向．例如在△ABC中，向量

的夾角是π－∠B，不是∠B. (1)當a≠0時，由a·b＝0不能推出b＝0，這是因為任一與a垂直的非零向量b都 有a·b＝0.(2)當a≠0時，由a·b＝a·c也不能推出b＝c.只要b，c在a方向上的投影相等(|b|cos〈b，a〉＝|c|cos〈c，a〉)，都有a·b＝a·c(如圖所示，對于直線l上任意點P，

的值都相等)．

(3)數(shù)量積運算不滿足結合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．這是因為(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線．2．數(shù)量積公式a·b＝|a||b|·cosθ(其中θ為a，b的夾角)的一些簡單應用： (1)當θ＝0°時，a·b＝|a||b|，所以求兩向量的模的乘積可轉化為求向量的 數(shù)量積． (2)當θ＝90°時，a·b＝0?a⊥b，所以判定兩向量垂直?？赊D化為證明數(shù) 量積為零． (3)

＝0?點O在以AB為直徑的圓上；

>0?點O在以AB為直徑的圓外?∠AOB＜90°.【知識拓展】1.向量積由兩向量a和b作一個新向量c，若c滿足下列三個條件：(1)向量c的模等于|a||b|sin〈a，b〉；(2)c同時垂直于a和b；；(3)c的方向按“右手法則”確定．則稱c為a與b的向量積，記作c＝a×b.1．兩個向量的夾角 (1)定義：對于

向量a與b，作 ，則∠AOB=θ， (0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角． (2)特殊情形：當θ=

時，a與b同向；當θ=

時，a與b反向； 當θ=

時，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.兩個非零180°0°90°2．平面向量的數(shù)量積 (1)平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量

叫做a與 b的數(shù)量積(或內積)，記作a·b，即

，并規(guī)定零向量與任 一向量的數(shù)量積為

.|a|·|b|·cosθ0a·b＝|a|·|b|·cosθ(2)b在a方向上的投影①定義：設θ是a與b的夾角，則

叫做a在b的方向上的投影，

叫做b在a的方向上的投影，一向量在另一向量的方向上的投影是一個實數(shù)，而不是向量，當0°≤θ<90°時，它是

，當90°<θ≤180°時，它是

，當θ＝90°時，它是

.②a·b的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與

的投影|b|cosθ的乘積．|a|cosθ|b|cosθ正數(shù)負數(shù)b與a的方向上03．向量數(shù)量積的運算律 (1)a·b＝

(交換律)．(2)(λa)·b＝

＝

(數(shù)乘結合律)． (3)(a＋b)·c＝

.(分配律)4．平面向量數(shù)量積的坐標表示 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)a·b＝

.(2)|a|＝

，|b|＝

. (3)a⊥b?

. (4)若a與b夾角為θ，則cosθ＝

.b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·cx1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0 (5)若c的起點坐標和終點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則|c|＝

.5．向量方法解決幾何問題的步驟 (1)建立幾何與向量的聯(lián)系，用

表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉 化為

問題． (2)通過向量的

，研究幾何元素之間的關系，如夾角、距離、垂直、 平行等問題． (3)把運算結果“翻譯”成幾何關系．向量運算向量1．對于向量a、b、c和實數(shù)λ，下列命題中真命題是________． ①若a·b＝0，則a＝0或b＝0②若λa＝0，則λ＝0或a＝0 ③若a2＝b2，則a＝b或a＝－b④若a·b＝a·c，則b＝c 解析：A中若a⊥b，則有a·b＝0，不一定有a＝0，b＝0. C中當|a|＝|b|時，a2＝b2，此時不一定有a＝b或a＝－b. D中當a＝0時，a·b＝a·c，不一定有b＝c.答案：②2．(2010·江蘇通州市高三素質檢測)已知向量a和向量b的夾角為30°，|a|＝2，|b|＝，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b＝________.

答案：33．若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則向量a的模是________．解析：∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－6b2－a·b＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，解得|a|＝6.答案：64．已知a＝(2,1)，b＝(3，x)，若(2a－b)⊥b，則x的值是________． 解析：∵2a－b＝(4,2)－(3，x)＝(1,2－x)，又∵(2a－b)⊥b， ∴3＋x(2－x)＝0，∴x2－2x－3＝0.解得x＝－1或3. 答案：－1或35．已知力F＝(3,5)，在力F的作用下發(fā)生的位移S＝(6,9)， 則F所做的功為________． 解析：W＝F·S＝(3,5)·(6,9)＝18＋45＝63. 答案：631．向量的數(shù)量積有兩種計算方法，一是利用公式a·b＝|a|·|b|cosθ來計算， 二是利用a·b＝x1x2＋y1y2來計算，具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇， 同時要注意數(shù)量積運算律的應用．2．數(shù)量積中的常用公式: (1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；【例1】已知|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為，求：(1)(3a－2b)·(a－2b)； (2)|a＋b|. 思路點撥：利用平面向量數(shù)量積的定義及運算律，可求出第(1)問； 求|a＋b|可先求(a＋b)2，再開方．解：(1)a·b＝|a|·|b|·cos＝3×4×

a2＝32＝9，b2＝16.∴(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2＝3×9－8×(－)＋64＝91＋48(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－)＋16＝25－12∴|a＋b|＝變式1：(1)證明：(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； (2)設a、b是夾角為60°的單位向量，求|2a＋b|、|3a－2b|. 解：(1)證明：(a－b)2＝(a－b)·(a－b)＝(a－b)·a－(a－b)·b

＝a2－b·a－(a·b－b2)＝a2－2a·b＋b2. (2)∵|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4|a||b|cos60°＋1＝7， ∴|2a＋b|＝.同理可求|3a－2b|＝.1．非零向量a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.2．當向量a與b是非坐標形式時，要把a，b用已知的不共線的向量表示．【例2】已知|a|＝5，|b|＝4，且a與b的夾角為60°，則當k為何值時， 向量ka－b與a＋2b垂直？思路點撥：由(ka－b)⊥(a＋2b)?(ka－b)·(a＋2b)＝0， 展開求解即可．解：∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，∴k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，∴k＝即k為時，向量ka－b與向量a＋2b垂直．在△ABC中，

＝(2,3)，

＝(1，k)，且△ABC的一個內角為直角,求k的值．解：(1)當∠A＝90°時，∵

＝0,2×1＋3k＝0，∴k＝(2)當∠B＝90°時，

＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)．∵

，∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0，∴k＝(3)當∠C＝90°時，∵

＝0，∴－1＋k(k－3)＝0，k2－3k－1＝0，∴k＝∴k的取值為變式2：用向量解決應用問題，首先要把實際問題中的條件和要求(或證)的問題用向量表示出來，然后通過向量的運算求出結果，并把求出的結果解釋為實際要求的問題．【例3】在△ABC內求一點P，使AP2＋BP2＋CP2的值最?。?思路點撥：AP2＋BP2＋CP2可轉化為向量模的平方來表示，而模的平方又可轉化為數(shù)量積，所以，可選定一組基底來解決最小值問題．解：設

，則

，于是

＝(p－a)2＋(p－b)2＋p2＝3p2－2(a＋b)·p＋a2＋b2＝∴當p＝(a＋b)時，

取最小值．記D為AB的中點，則a＋b＝2

，于是

∴C，P，D三點共線，且P點是△ABC的重心時，

取最小值，即AP2＋BP2＋CP2的值最?。鬌是△ABC內的一點，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求證：AD⊥BC.證明：設

，則a＝e＋c，b＝e＋d，∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2－d2＋2e·c－2e·d①由已知，a2－b2＝c2－d2，②由①②，可得e·c－e·d＝0，即e·(c－d)＝0.∵

＝d－c，∴

＝0，∴AD⊥BC.變式3：1．平面向量a與b的數(shù)量積|a|·|b|·cosθ，它是一個實數(shù)，而不是向量， 它的值等于兩個向量的模與兩向量夾角余弦的乘積，其中θ的取值范圍是 0°≤θ≤180°.2．向量數(shù)量積a·b與實數(shù)a、b乘積a·b不同．由a·b＝0，并不能得出a＝0或 b＝0，因為兩非零向量夾角為90°時，數(shù)量積也為0.【規(guī)律方法總結】3．向量的數(shù)量積不滿足結合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，在(a·b)·c與a·(b·c) 中，由于a·b與b·c都是一個實數(shù)，設a·b＝λ1，b·c＝λ2，則(a·b)·c＝ λ1c，a·(b·c)＝λ2a，它們分別是與c共線和與a共線的向量，由于a與c不一 定共線，那么λ1c與λ2a的方向不一定相同，故一般情況下， (a·b)·c≠a·(b·c)．4．數(shù)量積的消去律不成立，即a·b＝c·b不一定得到a＝c.5．可以用向量的數(shù)量積公式解決有關夾角和垂直問題，但要注意兩種公式 的靈活運用．6．利用向量垂直的充要條件研究幾何中線與線垂直的問題，若易建立適當 的坐標系，得到簡單的向量坐標表示，則可以減少運算量，實現(xiàn)了平面幾 何問題轉化為數(shù)量的運算.

【例4】已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，且|a－kb|＝|ka＋b|，其中k>0. (1)試用k表示a·b，并求出a·b的最大值及此時a與b的夾角θ的值； (2)當a·b取得最大值時，求實數(shù)λ，使|a＋λb|的值最小，并對這一結果作出幾何解釋.

本題可以通過對已知條件兩端平方解決，容易出現(xiàn)的問題是對向量模與數(shù)量積的關系不清導致錯誤，如認為|a－kb|＝|a|－|kb|或|a－kb|2＝|a|2－2k|a||b|＋k2|b|2等都會得出錯誤的結果．第二個易錯之處就是在得到a·b＝－后，忽視了k>0的限制條件，求錯最值

【錯因分析】解：(1)|a－kb|＝|ka＋b|?(a－kb)2＝3(ka＋b)2?a·b＝－(k>0)．∴a·b＝ ，a·b的最大值為－

此時cosθ＝－，θ＝.∴a·b＝－(k>0)，a·b的最大值為－

此時a與b的夾角θ的值為.【答題模板】(2)由題意，a·b＝－，故|a＋λb|2＝λ2－λ＋1＝

∴當λ＝時，|a＋λb|的值最小，此時·b＝0，這表明⊥b.向量的運算法則有相同的，也有不同的，在命題中千萬不要進行盲目類比，特別是關于向量的數(shù)量積的運算法則和實數(shù)的乘法運算法則完全不同，一定要把這些運算法則分清楚.

【狀元筆記】1．設向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b， 若|a|＝1，求|a|2＋|b|2＋|c|2. 分析：把條件化簡整理，根據(jù)“向量垂直等價于向量的數(shù)量積為零”，尋找向量a，b，c的內在聯(lián)系．解：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·c＝－(a－b)·(a＋b)＝0，∴a2＝b2，∴|b|＝1.∵a⊥b，∴a·b＝0，∴|c|2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2，∴|a|