陜西省咸陽彩虹中學(xué)2021-2022學(xué)年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，則=（）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)的模為（）．A． B．1 C．2 D．3．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．4．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自內(nèi)切圓的概率是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，則（）A． B． C． D．6．已知集合，，則（）A． B．C．或 D．7．命題“”的否定是（）A． B．C． D．8．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限9．2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個合唱隊(duì)每場比賽得分的莖葉圖如圖所示（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）.若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86，乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88，則（）A．170 B．10 C．172 D．1210．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．11．設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn)，則的面積為（）A． B． C．5 D．612．世紀(jì)產(chǎn)生了著名的“”猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半；如果是奇數(shù)，則將它乘加，不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到.如圖是驗(yàn)證“”猜想的一個程序框圖，若輸入正整數(shù)的值為，則輸出的的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若變量，滿足約束條件則的最大值是______.14．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．15．設(shè)、分別為橢圓：的左、右兩個焦點(diǎn)，過作斜率為1的直線，交于、兩點(diǎn)，則________16．如圖，在體積為V的圓柱中，以線段上的點(diǎn)O為項(xiàng)點(diǎn)，上下底面為底面的兩個圓錐的體積分別為，，則的值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的圖象在處的切線方程為.（1）求常數(shù)的值；（2）若方程在區(qū)間上有兩個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的值.18．（12分）已知函數(shù)．當(dāng)時，求不等式的解集；，，求a的取值范圍．19．（12分）如圖，已知正方形所在平面與梯形所在平面垂直，BM∥AN，，，．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)N到平面CDM的距離．20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若不等式的解集為，求的值.（2）若當(dāng)時，，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線存在與軸垂直的切線，求的取值范圍.（2）當(dāng)時，證明：.22．（10分）已知函數(shù).（1）若，且，求證：；（2）若時，恒有，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

先計(jì)算集合，再計(jì)算，最后計(jì)算．【詳解】解：，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交，補(bǔ)混合運(yùn)算，注意分清集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．2．D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【詳解】解：，復(fù)數(shù)的模為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題．3．B【解析】

由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】函數(shù)，可得，時，，單調(diào)遞增，∵，故不等式的解集等價于不等式的解集．．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.4．C【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為，所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計(jì)算問題，其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.5．A【解析】

畫出函數(shù)的圖像，函數(shù)對稱軸方程為，由圖可得與關(guān)于對稱，即得解.【詳解】函數(shù)的圖像如圖，對稱軸方程為，，又，由圖可得與關(guān)于對稱，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.6．D【解析】

首先求出集合，再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：∵，解得∴，∴.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進(jìn)行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“,”的否定是：，．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.8．C【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，寫出共軛復(fù)數(shù)，寫出共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即得【詳解】解析：，，對應(yīng)點(diǎn)為，在第三象限．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵．9．D【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從小（大）到大（?。┡帕泻?，處在最中間的那個數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為，故；乙的平均數(shù)為，解得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識，是一道容易題.10．A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是減函數(shù)，（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，故當(dāng)x=﹣1時，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1時，等號成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r成立時，等號成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故選：A．11．A【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出過點(diǎn)與的一條漸近線的平行的直線方程，通過解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中：，因此右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為：，根據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性不妨設(shè)點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn)，所以直線的斜率為，因此直線方程為：，因此點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組：的解，解得方程組的解為：，即，所以的面積為：.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用，考查了兩直線平行的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12．C【解析】

列出循環(huán)的每一步，可得出輸出的的值.【詳解】，輸入，，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)不成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，成立，跳出循環(huán)，輸出的值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．9【解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形，即可求出的最大值.【詳解】做出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時取得最大值，聯(lián)立，解得，即，所以最大值為9.故答案為:9.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，湊而可知的圖象在過原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間；利用過一點(diǎn)的曲線切線的求法可求得兩切線斜率，結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可知：，恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，即恒成立，，即是夾在函數(shù)與的圖象之間，的圖象在過原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設(shè)過原點(diǎn)且與相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn)，則切線斜率，解得：；設(shè)過原點(diǎn)且與相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn)，則切線斜率，解得：；當(dāng)時，，又，滿足題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問題的求解，重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過一點(diǎn)的曲線切線的求解方法；關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題；易錯點(diǎn)是忽略分母不為零的限制，忽略對于臨界值能否取得的討論.15．【解析】

由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長，利用定義可得，進(jìn)而求出?！驹斀狻坑芍?，焦點(diǎn)，所以直線：，代入得，即，設(shè)，，故由定義有，，所以?！军c(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義、橢圓的簡單幾何性質(zhì)、以及直線與橢圓位置關(guān)系中弦長的求法，注意直線過焦點(diǎn)，位置特殊，采取合適的弦長公式，簡化運(yùn)算。16．【解析】

根據(jù)圓柱的體積為，以及圓錐的體積公式，計(jì)算即得.【詳解】由題得，，得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐體的體積，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）或.【解析】

（1）求出，由，建立方程求解，即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，做出函數(shù)在的圖象，即可求解.【詳解】（1），由題意知，解得（舍去）或.（2）當(dāng)時，故方程有根，根為或，+0-0+極大值極小值由表可見，當(dāng)時，有極小值0.由上表可知的減函數(shù)區(qū)間為，遞增區(qū)間為，.因?yàn)椋?由數(shù)形結(jié)合可得或.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.18．（1）；（2）.【解析】

（1）當(dāng)時，，①當(dāng)時，，令，即，解得，②當(dāng)時，，顯然成立，所以，③當(dāng)時，，令，即，解得，綜上所述，不等式的解集為．（2）因?yàn)椋驗(yàn)?，有成立，所以只需，解得，所以a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．19．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）因?yàn)檎叫蜛BCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，平面平面，，所以平面ABMN，因?yàn)槠矫鍭BMN，平面ABMN，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谥苯翘菪蜛BMN中，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以平面．?）如圖，取BM的中點(diǎn)E，則，又BM∥AN，所以四邊形ABEN是平行四邊形，所以NE∥AB，又AB∥CD，所以NE∥CD，因?yàn)槠矫鍯DM，平面CDM，所以NE∥平面CDM，所以點(diǎn)N到平面CDM的距離與點(diǎn)E到平面CDM的距離相等，設(shè)點(diǎn)N到平面CDM的距離為h，由可得點(diǎn)B到平面CDM的距離為2h，由題易得平面BCM，所以，且，所以，又，所以由可得，解得，所以點(diǎn)N到平面CDM的距離為．20．（1）；（2）【解析】試題分析：（1）求得的解集，根據(jù)集合相等，列出方程組，即可求解的值；（2）①當(dāng)時，恒成立，②當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求得函數(shù)的最小值，即可求解的取值范圍.試題解析：（1）由，得，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，故不等式可化為，解得，所以，解?（2）①當(dāng)時，恒成立，所以.②當(dāng)時，可化為，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，所以.綜上，的取值范圍是.21．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）在上有解，，設(shè)，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值，得到答案.（2）證明，只需證，記，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值，得到證明.【詳解】（1）由題可得，在上有解，則，令，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.所以是的最大值點(diǎn)，所以.（2）由，所以，要證明，只需證，即證.記在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以是的最小值點(diǎn)，，則，故.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，證明不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和轉(zhuǎn)化能力.22．（1）見解析；（2）.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并設(shè)，則，，將不等式等價轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，通過推導(dǎo)出來證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，對實(shí)數(shù)分、、，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，再通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，可得出的最大值.【詳解】（1），，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，