【課件】4.3.1等比數(shù)列的概念（第一課時）課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥板上記錄了下面的數(shù)列：

2.《莊子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是：

木棰長度第一天取半第二天取半第三天取半第四天取半.........第天取半n設(shè)木棰長度為13.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20分鐘就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是？第2項起,每一項是前一項的2倍2,4,8,16,32,64,…5思考：請同學(xué)們仔細觀察以下五個數(shù)列,類比等差數(shù)列的研究,你認為可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以下數(shù)列的取值規(guī)律?你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

共同特點:從第二項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù).如果用{an}表示數(shù)列①，那么有

取值規(guī)律:從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于9．（第一課時）等比數(shù)列的概念F佳

如果一個數(shù)列從第____項起，每一項與它的前一項的____都等于___一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做__________.

常數(shù)叫做等____數(shù)列的_____等比數(shù)列二比同等比數(shù)列公比等差數(shù)列

如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.

常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.

公差通常用字母d表示公比通常用字母q表示。比探究：類比等差數(shù)列的概念，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？定義符號(3)5,5,5,5,5,5,…觀察并判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，是的話，指出公比，不是的話請說明理由:(4)

0,1,2,4,8,…(5)

2,0,2,0,2,…是,公比是2是,公比是-2是,公比是1不一定,分類討論不是,分母不能為0不是,公比不能是0課本P31練習(xí)1

思考：(1)等差數(shù)列的項、公差均可以是0嗎？等比數(shù)列呢？(2)常數(shù)列是等差數(shù)列嗎？是等比數(shù)列嗎？(3)是否存在既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列？(4)q>0時，等比數(shù)列各項的符號有何特點？q<0時呢？常數(shù)列是等差數(shù)列，公差為0；非零常數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1.非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，公差為0，公比為1.q>0時，等比數(shù)列各項符號和首項a1保持一致；q<0時，等比數(shù)列各項符號正負間隔，奇數(shù)項和偶數(shù)項分別同號。等差中項

等比中項

如果三個數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列，那么A叫做a和b的等差中項.

如果三個數(shù)a,G,b組成等比數(shù)列，那么G叫做a和b的等比中項.定義a,A,b成等差數(shù)列a,G,b成等比數(shù)列關(guān)系注意：若a,b同號,則有兩個等比中項;若a,b異號,則無等比中項.探究：類比等差中項的概念，你能抽象出等比中項的概念嗎？（2020年宣城期末）已知三個數(shù)4，x，16成等比數(shù)列，則x=()

A.±8

B.8

C.±4

D.4已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a1a5=16，a2=2，則a1=__________________,公比q=______________.（2020年內(nèi)江期末）已知數(shù)列{an}的通項為an=2n-3，若a3，a6，am成等比數(shù)列，則m=()

A.9

B.12

C.15

D.18探究3：類比等差數(shù)列的通項公式，你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？等差數(shù)列

等比數(shù)列

累乘法累加法等差數(shù)列

等比數(shù)列

所以

設(shè)一個等比數(shù)列的公比為．根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得

即

．

左右兩側(cè)分別依次相乘

化簡得到

．

累乘法課本P31練習(xí)22.已知{an}是一個公比為q的等比數(shù)列，在下表中填上適當?shù)臄?shù).

解法1：②的兩邊分別除以①的兩邊，得

解得

①②解法2：

所以

變式練習(xí)：若48和12分別是第4項和第8項，求第6項.注意：等比中項還要關(guān)注項的關(guān)系，奇數(shù)項的符號相同，偶數(shù)項的符號相同.

解：由題意，得

①②②的兩邊分別除以①的兩邊，得

所以

在等比數(shù)列{an}中，已知a3=9，a6=243，求a5.課本P31練習(xí)33.在等比數(shù)列{an}中，a1a3=36，a2+a4=60．求a1和公比q.

（2020年成都期中）已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，a2a12=2a7+3，則a13=()

A.36

B.9

C.12

D.18（2021年重慶模擬）若等比數(shù)列{an}滿足a2a4=a5，a4=8，則a6=()

A.16

B.32

C.64

D.128

解：

所以這個數(shù)列是20,40,80,96,112或180,120,80,16，-482.與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)的設(shè)元技巧：(1)如果是三個數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為

，a，aq【歸納總結(jié)】對稱設(shè)元法(2)如果是四個數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為

，，aq，aq31.與等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)的設(shè)元技巧：(1)如果是三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d，a，a+d(2)如果是四個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a+2d，a-d，a+d，a+2d

已知等比數(shù)列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an.報紙能比泰山高嗎？泰山:1545m(1)假設(shè)我們有一張足夠大的報紙.(設(shè)報紙厚度是a米).先把報紙對折一次,這時紙張的厚度是報紙單頁的2倍.即2a米我們做個折紙實驗(2)我們再將報紙對折一次,紙張的厚度變?yōu)?4a米即22a米第三次再對折后報紙的厚度是:8a米即23a米折紙實驗

(3) 三次折疊,報紙厚度分別是:22a米,23a米,24a米我們猜想,繼續(xù)這樣折疊,報紙的厚度會是一組等比數(shù)列:22a,23a,24a,25a,26a,27a…(4)假設(shè)報紙的單頁厚度約為0.1毫米，需要折疊幾次才能比泰山高呢？折紙實驗指數(shù)型函數(shù)思考：類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷公比q>0的等比數(shù)列的單調(diào)性？探究：類比等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列可以與哪類函數(shù)建立關(guān)系？qq>10<q<1a1>0a1<0q=1a1探究：類似于等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列可以與哪類函數(shù)建立相似的關(guān)系？

等比數(shù)列的第項是指數(shù)函數(shù)當時的函數(shù)值，即．

等比數(shù)列的序號和項對應(yīng)的點是指數(shù)函數(shù)圖像上一系列離散的點。(4)可以測得報紙的單頁厚度約為0.1毫米(即a=0.0001m),當我們把報紙折疊了21次,此時的厚度是: