【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第1輪總復(fù)習(xí) 全國(guó)統(tǒng)編教材 12.5導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（第3課時(shí)）課件 理

第十二章極限與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第講5（第三課時(shí)）1題型6利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1.證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式都成立.證明：令函數(shù)f(x)=x3-x2+ln(x+1)，則.所以當(dāng)x∈［0，+∞)時(shí)，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)在［0，+∞)上單調(diào)遞增.又f(0)=0，2所以，當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，恒有f(x)＞f(0)=0，即x3＞x2-ln(x+1)恒成立.故當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，有l(wèi)n(x+1)＞x2-x3.對(duì)任意正整數(shù)n，取

∈(0，+∞)，則有

，所以結(jié)論成立.點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，一般是先根據(jù)不等式的形式構(gòu)造相對(duì)應(yīng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)的單調(diào)性或最值，進(jìn)一步得到所需結(jié)論.3已知m，n是正整數(shù)，且2≤m＜n.證明：(1+m)n＞(1+n)m.證明：不等式可化為nln(1+m)＞mln(1+n)，即設(shè)

則4因?yàn)閤≥2，所以ln(1+x)≥ln3＞1.所以f

′(x)＜0，從而f(x)為減函數(shù).因?yàn)閚＞m≥2，所以f(n)＜f(m)，即故(1+m)n＞(1+n)m.5題型7利用導(dǎo)數(shù)解決方程根的問(wèn)題2.設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+m)，其中m為常數(shù).求證:當(dāng)m＞1時(shí)，方程f(x)=0在區(qū)間［e-m-m，e2m-m］內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根.證明：當(dāng)m＞1時(shí)，f(1-m)=1-m＜0，f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m＞0，f(e2m-m)=e2m-m-lne2m=e2m-3m.6令g(m)=e2m-3m(m＞1)，則g′(m)=2e2m-3＞0.所以g(m)在(1，+∞)上為增函數(shù)，從而g(m)＞g(1)=e2-3＞0，即f(e2m-m)＞0.所以f(e-m-m)f(1-m)＜0，f(e2m-m)f(1-m)＜0.因?yàn)閒(x)為連續(xù)函數(shù)，所以存在x1∈(e-m-m，1-m)，x2∈(1-m，e2m-m)，使f(x1)=0，f(x2)=0.故方程f(x)=0在區(qū)間［e-m-m，e2m-m］內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根.7點(diǎn)評(píng)：方程根的問(wèn)題，一是可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，再結(jié)合圖象的性質(zhì)觀察交點(diǎn)情況，由圖象直觀地得出相應(yīng)的結(jié)論；二是利用性質(zhì)f(a)f(b)＜0(a<b，且f(x)在區(qū)間(a，b)上是連續(xù)函數(shù))，則方程f(x)=0在(a，b)上至少有一個(gè)根.8已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=x.若關(guān)于x的方程

g(x2)-f(1+x2)=k有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：令則由φ′(x)＞0，得x(x+1)(x-1)＞0，所以-1＜x＜0或x＞1.由φ′(x)＜0，得x＜-1或0＜x＜1.9所以φ(x)在(-∞，-1)，(0，1)上是減函數(shù)，在(-1，0)，(1，+∞)上是增函數(shù).從而φ(0)=0為φ(x)的極大值，φ(-1)=φ(1)=-ln2為φ(x)的極小值且φ(x)為偶函數(shù).由此可得函數(shù)y=φ(x)的草圖如右.若方程φ(x)=k有四個(gè)不同的實(shí)根，則直線y=k與曲線y=φ(x)有四個(gè)不同的公共點(diǎn).由圖知，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-ln2，0).103.某分分公司經(jīng)銷銷某種品牌牌產(chǎn)品，每每件產(chǎn)品的的成本為3元，并且且每件產(chǎn)品品需向總公公司交a元(3≤a≤5)的管管理費(fèi)，預(yù)預(yù)計(jì)當(dāng)每件件產(chǎn)品的售售價(jià)為x元(9≤x≤11)時(shí)時(shí)，一年的的銷售量為為(12-x)2萬(wàn)件.(1)求分分公司一年年的利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)與每件產(chǎn)產(chǎn)品的售價(jià)價(jià)x(元)的函函數(shù)關(guān)系式式；(2)當(dāng)每每件產(chǎn)品的的售價(jià)為多多少元時(shí)，，分公司一一年的利潤(rùn)潤(rùn)L(x)最大，并并求出L(x)的最大值值Q(a).題型8利用導(dǎo)數(shù)解解決實(shí)際問(wèn)問(wèn)題11解：：(1)分分公公司司一一年年的的利利潤(rùn)潤(rùn)L(x)(萬(wàn)萬(wàn)元元)與與售售價(jià)價(jià)x(元元)的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系式式為為L(zhǎng)(x)=(x-3-a)(12-x)2,x∈［［9,11］］.(2)L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L′(x)=0,得x=6+a或x=12(不合題題意，舍舍去).因?yàn)?≤≤a≤5,所所以8≤≤6+a≤.在x=6+a兩側(cè)L′(x)的值由由正變負(fù)負(fù)，所以，①①當(dāng)8≤≤6+a＜9，即即3≤a＜時(shí)時(shí)，12［L(x)］max=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a)；②當(dāng)9≤6+a≤，即≤a≤5時(shí)時(shí)，［L(x)］max=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］2=4(3-a)3.9(6-a)(3≤≤a<)4(3-a)3(≤a≤5).所以Q(a)=13答：若3≤a＜，則當(dāng)當(dāng)每件件售價(jià)價(jià)為9元時(shí)，，分公公司一一年的的利潤(rùn)潤(rùn)L(x)最大，，最大大值Q(a)=9(6-a)萬(wàn)元；；若≤a≤5，則當(dāng)當(dāng)每件件售價(jià)價(jià)為(6+a)元時(shí)，，分公公司一一年的的利潤(rùn)潤(rùn)L(x)最大，，最大大值Q(a)=4(3-a)3萬(wàn)元.點(diǎn)評(píng)：：涉及實(shí)實(shí)際問(wèn)問(wèn)題的的最值值問(wèn)題題，一一般是是利用用函數(shù)數(shù)知識(shí)識(shí)來(lái)解解決，，即先先建立立函數(shù)數(shù)關(guān)系系，把把實(shí)際際問(wèn)題題轉(zhuǎn)化化為數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)問(wèn)題，，然后后利用用求函函數(shù)最最值的的方法法求得得最值值.注意求求得的的解要要符合合實(shí)際際意義義.14如圖，，某地地為了了開(kāi)發(fā)發(fā)旅游游資源源，欲欲修建建一條條連接接風(fēng)景景點(diǎn)P和居民民區(qū)O的公路路.點(diǎn)P所在的的山坡坡面與與山腳腳所在在水平平面α所成的的二面面角為為θ(0°°＜θ＜90°°)，且sinθ=，點(diǎn)P到平面面α的距離離PH=0.4km.沿山腳腳原有有一段段筆直直的公公路AB可供利利用.從點(diǎn)O到山腳腳修路路的造造價(jià)為為a萬(wàn)元/km，原有有公路路改建建費(fèi)用用為萬(wàn)萬(wàn)元元/km.當(dāng)山坡坡上公公路長(zhǎng)長(zhǎng)度為為lkm(1≤≤l≤2)時(shí)，其其造價(jià)價(jià)為(l2+1)a萬(wàn)元.已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5km，OA=3km.1516(1)在AB上求一一點(diǎn)D，使沿沿折線線PDAO修建公公路的的總造造價(jià)最最??；；(2)對(duì)于(1)中得到到的點(diǎn)點(diǎn)D，在DA上求一一點(diǎn)E，使沿沿折線線PDEO修建公公路的的總造造價(jià)最最小.解：(1)如圖，，PH⊥α，HBα，PB⊥AB.由三垂垂線定定理的的逆定定理知知，AB⊥HB，所以以∠PBH是山坡坡與α所成二二面角角的平平面角角，則則∠PBH=θ，PB=PHsinθ=1.1718設(shè)BD=xkm，0≤x≤1.5，則記總造造價(jià)為為f1(x)萬(wàn)元，，據(jù)題設(shè)設(shè)有當(dāng)x=，即BD=km時(shí)，總總造價(jià)價(jià)f1(x)最小.19(2)設(shè)AE=ykm，0≤y≤，總造價(jià)價(jià)為f2(y)萬(wàn)元.根據(jù)題題設(shè)有有20由f2′(y)=0，得y=1.當(dāng)y∈(0，1)時(shí)，f2′(y)＜0，f2(y)在(0，1)內(nèi)是減減函數(shù)數(shù)；當(dāng)y∈(1，)時(shí)，f2′(y)＞0，f2(y)在(1，)內(nèi)是增增函數(shù)數(shù).故當(dāng)y=1，即AE=1km時(shí),總造價(jià)價(jià)f2(y)最小，，且最小小總造造價(jià)為為a萬(wàn)元.21已知函函數(shù)(a，b為常數(shù)數(shù))的圖象象在點(diǎn)點(diǎn)A(1，f(1))處的切切線為為l，若l在點(diǎn)A處穿過(guò)過(guò)函數(shù)數(shù)y=f(x)的圖象象(即動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)點(diǎn)A附近沿沿曲線線y=f(x)運(yùn)動(dòng))，經(jīng)過(guò)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，從從l的一側(cè)側(cè)進(jìn)入入另一一側(cè)，，求實(shí)實(shí)數(shù)a的值.解：因?yàn)閒′(x)=x2+ax+b，所以f′(1)=1+a+b.又題型利利用導(dǎo)數(shù)數(shù)處理圖象象位置關(guān)系系問(wèn)題

參考題22所以以直直線線l的方方程程為為因?yàn)闉榍星芯€線l在點(diǎn)點(diǎn)A處穿穿過(guò)過(guò)y=f(x)的圖圖象象，，23所以以g(x)在x=1兩邊邊附附近近的的函函數(shù)數(shù)值值異異號(hào)號(hào)，，從而而x=1不是是g(x)的極極值值點(diǎn)點(diǎn).因?yàn)闉間′(x)=x2+ax-(a+1)=(x-1)(x+a+1)，故若若1≠≠-a-1，則x=1和x=-a-1都是是g(x)的極極值值點(diǎn)點(diǎn)，，不合合題題意意，，所所以以-a-1=1，即即a=-2.241.利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)確確定定函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間，，求求函函數(shù)數(shù)的的極極值值和和最最值值，，是是導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)應(yīng)應(yīng)用用中中的的三三類類基基本本問(wèn)問(wèn)題題.對(duì)對(duì)變變通通后后的的變變式式問(wèn)問(wèn)題題或或綜綜合合性性問(wèn)問(wèn)題題，，都都要要化化歸歸為為上上述述基基本本問(wèn)問(wèn)題題來(lái)來(lái)解解決決.導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的應(yīng)應(yīng)用用與與方方程程、、不不等等式