【公開(kāi)課課件】直線與平面垂直的判定（公開(kāi)課）

2.3.1直線與平面垂直的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線與平面垂直的定義；2.掌握直線與平面垂直的判定定理.3.會(huì)用直線與平面垂直的判定定理解決問(wèn)題.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究?jī)?nèi)容索引問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的

直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直記法_______有關(guān)概念直線l叫做平面α的

，平面α叫做直線l的

，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做______任意一條l⊥α垂線垂面垂足圖示畫(huà)法畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直知識(shí)點(diǎn)二直線和平面垂直的判定定理將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸).如圖，觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系.答案不一定.思考1

折痕AD與桌面一定垂直嗎？思考2

當(dāng)折痕AD滿足什么條件時(shí)，AD與桌面垂直？答案當(dāng)AD⊥BD且AD⊥CD時(shí)，折痕AD與桌面垂直.梳理文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的

都垂直，則該直線與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，

＝P?l⊥α圖形語(yǔ)言兩條相交直線a∩b1.若直線l⊥平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行.(

)2.若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α.(

)3.若a⊥b，b⊥α，則a∥α.(

)[思考辨析判斷正誤]×××題型探究例1

下列命題中，正確的序號(hào)是________.①若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線；④若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直；⑤過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條.類型一線面垂直的定義及判定定理的理解解析答案④⑤解析當(dāng)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直時(shí)，l與α不一定垂直，所以①不正確；當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以②不正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直，所以③不正確，④正確；過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知平面，所以⑤正確.反思與感悟(1)對(duì)于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說(shuō)法與“直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”不是一回事，后者說(shuō)法是不正確的，它可以使直線與平面斜交.(2)判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線.跟蹤訓(xùn)練1

(1)若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于A.平面OAB

B.平面OACC.平面OBC

D.平面ABC答案√解析∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.解析(2)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊.能保證該直線與平面垂直的是________.(填序號(hào))答案①③④解析根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理?xiàng)l件.解析例2

如圖，在三棱錐S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；證明因?yàn)镾A＝SC，D是AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC.類型二線面垂直的判定證明(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明

因?yàn)锳B＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因?yàn)镾D∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.證明反思與感悟(1)利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟①在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它們和這條直線垂直；②確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；③根據(jù)判定定理得出結(jié)論.(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C點(diǎn)到AB1的距離為CE，D為AB的中點(diǎn).求證：(1)CD⊥AA1；證明由題意知AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以CD⊥AA1.證明(2)AB1⊥平面CED.證明

因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB，A1A?平面A1B1BA，所以CD⊥平面A1B1BA.因?yàn)锳B1?平面A1B1BA，所以CD⊥AB1.又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD，CE?平面CED，所以AB1⊥平面CED.證明達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是A.平行

B.垂直C.相交

D.不確定答案√解析由于直線l和三角形的兩邊AC，BC同時(shí)垂直，而這兩邊相交于點(diǎn)C，所以直線l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三邊AB在這個(gè)平面內(nèi)，所以l⊥AB.解析2.已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是A.α∥β，且m?α

B.m∥n，且n⊥βC.m⊥n，且n?β

D.m⊥n，且n∥β解析A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的任意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的任意直線，所以m⊥β，符合題意；C，D中，m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意，故選B.解析答案√3.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝

，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn).證明：PC⊥平面BEF.證明證明如圖，連接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形.又F是PC的中點(diǎn)，所以EF⊥PC.F是PC的中點(diǎn)，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，BF，EF?平面BEF，