初中數(shù)學競賽《圓》

...wd......wd......wd...B1IC1A1BC2、B1IC1A1BCA、30°B、45°C、60°D、90°〔第3題圖〕ABCDOQP3．〔06〕正方形ABCD內接于⊙O，點P在劣弧AB上，連結DP，交AC〔第3題圖〕ABCDOQP〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5〔07〕△為銳角三角形，⊙經(jīng)過點B，C，且與邊AB，AC分別相交于點D，E．假設⊙的半徑與△的外接圓的半徑相等，那么⊙一定經(jīng)過△的〔〕．〔A〕內心〔B〕外心〔C〕重心〔D〕垂心10．線段AB的中點為C，以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點D，使得BD＝AC；再以點D為圓心，DA的長為半徑作圓，與⊙A分別相交于F，G兩點，連接FG交AB于點H，那么的值為．〔第8題〕CEIADB8、〔第8題〕CEIADB9、AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB＝＜1，以AB為一邊在圓O內作正△ABC，點D為圓O上不同于點A的一點，且DB＝AB＝，DC的延長線交圓O于點E，那么AE的長為〔〕。A、B、1C、D、1〔04〕．D是△ABC的邊AB上的一點，使得AB=3AD，P是△ABC外接圓上一點，使得，求的值.〔第4題〕ABCOPEK4．〔06〕如圖，點P為⊙O外一點，過點P作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．過點A作PB的平行線，交⊙O于點C．連結PC，交⊙O于點E；連結AE，并延長AE交PB于點K〔第4題〕ABCOPEK6．AB為半圓O的直徑，點P為直徑AB上的任意一點．以點A為圓心，AP為半徑作⊙A，⊙A與半圓O相交于點C；以點B為圓心，BP為半徑作⊙B，⊙B與半圓O相交于點D，且線段CD的中點為M．求證：MP分別與⊙A和⊙B相切．7．如圖，點E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊AD，BC的延長線上，且滿足．假設，的延長線相交于點，△的外接圓與△的外接圓的另一個交點為點，連接PA，PB，PC，PD．求證：〔1〕；〔2〕△∽△．11〔10〕．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：〔第12A題〕．〔第12A題〕〔第12B〔第12B題〕〔第12B題〕12〔11〕、如圖，點H為△ABC的垂心，以AB為直徑的⊙和△BCH的外接圓⊙相交于點D，延長AD交CH于點P，求證：點P為CH的中點。初中數(shù)學競賽?圓?歷屆考題1〔04〕．D是△ABC的邊AB上的一點，使得AB=3AD，P是△ABC外接圓上一點，使得，求的值.解：連結AP，那么，所以，△APB∽△ADP，…………〔5分〕∴，所以，∴，…………〔10分〕A1BCDAA1BCDAB1C1I2、〔05〕點I是銳角三角形ABC的內心，A1，B1，C1分別是點I關于邊BC，CA，AB的對稱點。假設點B在△A1B1C1的外接圓上，那么∠ABC等于〔〕A、30°B、45°C、60°D、90°答：C解：因為IA1＝IB1＝IC1＝2r〔r為△ABC的內切圓半徑〕，所以點I同時是△A1B1C1的外接圓的圓心，設IA1與BC的交點為D，那么IB＝IA1＝2ID，所以∠IBD＝30°，同理，∠IBA＝30°，于是，∠ABC＝60°〔第3題圖〕ABCDOQP3．〔06〕正方形ABCD內接于⊙O，點P在劣弧AB上，連結DP，交AC于點〔第3題圖〕ABCDOQP〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答：D．解：如圖，設⊙O的半徑為r，QO=m，那么QP=m，QC=r＋m，QA=r－m．在⊙O中，根據(jù)相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．即(r－m)(r＋m)=m·QD，所以QD=．連結DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，即，解得所以，〔第4題〕ABCOPEK4．〔06〕如圖，點P為⊙O外一點，過點P作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．過點A作PB的平行線，交⊙O于點C．連結PC，交⊙O于點E；連結AE，并延長AE交PB于點K〔第4題〕ABCOPEK證明：因為AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切線，所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是△KPE∽△KAP，所以，即．由切割線定理得所以．…………10分因為AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是故，即PE·AC=CE·KB．………………15分5〔07〕△為銳角三角形，⊙經(jīng)過點B，C，且與邊AB，AC分別相交于點D，E．假設⊙的半徑與△的外接圓的半徑相等，那么⊙一定經(jīng)過△的〔〕．〔A〕內心〔B〕外心〔C〕重心〔D〕垂心答：〔B〕．解：如圖，連接BE，因為△為銳角三角形，所以，均為銳角．又因為⊙的半徑與△的外接圓的半徑相等，且為兩圓的公共弦，所以．〔第3題答案圖〕于是，．〔第3題答案圖〕假設△的外心為，那么，所以，⊙一定過△的外心．應選〔B〕．6．AB為半圓O的直徑，點P為直徑AB上的任意一點．以點A為圓心，AP為半徑作⊙A，⊙A與半圓O相交于點C；以點B為圓心，BP為半徑作⊙B，⊙B與半圓O相交于點D，且線段CD的中點為M．求證：MP分別與⊙A和⊙B相切．〔第13A題答案圖〕證明：如圖，連接AC，AD，BC，BD，并且分別過點C，D作AB的垂線，垂足分別為，那么CE∥DF．因為AB是⊙O的直徑，所以．在Rt△和Rt△中，由射影定理得，．……………5分〔第13A題答案圖〕兩式相減可得，又，于是有，即，所以，也就是說，點P是線段EF的中點．因此，MP是直角梯形的中位線，于是有，從而可得MP分別與⊙A和⊙B相切．7．如圖，點E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊AD，BC的延長線上，且滿足．假設，的延長線相交于點，△的外接圓與△的外接圓的另一個交點為點，連接PA，PB，PC，PD．求證：〔1〕；〔2〕△∽△．證明：〔1〕連接PE，PF，PG，因為，所以．又因為，所以△∽△，于是有，從而△∽△，所以．又，所以，．………………10分〔2〕由于，結合〔1〕知，△∽△，從而有，所以，因此△∽△．………………15分ABCDEIrha〔第8題〕ABCDEIrha〔第8題〕解：如圖，設△ABC的三邊長為，內切圓l的半徑為r，BC邊上的高為，那么，所以，因為△ADE∽△ABC，所以它們對應線段成比例，因此所以DE＝故DE＝。9、AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB＝＜1，以AB為一邊在圓O內作正△ABC，點D為圓O上不同于點A的一點，且DB＝AB＝，DC的延長線交圓O于點E，那么AE的長為〔B〕。ABCODE〔第9題〕A、B、ABCODE〔第9題〕解：如圖，連接OE，OA，OB，設∠D＝，那么∠ECA＝120°－＝∠EAC又因為∠ABO＝所以△ACE≌△ABO，于是AE＝OA＝110．線段AB的中點為C，以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點D，使得BD＝AC；再以點D為圓心，DA的長為半徑作圓，與⊙A分別相交于F，G兩點，連接FG交AB于點H，那么的值為．解：如圖，延長AD與⊙D交于點E，連接AF，EF．由題設知，，在△FHA和△EFA中，，〔第10題〕所以Rt△FHA∽Rt△EFA，.而，所以.〔第10題〕11〔10〕．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：〔第12A題〕〔第12A題〕〔第12B題〕〔第12B題〕證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.因為BE〔第12B題〕〔第12B題〕ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點共線.…………〔5分〕連接AE，AF，那么〔第11題〕〔第11題〕所以，△ABC∽△AEF.…………〔10分〕作AH⊥EF，垂足為H，那么AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而，所以.…………〔20分〕ABCHPDQ12〔11〕