【課件】二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(第1課時) 課件-人教A版(2019)必修第一冊

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式第1課時

一元二次不等式的解法

問題1:

園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個矩形區(qū)域種植花卉．若柵欄的長度是24ｍ，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于20ｍ２，則這個矩形的邊長為多少米？

分析:

設(shè)這個矩形的一條邊長為xm，則另一條邊長為(12-x)m.

由題意，得(12-x)x>20，

整理得

解出以上這個不等式即可得到結(jié)果引入其中x∈{x|0<x<12}x2-12x+20<0，

x∈{x|0<x<12｝

思考1:

與一元一次不等式進行類比，這個不等式有何特點?只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2

思考2:

結(jié)合一元一次不等式的定義，你能否給這個新不等式取不名稱，并給出這種不等式的一般形式？例如-x2+2x+1>0，2x2+3x>0

,x2-4<0等

1.定義:

一般地，我們把含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式，叫做一元二次不等式。一元二次不等式

2.一元二次不等式的一般形式

ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)其中a,b,c為常數(shù)

對于這類不等式應(yīng)怎樣來解它呢

?這就是我們接下來要學(xué)習的內(nèi)容探究新知(一)

問題2:

在初中，我們學(xué)習了從一次函數(shù)的觀點看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．類似地，能否從二次函數(shù)的觀點看一元二次不等式，進而得到一元二次不等式的求解方法呢？思考2：當P點縱坐標為0時,如何求P點橫坐標?

xyOy=x2-12x+20

在平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)

y=x2-12x+20的圖象(右圖)P(x,y)

思考1：設(shè)P(x,y)是圖象上的一個動點

,當P移動到x軸上方,x軸上和x軸下方時,P點縱坐標y的符號是怎樣的？P(x,y)P(x,y)P在x軸上方時:y>0P在x軸上時:y=0P在x軸下方時:y<0P(x,0)解方程x2-12x+20=0得x=2或10

思考3：一元二次方程x2-12x+20=0的根與二次函數(shù)y=x2-12x+20有何關(guān)系?

210方程x2-12x+20=0的根2和10就是

函數(shù)y=x2-12x+20上縱坐標為0點的橫坐標

思考4：函數(shù)y=x2-12x+20的兩個零點2和10將x軸分成三段,每一段(不含零點)對應(yīng)的函數(shù)圖象有何特點？對應(yīng)的函數(shù)值的范圍又如何?y>0函數(shù)圖象在x軸上方,xyOy=x2-12x+20210二次函數(shù)的零點

一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．當x<2或x>10時:y<0函數(shù)圖象在x軸下方,當2<x<10時:

思考4:你能從圖象上看出不等式x2-12x+20<0的解集嗎?x2-12x+20<0就是y<0,而y<0時,2<x<10∴不等式x2-12x+20<0的解集為{x|2<x<10}判別式△=b2-4ac△>0△=0△<0y=ax2+bx+c(a>0)的圖象ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集yxOx1x2xyOyxOx1=x2

問題3:

上述方法可以推廣到求一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c<0(a＞0)的解集嗎？

對于一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)、一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)、以及與相對應(yīng)的函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)之間是否也具有類似的關(guān)系？

你能完成下表嗎？探究新知(二)判別式△=b2-4ac△>0△=0△<0y=ax2+bx+c(a>0)的圖象ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集有兩相異實根x1,x2(x1<x2){x|x<x1,或x>x2}{x|x1<x<x2}有兩相等實根

x1=x2={x|x≠}x1x2xyOyxO??R沒有實根yxOx1=x2二次函數(shù)、一元二次方程、不等式間的關(guān)系例1.求不等式x2－5x＋6＞0的解集.畫出y＝x2－5x＋6的大致圖象由圖象得，x2－5x＋6＞0的解集為{x|x＜2，或x＞3}．例析由x2－5x＋6＝0得Δ=(-5)2-4×1×6=1＞0∴方程有兩個實數(shù)根,解此方程得x1＝2，x2＝3，解：思考：x2－5x＋6<0的解集是什么？

x2－5x＋6≤0呢？

{x|2<x＜3}{x|2≤x≤

3}例2.求不等式9x2－6x＋1＞0的解集.畫出y＝9x2－6x＋1的大致圖象由圖象得，由9x2－6x＋1=0得Δ=(-6)2-4×9×1=0∴方程有兩個相等實數(shù)根解：思考1：9x2－6x＋1≥0

的解集是什么？

思考2：9x2－6x＋1<0

的解集是什么？

9x2－6x＋1≤0呢？

R例3.求不等式－x2＋2x－3＞0的解集.畫出y＝x2-2x+3的大致圖象由x2-2x+3=0得Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0∴方程沒有實數(shù)根解：思考1：－x2＋2x－3＞0的解集為什么不是R？

思考2：－x2＋2x－3<0

的解集是什么？∵我們首先將－x2＋2x－3＞0化成與之等價的不等式x2-2x+3<0，作的也是y＝x2-2x+3的圖象

∴

利用y＝x2-2x+3的圖象取解集時應(yīng)看對應(yīng)的不等式x2-2x+3<0。

事實上，若直接畫出y=－x2＋2x－3的圖象，其開口是向下的。原不等式可化為x2-2x+3<0由圖象得，－x2＋2x－3＞0的解集為因為我們作的是y＝x2-2x+3的圖象，此時－x2＋2x－3＞0已被化成的解集為什么不是R？

R思考3：如何求x2系數(shù)a為負的一元二次不等式的解集？因為我們作的是y＝x2-2x+3的圖象，此時－x2＋2x－3＞0已被化成的解集為什么不是R？

對于二次項系數(shù)是負數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項系數(shù)化成正數(shù)，再求解.

思考4：根據(jù)以上三個例題，你能歸納出解一元二次不等式的主要步驟嗎？解一元二次不等式的主要步驟(1)檢查二次項系數(shù)

將不等式化為一般形式，并檢查二次項系數(shù)

a的正負，對于a<0的不等式，將a化為正數(shù)。(2)解對應(yīng)的方程

若?≥0，求出方程ax2+bx+c=0的根;

若?<0，則方程ax2+bx+c=0無根。(3)畫圖象

畫出對應(yīng)函數(shù)y=ax2+bx+c的大致圖象。(4)取解集

根據(jù)圖象寫出對應(yīng)不等式的解集:有根時：大于取兩邊，小于取中間，等于取根點無根時：大于取R，小于取Φ查系數(shù)解方程畫圖象取解集將原不等式化為ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的形式計算Δ=b2-4ac的值.方程ax2＋bx＋c=0有兩個不相等的實數(shù)根，解得x1，x2（x1＜x2）方程ax2＋bx＋c=0有兩個相等的實數(shù)根，解得方程ax2＋bx＋c=0沒有實數(shù)根原不等式的解集為{x|x＜x1，或x＞x2}原不等式的解集為原不等式的解集為RΔ＞0Δ=0Δ<0

思考5：根你能以能化為ax2＋bx＋c＞0為例，用框圖來表示求其解集的具體過程嗎？(教材P53第1題）練習(教材P53第2題)課堂小結(jié)

2.說說二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系是怎樣的？1.本節(jié)課我們是如何來研究一元二次不等式的解法的？

從實際問題入手，利用函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，求出不等式的解集，再把這種方法推廣到一般情況，得到解一元二次不等式的方法。一元二次方程ax2+bx+c=0的根二次函數(shù)y=ax2+bx+c設(shè)y=0一元二次方程ax2+bx+c=0設(shè)y≠0一元二次不等式ax2+bx+c<0(或>0)右邊化為0，左邊設(shè)為y二次函數(shù)函數(shù)y=ax2+bx+c的零點（1）形式上(2)數(shù)值上一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）解集的端點判別式△=b2-4ac△>0△=0△<0y=ax2+bx+c(a>0)的圖象ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集有兩相異實根x1,x2(x1<x2){x|x<x