安徽省合肥市2022年高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列中,,若對于任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.2.計(jì)算等于()A. B. C. D.3.設(shè)集合則()A. B. C. D.4.已知直線過圓的圓心,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.45.對某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測試中的成績(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖,下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分析.①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性,故平均成績?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績在區(qū)間110,120內(nèi);③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān);④乙同學(xué)連續(xù)九次測驗(yàn)成績每一次均有明顯進(jìn)步.其中正確的個數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.16.若函數(shù)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是()A. B. C. D.7.將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官,每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案種數(shù)是()A.18種 B.36種 C.54種 D.72種8.若實(shí)數(shù)x,y滿足條件,目標(biāo)函數(shù),則z的最大值為()A. B.1 C.2 D.09.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位10.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為A. B.C. D.11.已知向量,,若,則()A. B. C. D.12.已知為拋物線的準(zhǔn)線,拋物線上的點(diǎn)到的距離為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值是__.14.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點(diǎn)F,兩曲線的一個交點(diǎn)為P,若|FP|=5,則點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為_____.15.已知曲線,點(diǎn),在曲線上,且以為直徑的圓的方程是.則_______.16.甲、乙兩人同時參加公務(wù)員考試,甲筆試、面試通過的概率分別為和;乙筆試、面試通過的概率分別為和.若筆試面試都通過才被錄取,且甲、乙錄取與否相互獨(dú)立,則該次考試只有一人被錄取的概率是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)平面中,已知的頂點(diǎn),,為平面內(nèi)的動點(diǎn),且.(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與交于,兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,證明:直線過軸上的定點(diǎn).18.(12分)已知在中,角,,的對邊分別為,,,且.(1)求的值;(2)若,求面積的最大值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線、交于、兩點(diǎn),是曲線上的動點(diǎn),求面積的最大值.20.(12分)如圖,三棱柱中,平面,,,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)某生物硏究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律,據(jù)統(tǒng)計(jì)該地區(qū)蜻蜓有兩種,且這兩種的個體數(shù)量大致相等,記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長(單位:)分別為隨機(jī)變量,其中服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布.(Ⅰ)從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉一只,求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間的概率;(Ⅱ)記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機(jī)變量,若用正態(tài)分布來近似描述的分布,請你根據(jù)(Ⅰ)中的結(jié)果,求參數(shù)和的值(精確到0.1);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉3只,記這3只中翼長在區(qū)間的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望(分布列寫出計(jì)算表達(dá)式即可).注:若,則,,.22.(10分)已知拋物線:()的焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.(1)求拋物線的方程;(2)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,點(diǎn)、分別在第一和第二象限內(nèi),求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

先根據(jù)題意,對原式進(jìn)行化簡可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立,再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題,即由累加法可得:即對于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用,屬于綜合性較強(qiáng)的題目,解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項(xiàng)公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù),屬于難題.2.A【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值,結(jié)合對數(shù)運(yùn)算,求得所求表達(dá)式的值.【詳解】原式.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式,考查對數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】

直接求交集得到答案.【詳解】集合,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡單題.4.D【解析】

圓心坐標(biāo)為,代入直線方程,再由乘1法和基本不等式,展開計(jì)算即可得到所求最小值.【詳解】圓的圓心為,由題意可得,即,,,則,當(dāng)且僅當(dāng)且即時取等號,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查最值的求法,注意運(yùn)用乘1法和基本不等式,注意滿足的條件:一正二定三等,同時考查直線與圓的關(guān)系,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】

利用圖形,判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性,成績的比較,說明正誤即可.【詳解】①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性,最高130分,平均成績?yōu)榈陀?30分,①錯誤;②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績在區(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān),③正確;④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測驗(yàn)中第四次、第七次成績較上一次成績有退步,故④不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用,線性相關(guān)以及平均分的求解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】因?yàn)閷不符合定義域當(dāng)中的每一個元素都有象,即可排除;對B滿足函數(shù)定義,故符合;對C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個元素對應(yīng)值域當(dāng)中的兩個元素的情況,不符合函數(shù)的定義,從而可以否定;對D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒有原象,故可否定.故選B.7.B【解析】

把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn),則不同的分配方案有種.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實(shí)數(shù)x,y滿足條件,目標(biāo)函數(shù)如圖:當(dāng)時函數(shù)取最大值為故答案選C【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)的最值:當(dāng)時,直線過可行域且在軸上截距最大時,值最大,在軸截距最小時,z值最??;當(dāng)時,直線過可行域且在軸上截距最大時,值最小,在軸上截距最小時,值最大.9.D【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可;【詳解】解:函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率,利用數(shù)形結(jié)合即可得到的最小值.【詳解】解:作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率,當(dāng)位于時,此時的斜率最小,此時.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點(diǎn)之間的斜率公式的計(jì)算,利用z的幾何意義,通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.11.A【解析】

利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得,,,,解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行定理,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】

設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,由題意利用拋物線的定義可得,當(dāng)共線時,取得最小值,由此求得答案.【詳解】解:拋物線焦點(diǎn),準(zhǔn)線,過作交于點(diǎn),連接由拋物線定義,

,

當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時,取“=”號,∴的最小值為.

故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2【解析】

由題,得,然后根據(jù)純虛數(shù)的定義,即可得到本題答案.【詳解】由題,得,又復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以,解得.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.14.【解析】

設(shè)點(diǎn)為,由拋物線定義知,,求出點(diǎn)P坐標(biāo)代入雙曲線方程得到的關(guān)系式,求出雙曲線的漸近線方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2,0),因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線y2=8x上,|FP|=5,設(shè)點(diǎn)為,由拋物線定義知,,解得,不妨取P(3,2),代入雙曲線-=1,得-=1,又因?yàn)閍2+b2=4,解得a=1,b=,因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線為y=±x,由點(diǎn)到直線的距離公式可得,點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力和知識遷移能力;靈活運(yùn)用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.15.【解析】

設(shè)所在直線方程為設(shè)?點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,都在上,代入曲線方程,兩式作差可得,從而可得直線的斜率,聯(lián)立直線與的方程,由,利用弦長公式即可求解.【詳解】因?yàn)槭菆A的直徑,必過圓心點(diǎn),設(shè)所在直線方程為設(shè)?點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,都在上,故兩式相減,可得(因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)),即聯(lián)立直線與的方程:又,即,即又因?yàn)?,則有即∴.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長公式,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,綜合性比較強(qiáng),屬于中檔題.16.【解析】

分別求得甲、乙被錄取的概率,根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】甲被錄取的概率;乙被錄取的概率;只有一人被錄取的概率.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的求解問題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)();(2)證明見解析.【解析】

(1)設(shè)點(diǎn),分別用表示、表示和余弦定理表示,將表示為、的方程,再化簡即可;(2)設(shè)直線方程代入的軌跡方程,得,設(shè)點(diǎn),,,表示出直線,取,得,即可證明直線過軸上的定點(diǎn).【詳解】(1)設(shè),由已知,∴,∴(),化簡得點(diǎn)的軌跡的方程為:();(2)由(1)知,過點(diǎn)的直線的斜率為0時與無交點(diǎn),不合題意故可設(shè)直線的方程為:(),代入的方程得:.設(shè),,則,,.∴直線:.令,得.直線過軸上的定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡方程的求法、余弦定理的應(yīng)用和利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系求定點(diǎn)問題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.18.(1);(2).【解析】分析:(1)在式子中運(yùn)用正弦、余弦定理后可得.(2)由經(jīng)三角變換可得,然后運(yùn)用余弦定理可得,從而得到,故得.詳解:(1)由題意及正、余弦定理得,整理得,∴(2)由題意得,∴,∵,∴,∴.由余弦定理得,∴,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.∴.∴面積的最大值為.點(diǎn)睛:(1)正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查,解題時要注意整體代換的應(yīng)用,如余弦定理中常用的變形,這樣自然地與三角形的面積公式結(jié)合在一起.(2)運(yùn)用基本不等式求最值時,要注意等號成立的條件,在解題中必須要注明.19.(1),;(2).【解析】

(1)在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù),可得出曲線的普通方程,將曲線的極坐標(biāo)方程變形為,進(jìn)而可得出曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)求出點(diǎn)到直線的最大距離,以及直線截圓所得弦長,利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程得,.所以,曲線的普通方程為,將曲線的極坐標(biāo)方程變形為,所以,曲線的直角坐標(biāo)方程為;(2)曲線是圓心為,半徑為為圓,圓心到直線的距離為,所以,點(diǎn)到直線的最大距離為,,因此,的面積為最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)換,同時也考查了直線截圓所形成的三角形面積最值的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20.(1)詳見解析;(2).【解析】

(1)連接,,則且為的中點(diǎn),又∵為的中點(diǎn),∴,又平面,平面,故平面.(2)由平面,得,.以為原點(diǎn),分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,.取平面的一個法向量為,由,得:,令,得同理可得平面的一個法向量為∵平面平面,∴解得,得,又,設(shè)直線與平面所成角為,則.所以,直線與平面所成角的正弦值是.21.(Ⅰ);(Ⅱ),;(Ⅲ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ)由題知這只蜻蜓是

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