初三銳角三角函數(shù)知識點與典型例題

銳角三角函數(shù)：例1．以下列圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．第1題圖①sinA()＝______，sinB()＝______；斜邊斜邊②cosA()＝______，cosB()＝______；斜邊斜邊③tanA()＝______，tanBB的對邊＝______．()A的鄰邊例2.銳角三角函數(shù)求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，則c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．例3．已知：如圖，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R點，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．典型例題：種類一：直角三角形求值1．已知Rt△ABC中，C90,tanA3求AC、AB和cosB．,BC12,42．已知：如圖，⊙3O的半徑OA＝16cm，OC⊥AB于C點，sinAOC4求：AB及OC的長．33．已知：⊙O中，OC⊥AB于C點，AB＝16cm，sinAOC5(1)求⊙O的半徑OA的長及弦心距OC；(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．4.已知A是銳角，sinA8，求cosA，tanA的值17對應(yīng)訓(xùn)練：3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，則tanA的值為5251D．2A．B．5C．525．在△ABC中，∠C=90°，sinA=3，那么tanA的值等于（）.5A．3B.4C.3D.45543種類二.利用角度轉(zhuǎn)變求值：1．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC邊上一點，DE⊥AB于E點．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．2．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C(0，5)和點O(0，0)，與x軸的正半軸交于點D，B是y軸右邊圓弧上一點，則cos∠OBC的值為（）1334A．B．C．D．2255yCAODxB第8題圖3.如圖，角的極點為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA上有一點P（3，4），則sin．4.如圖，菱形ABCD的邊長為10cm，DE⊥AB，sinA3cm2．，則這個菱形的面積=55.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，若⊙O的半徑為3，AC2，則2sinB的值是（）A．23343B．C．D．2436.如圖4，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點D落在BC邊的點F處．已知AB8，BC10，AB=8,則tan∠EFC的值為()ADEＡ．3Ｂ．434BFC4Ｃ．Ｄ．3557.如圖6，在等腰直角三角形ABC中，C90，AC6，D為AC上一點，若tanDBA1，則AD的長為( )5A．2B．2C．1D．228.如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的均分線AD=163求∠B的度3數(shù)及邊BC、AB的長.ACBD圖6種類三.化斜三角形為直角三角形例1如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的長．1例2．已知：如圖，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，sinA3(1)求AB邊上的高CD；(2)求△ABC的面積S；(3)求tanB．例3．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．對應(yīng)訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D在BC邊上，且△ABD是等邊三角形．若AB=2，求△ABC的周長．（結(jié)果保留根號）2．已知：如圖，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面積等于9，求sinB．3.ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，則△ABC的面積是A.23cm2B.43cm2C.63cm2D.12cm2種類四：利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形例1以下列圖，△ABC的極點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（）A．1B．5C．10D．2525105對應(yīng)練習(xí)：1．如圖，△ABC的極點都在方格紙的格點上，則sinA=_______.CAB2．如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)絡(luò)線的交點處，若將ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)獲得AC'B'，則tanB'的值為11C.1A.B.D.14323．正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則tan∠AOB的值是（）5251AA．5B.5C.2D.2OB特別角的三角函數(shù)值銳角?

30°

45°

60°sin?cos?tan?當(dāng)時，正弦和正切值隨著角度的增大而例1．求以下各式的值．

余弦值隨著角度的增大而1）.計算：

2cos30

2sin45

tan60

．2）計算：tan60sin2452cos30.計算：3－1+(2π－1)0－3tan30°－tan45°304．計算：12cos60sin453tan30．225．計算：tan45sin30；1cos60例2．求合適以下條件的銳角??．1(2)tan3(1)cos32(3)sin226cos(16)33(4)2（5）已知??為銳角，且tan(300)3，求tan的值（6）在ABC中，若12)20，，都是銳角，求的度(sinBABC22數(shù).例3.三角函數(shù)的增減性1．已知∠A為銳角，且sinA<1，那么∠A的取值范圍是2A.0<°A<30°B.30<°A＜60°C.60<°A<90°D.30<°A<90°2.已知A為銳角，且cosAsin300，則（）A.0<°A<60°B.30<°A<60°C.60<°A<90°D.30<°A<90°例4.三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用1．已知：如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，sinA求此菱形的周長．

12132．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC3，作∠DAC＝30°，AD交CB于點，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．3.已知：如圖△ABC中，D為BC中點，且∠BAD＝90°，tanB1，求：sin∠CAD、cos3∠CAD、tan∠CAD．4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB3，點D在BC邊上，DC=AC5=6，求tan∠BAD的值．ABCD5.如圖，△ABC中，∠A=30°，tanB3，AC43．求2AB的長.CAB解直角三角形：1．在解直角三角形的過程中，一般要用的主要關(guān)系以下(以下列圖)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三邊之間的等量關(guān)系：________________________________．②兩銳角之間的關(guān)系：__________________________________．③邊與角之間的關(guān)系：sinAcosB______；tanA1_____；tanB

cosAsinB1tanBtanA

_______；______．④直角三角形中成比率的線段(以下列圖)．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．種類一例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．(1)已知：a＝35，c352，求∠A、∠B，b；(2)已知：a23，b2，求∠、∠，；ABc2(3)已知：sinA，c6，求a、b；3(4)已知：tanB

3,b2

9,

求a、c；(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面積S123,求a、b、c及∠B．例2．已知：如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的長．例3．已知：如圖，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的長．例4．已知：如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的長．種類二：解直角三角形的實質(zhì)應(yīng)用仰角與俯角：例1．（2012?福州）如圖，從熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別是30°、45°，若是此時熱氣球C處的高度CD為100米，點A、D、B在同素來線上，則AB兩點的距離是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．已知：如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時，梯子的頂端在B點；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在D點．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．點D到地面的垂直距離DE32m，求點B到地面的垂直距離BC．例3如圖，一風(fēng)力發(fā)電裝置直立在小山頂上，小山的高BD=30m．從水平面上一點C測得風(fēng)力發(fā)電裝置的頂端A的仰角∠DCA=60°，測得山頂B的仰角∠DCB=30°，求風(fēng)力發(fā)電裝置的高AB的長．例4.如圖，小聰用一塊有一個銳角為30的直角三角板丈量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距33米，小聰身高AB

C為1.7米，求這棵樹的高度.

ADBE例5．已知：如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測得河對岸點C的俯角為30°，測得岸邊點D的俯角為45°，又知河寬CD為50m．現(xiàn)需從山頂A到河對岸點C拉一條筆挺的纜繩AC，求山的高度及纜繩AC的長(答案可帶根號)．例5．（2012?泰安）如圖，為丈量某物體AB的高度，在體AB方向前進(jìn)20米，到達(dá)點C，再次測得點A的仰角為

D點測得A點的仰角為30°，朝物60°，則物體AB的高度為（）A．10米B．10米C．20米D．米例6．（2012?益陽）超速行駛是惹起交通事故的主要原由之一．上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速．如圖，察看點設(shè)在A處，離益陽大道的距離（AC）為30米．這時，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從B處行駛到C地方用的時間為8秒，∠BAC=75．°（1）求B、C兩點的距離；（2）請判斷此車可否高出了益陽大道60千米/小時的限制速度？（計算時距離精確到1米，參照數(shù)據(jù)：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，千米/小時≈16.7米/秒）種類四.坡度與坡角例．如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：3，堤壩高BC=50m，則應(yīng)水坡面AB的長度是（）A．100mB．1003mC．150mD．503m種類五.方向角1．已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得燈塔M在北偏西30°，貨輪以每小時20海里的速度航行，1小時后到達(dá)B處，測得燈塔M在北偏西45°，問該貨輪持續(xù)向北航行時，與燈塔M之間的最短距離是多少?(精確到0.1海里，31.732)2．新聞鏈接，據(jù)[僑報網(wǎng)訊]外國炮艇在南海追襲中國漁船被中國漁政逼退2012年5月18日，某國3艘炮艇追襲5條中國漁船．方才完成黃巖島護(hù)漁任務(wù)的“中國漁政310”船人船未歇立刻追往北緯11度22分、東經(jīng)110度45分周邊海域護(hù)漁，保護(hù)100多名中國漁民免受財富損失和人身損害．某國炮艇發(fā)現(xiàn)中國目前最初進(jìn)的漁政船正在快速馳救中國漁船，立刻掉頭走開．（見圖1）解決問題如圖2，已知“中國漁政310”船（A）接到陸地指揮中心（B）命令時，漁船（C）位于陸地指揮中心正南方向，位于“中國漁政310”船西南方向，“中國漁政310”船位于陸地指揮中心南偏東60°方向，AB=海里，“中國漁政310”船最大航速20海里/時．依據(jù)以上信息，請你求出“中國漁政310”船趕往失事地址需要多少時間．綜合題：三角函數(shù)與四邊形：1．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，6tan∠BDC=3．求BD的長；求AD的長．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A分別作AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．1）求證：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=24，sinBAE355

，求CF的長．三角函數(shù)與圓：1．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C(0，5)和點O(0，0)，與x軸的正半軸交于點D，B是y軸右邊圓弧上一點，則cos∠OBC的值為（）1B．334A．2C．D．255yCAODxB第8題圖19.已知：在⊙O中,AB是直徑，CB是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點D,(1)求證：∠AOD=2∠CCDABO4(2)若AD=8，tanC=3

，求⊙O的半徑。21.如圖，DE是⊙O的直徑，CE與⊙O相切，E為切點.連接CD交⊙O于點B，在EC上取一個點F，使EF=BF.（1）求證:BF是⊙O的切線;4（2）若cosC,DE=9，求BF的長．5

EODFBC作業(yè)：1．已知sinA1，則銳角A的度數(shù)是2A．75B．60C．45D．302．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，則tanA的值為A．5251D．2B．5C．52．在△中，∠°，sinA=3，那么tanA的值等于（）.3ABCC=905AA．343D.4B.C.55433，則銳角.BC4.若sin＝21．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2，則tanB的值是2B．3C．25213A．25D．1335．將∠α放置在正方形網(wǎng)格紙中，地址以下列圖，則tanα的值是A．1B．2C．5D．25α2255.△ABC在正方形網(wǎng)格紙中的地址以下列圖，則sin的值是33A.B.5444C.D.354．如圖，在直角三角形ABC中，斜邊AB的長為m，B40o，則直角邊BC的長是（）A．msin40oB．mcos40oC．mtan40oD．mtan40o1．如圖，已知P是射線OB上的任意一點，PM⊥OA于M，且OM:OP=4:5，則cosα的值等于（B）PA．3443B．C．D．α4355O第1題圖MA6．如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，若OB長為10，cosBOD3，則AB的長是5A.20B.16C.12D.87.在Rt△ABC中，∠C=90°，若是cosA=4，那么tanA的值是535C．34A．B．4D．53311．如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ADC=90，°若sinA=3，則cos∠BCD的值為．5CABD13.計算：2cos302sin45tan6013．計算2sin602cos453tan30tan45.13．計算：2sin60o4cos230o+sin45otan60o．14.如圖，小聰用一塊有一個銳角為30的直角三角板丈量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距33米，小聰身高AB為

C1.7米，求這棵樹的高度.

ADBE15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=46，b=122.解這個直角三角形20.如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的均分線，tanB=1，求CD的值．2BDCDAB19.已知：在⊙O中,AB是直徑，CB是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點D,C求證：∠AOD=2∠C若AD=8，tanC=4，求⊙O的半徑。D3ABO19．如圖，某同學(xué)在樓房的A處測得荷塘的一端B處的俯角為30，荷塘另一端D處C、B在同一條直線上，已知AC32米，CD16米，求荷塘寬BD為多少米？（結(jié)果保留根號）18.如圖，在△ABC中，點O在AB上，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過A，C兩點，交AB于點D，已知2∠A+∠B=90．1）求證：BC是⊙O的切線；2）若OA=6，BC=8，求BD的長．1）證明：2）解：

CAODB第18題圖15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在AC邊上．若DB=6，AD=1CD，sin∠CBD=2，23求AD的長和tanA的值．18．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它計劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處.（1）B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（2）圓形暗礁地域的圓心位于

PB的延長線上，距離燈塔

200海里的

O處．已知圓形暗礁地域的半徑為

50海里，進(jìn)入圓形暗礁地域就有觸礁的危險．請判斷若海輪到達(dá)

B處可否有觸礁的危險，并說明原由．22．已知，如圖，在△ADC中，ADC90，以DC為直徑作半圓eO，交邊AC于點