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第八節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差(理)點(diǎn)擊考綱1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能解決一些實(shí)際問題.關(guān)注熱點(diǎn)1.以選擇、填空的形式考查離散型隨機(jī)變量均值與方差的概念和計(jì)算.2.以實(shí)際問題為背景,考查均值與方差的應(yīng)用.1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值稱EX=
為隨機(jī)變量X的均值或
,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的
.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn數(shù)學(xué)期望平均水平平均偏離程度σX
2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=
.(2)D(aX+b)=
.(a,b為常數(shù))3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布,則EX=
,DX=
.(2)若X~B(n,p),則EX=
,DX=
.a(chǎn)EX+ba2DXp(1-p)npnp(1-p)p隨機(jī)變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎樣的?提示:隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù),樣本均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量,隨觀測(cè)次數(shù)的增加或樣本容量的增加,樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差.1.若隨機(jī)變量X的分布列如表,則EX=(
)X012345P2x3x7x2x3xx答案:C答案:A3.設(shè)隨機(jī)變變量ξ~B(n,p),且Eξ=1.6,Dξ=1.28,則()A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45答案:A4.已知X的分布列為為答案:B(1)寫出ξ的分布列;;(2)求數(shù)學(xué)期望望E(ξ).故ξ的分布列為為【方法探究】(1)隨機(jī)變量的的數(shù)學(xué)期望望等于該隨隨機(jī)變量的的每一個(gè)取取值與取該該值時(shí)對(duì)應(yīng)應(yīng)的概率乘乘積的和..(2)均值(數(shù)學(xué)期望)是隨機(jī)變量量的一個(gè)重重要特征數(shù)數(shù),它反映映或刻畫的的是隨機(jī)變變量取值的的平均水平平,均值(數(shù)學(xué)期望)是算術(shù)平均均值概念的的推廣,是是概率意義義下的平均均.(3)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù),即X作為隨機(jī)變變量是可變變的,而E(X)是不變的..提醒:若隨機(jī)變量量X服從二項(xiàng)分分布,即X~B(n,p),則可直接接使用公式式E(X)=np.(1)求該學(xué)生考考上大學(xué)的的概率;(2)如果考上大大學(xué)或參加加完5次測(cè)試就結(jié)結(jié)束,記該該生參加測(cè)測(cè)試的次數(shù)數(shù)為ξ,求ξ的分布列及及ξ的數(shù)學(xué)期望望.則ξ的分布列為為:甲、乙兩個(gè)個(gè)野生動(dòng)物物保護(hù)區(qū)有有相同的自自然環(huán)境,,且野生動(dòng)動(dòng)物的種類類和數(shù)量也也大致相等等,這兩個(gè)個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)內(nèi)每個(gè)季度度發(fā)現(xiàn)違反反保護(hù)條例例的事件次次數(shù)的分布布列分別為為:甲:X10123P0.30.30.20.2乙:試評(píng)定這兩兩個(gè)保護(hù)區(qū)區(qū)的管理水水平.X2012P0.10.50.4【解析】甲保護(hù)區(qū)的的違規(guī)次數(shù)數(shù)X1的數(shù)學(xué)期望望和方差為為:EX1=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,DX1=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保護(hù)區(qū)的的違規(guī)次數(shù)數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望望和方差為為:EX2=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,DX2=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因?yàn)镋X1=EX2,DX1>DX2,所以兩個(gè)個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)內(nèi)每季度發(fā)發(fā)生的違規(guī)規(guī)平均次數(shù)數(shù)是相同的的,但乙保保護(hù)區(qū)內(nèi)的的違規(guī)事件件次數(shù)更集集中和穩(wěn)定定,甲保護(hù)護(hù)區(qū)的違規(guī)規(guī)事件次數(shù)數(shù)相對(duì)分散散和波動(dòng)..∴乙保護(hù)區(qū)的的管理水平平相對(duì)要好好.【方法探究】數(shù)學(xué)期望反反映了隨機(jī)機(jī)變量取值值的平均水水平,但有有時(shí)只知道道數(shù)學(xué)期望望還不能解解決問題,,還需要知知道隨機(jī)變變量的取值值在均值周周圍變化的的情況,即即方差.記乙項(xiàng)目產(chǎn)產(chǎn)品價(jià)格在在一年內(nèi)的的下降次數(shù)數(shù)為X,對(duì)乙項(xiàng)目目每投資十十萬元,X取0、1、2時(shí),一年后后相應(yīng)利潤(rùn)潤(rùn)是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機(jī)機(jī)變量X1,X2分別表示對(duì)對(duì)甲、乙兩兩項(xiàng)目各投投資十萬元元一年后的的利潤(rùn).(1)求X1,X2的概率分布布列和均值值E(X1),E(X2);(2)當(dāng)E(X1)<E(X2)時(shí),求p的取值范圍圍.【思路導(dǎo)引】(1)求分布列,,應(yīng)先確定定X2的取值,再再求X2的取值對(duì)應(yīng)應(yīng)的概率;;(2)由E(X1)<E(X2),找出關(guān)于于p的不等式,,即可求出出p的范圍.【解析】(1)法一:X1的概率分布布列為故X2的概率分布布列為所以E(X2)=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0.2×p2=1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+0.2×p2=-p2-0.1p+1.3.X21.31.250.2P(1-p)22p(1-p)p2法二:X1的概率分布布列為X21.31.250.2P(1-p)22p(1-p)p2所以E(X2)=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0.2×p2=1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+0.2×p2=-p2-0.1p+1.3.(2)由E(X1)<E(X2),得-p2-0.1p+1.3>1.18,整理得(p+0.4)(p-0.3)<0,解得-0.4<p<0.3.因?yàn)?<p<1,所以當(dāng)E(X1)<E(X2)時(shí),p的取值范圍圍是0<p<0.3.3.(2009·陜西高考)某食品企業(yè)業(yè)一個(gè)月內(nèi)內(nèi)被消費(fèi)者者投訴的次次數(shù)用ξ表示,據(jù)統(tǒng)統(tǒng)計(jì),隨機(jī)機(jī)變量ξ的概率分布布如下:ξ0123P0.10.32aa(1)求a的值和ξ的數(shù)學(xué)期望望;(2)假設(shè)一月份份與二月份份被消費(fèi)者者投訴的次次數(shù)互不影影響,求該該企業(yè)在這這兩個(gè)月內(nèi)內(nèi)共被消費(fèi)費(fèi)者投訴2次的概率..解析:(1)由概率分布布的性質(zhì)知知,0.1+0.3+2a+a=1,∴a=0.2,則ξ的分布列為為ξ0123P0.10.30.40.2E(ξ)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.(2)設(shè)事件A表示“2個(gè)月內(nèi)共被被投訴2次”,事件A1表示“2個(gè)月內(nèi)有一一個(gè)月被投投訴2次,另一個(gè)個(gè)月被投訴訴0次”,事件A2表示“2個(gè)月內(nèi)每個(gè)個(gè)月均被投投訴1次”,則由事件件的獨(dú)立性性可得P(A1)=C21P(ξ=2)P(ξ=0)=2×0.4×0.1=0.08,P(A2)=[P(ξ=1)]2=(0.3)2=0.09,P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17,故該該企企業(yè)業(yè)在在這這兩兩個(gè)個(gè)月月內(nèi)內(nèi)共共被被投投訴訴2次的的概概率率為為0.17.(2010·山東東,,12分)某學(xué)學(xué)校校舉舉行行知知識(shí)識(shí)競(jìng)競(jìng)賽賽,,第第一一輪輪選選拔拔共共設(shè)設(shè)有有A、B、C、D四個(gè)個(gè)問問題題,,規(guī)規(guī)則則如如下下::①每位位參參加加者者計(jì)計(jì)分分器器的的初初始始分分均均為為10分,,答答對(duì)對(duì)問問題題A、B、C、D分別別加加1分、、2分、、3分、、6分,,答答錯(cuò)錯(cuò)任任一一題題減減2分;;②每回回答答一一題題,,計(jì)計(jì)分分器器顯顯示示累累計(jì)計(jì)分分?jǐn)?shù)數(shù),,當(dāng)當(dāng)累累計(jì)計(jì)分分?jǐn)?shù)數(shù)小小于于8分時(shí)時(shí),,答答題題結(jié)結(jié)束束,,淘淘汰汰出出局局;;當(dāng)當(dāng)累累計(jì)計(jì)分分?jǐn)?shù)數(shù)大大于于或或等等于于14分時(shí),答題結(jié)結(jié)束,進(jìn)入下下一輪;當(dāng)答答完四題,累累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不不足14分時(shí),答題結(jié)結(jié)束,淘汰出出局;③每位參加者按按問題A、B、C、D順序作答,直直至答題結(jié)束束.(1)求甲同學(xué)能進(jìn)進(jìn)入下一輪的的概率;(2)用ξ表示甲同學(xué)本本輪答題結(jié)束束時(shí)答題的個(gè)個(gè)數(shù),求ξ的分布列和數(shù)數(shù)學(xué)期望Eξ.【解析】設(shè)A、B、C、D分別為第一、、二、三、四四個(gè)問題,用用Mi(i=1,2,3,4)表示甲同學(xué)第第i個(gè)問題回答正正確,用Ni(i=1,2,3,4)表示甲同學(xué)第第i個(gè)問題回答錯(cuò)錯(cuò)誤,則Mi和Ni是對(duì)立事件(i=1,2,3,4).由題意得因此隨機(jī)變量量ξ的分布列為【考向分析】從近兩年的高高考試題來看看,離散型隨隨機(jī)變量的均均值與方差是是高考的熱點(diǎn)點(diǎn),題型為填填空題或解答答題,屬中檔檔題.常與排排列組合、概概率等知識(shí)綜綜合命題,既既考查基本概概念,又注重重考查基本運(yùn)運(yùn)算能力和邏邏輯推理、理理解能力.預(yù)測(cè)2012年高考,離散散型隨機(jī)變量量的均值與方方差仍然是高高考的熱點(diǎn),,同時(shí)應(yīng)特別別注意均值與與方差的實(shí)際際應(yīng)用.1.已知ξ的分布列為::答案:A2.某人進(jìn)行射射擊,每次中中靶的概率均均為0.8,現(xiàn)規(guī)定:若若中靶就停止止射擊;若沒沒中靶,則繼繼續(xù)射擊,如如果只有3發(fā)子彈,則射射擊次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為為()A.2.14B.4.12C.1.24D.2.41解析:射擊次數(shù)ξ的分布列為∴Eξ=0.8×1+0.16×2+0.04×3=1.24.答案:Cξ
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