函數(shù)的基本性質(zhì)

人教A版（2019）數(shù)學必修第一冊函數(shù)的基本性質(zhì)一、單選題1.下列四個函數(shù)中，在(－∞，0)上是增函數(shù)的為(

)A.

f(x)＝x2＋1

B.

f(x)＝1－

C.

f(x)＝x2－5x－6

D.

f(x)＝3－x2.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（

）A.

B.

C.

D.

3.若函數(shù)是奇函數(shù)，則=（

）A.

2

B.

C.

3

D.

44.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.

5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A.

B.

C.

D.

6.函數(shù)(

)A.

在上單調(diào)遞增

B.

在上單調(diào)遞增

C.

在上單調(diào)遞減

D.

在上單調(diào)遞減7.已知定義在R上的奇函數(shù),當時,,那么當時,的解析式為（

）.A.

B.

C.

D.

8.函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A.

(－∞，－3]

B.

(－∞，－1]

C.

[1，＋∞)

D.

[－3，－1]9.已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

10.若是偶函數(shù)，且對任意∈且，都有，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A.

B.

C.

D.

11.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實數(shù)m滿足，則m的取值范圍是（

）A.

B.

C.

（0，2）

D.

12.設是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集是（

）A.

或

B.

或

C.

或

D.

或13.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當時，恒成立，則滿足的的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

14.是定義在上的減函數(shù)，則的范圍是(

)A.

B.

C.

D.

二、填空題15.已知一個奇函數(shù)的定義域為[a+1，b-2]，則=________.16.已知，若，則________.17.奇函數(shù)

在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,6]上的最大值為8，最小值為-1，則________18.已知f（x）是R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）＝x2﹣5x，則f（x﹣1）＞f（x）的解集為________．19.函數(shù)y=f（x）定義域是D，若對任意x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)，設函數(shù)y=f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，滿足條件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）；則f（）+f（）=________．三、解答題20.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象，如圖所示．（1）畫出函數(shù)在軸右側(cè)的圖象，并寫出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的解析式．21.已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點（1）求的值并判斷的奇偶性；（2）判斷并證明函數(shù)在的單調(diào)性，并求出最大值.22.定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)f（x）是減函數(shù)，且f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．23.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明其結(jié)論；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，9]上的最大值與最小值．24.已知定義在R上的函數(shù)滿足：①對任意，，有.②當時，且.（1）求證：是奇函數(shù)；（2）解不等式.

答案解析部分一、單選題1.答案：B解：A，C，D選項中的三個函數(shù)在(－∞，0)上都是減函數(shù)，只有B符合題意．故答案為：B【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.2.答案：B解：當時,,所以為偶函數(shù),為非奇非偶函數(shù)函數(shù),與為奇函數(shù).故答案為：B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義逐個判斷可得答案.3.答案：B解：因為函數(shù)是奇函數(shù)所以即得，.故答案為：【分析】由函數(shù)是奇函數(shù)，則構(gòu)造方程，解得的值.4.答案：A解：由于的零點是，且在直線兩側(cè)左減右增，要使函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則，解得，故答案為：A.【分析】根據(jù)的零點和性質(zhì)列不等式，解不等式求得的取值范圍.5.答案：D解：A是增函數(shù)，不是奇函數(shù)；B和C都不是定義域內(nèi)的增函數(shù)，排除，只有D符合題意.故答案為：D.【分析】該題主要考察函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，理解和掌握基本函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.6.答案：D解：函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移一個單位，再向上一個單位而得到，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故答案為：D【分析】根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.7.答案：D解：設,則,∵∴.故答案為：D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義,可以直接寫出當時,的解析式.8.答案：A解：該函數(shù)的定義域為(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函數(shù)f(x)＝x2＋2x－3的對稱軸為x＝－1，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知該函數(shù)在區(qū)間(－∞，－3]上是減函數(shù)．

故答案為：A

【分析】利用偶次根式函數(shù)的定義域和二次函數(shù)的圖象的對稱性以及復合函數(shù)的單調(diào)性，確定復合函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。9.答案：C解：根據(jù)題意，函數(shù)，當時，，在區(qū)間，上是減函數(shù)，不符合題意；當時，，若在區(qū)間，上不單調(diào)，必有對稱軸或解可得：，即的取值范圍為.故答案為：C．【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：當時，，易得此時不符合題意；當時，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析求出的取值范圍，綜合即可得答案．10.答案：A解：∵對任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又∵，∴，又∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣）＝f（）．∴．故答案為：A．【分析】由于對任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，即可得出．11.答案：C解：由題意，函數(shù)為R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，解得，即.故答案為：【分析】根據(jù)函數(shù)為R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得函數(shù)在上的單調(diào)性，然后將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，即可解得12.答案：D解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，∴在（﹣∞，0）內(nèi)f（x）也是增函數(shù)，又∵f（﹣2）＝0，∴f（2）＝0，∴當x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，2）時，f（x）＜0；當x∈（﹣2，0）∪（2，+∞）時，f（x）＞0；∴的解集是{x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}．故答案為：D．【分析】由對x＞0或x＜0進行討論，把不等式轉(zhuǎn)化為f（x）＞0或f（x）＜0的問題解決，根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，又f（﹣2）＝0，把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，求得結(jié)果．13.答案：A解：當時，恒成立，所以恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以在上單調(diào)遞減，若要滿足，即，解得，故答案為：A．【分析】求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得到在上單調(diào)遞減，從而根據(jù)函數(shù)不等式列出相應的不等式，即可求解．14.答案：B解：要使得在上是單調(diào)減函數(shù)需滿足，解得故答案為：B.【分析】由一次函數(shù)的單調(diào)性以及端點處的函數(shù)值的關(guān)系結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性即可得到的范圍.二、填空題15.答案：解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且其定義域為[a+1，b-2]，則有a+1+b-2＝0，解可得：a+b＝1，，故答案為：．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義可得a+1+b-2＝0，即可得答案．16.答案：1解：令g（x）＝ax3+bx，則由奇函數(shù)的定義可得函數(shù)g（x）為R上的奇函數(shù)，∴由f（2019）＝g（2019）+2＝3得，g（2019）＝1，∴f（-2019）＝g（-2019）+2＝﹣g（2019）+2＝1．故答案為：1【分析】令g（x）＝ax3﹣bx，根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出答案．17.答案：17解：∵函數(shù)f（x）在[3，7]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，6]上的最大值為8，最小值為﹣1，∴f（3）＝-1，最小值為f（6）＝8，

∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-3）+2f（6）=-f（3）+2f（6）=1+2×8=17

故答案為：17【分析】根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性一致，判斷出區(qū)間[﹣6，﹣3]上的最大值為f（﹣6）＝1，最小值為f（﹣3）＝﹣8，代入即可得到答案．18.答案：解：當時，，所以，又f（x）是R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，即，做出和的圖像如下圖所示，不等式的解集可以理解為將的圖象向右平移一個單位長度后所得函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方部分的點對應的橫坐標取值的集合，由得所以，由得，所以，所以不等式的解集為.故答案為：.【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)和已知條件得出函數(shù)和的解析式，在同一坐標系中做出和的圖像，求出交點的坐標，根據(jù)不等式的解集可以理解為將的圖象向右平移一個單位長度后所得函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方部分的點對應的橫坐標取值的集合，由圖示可得出解集.19.答案：解：由③，令x=0，則f（1）=1﹣f（0）=1，由②，令x=1，則f（）=f（1）=，，，，，，．

由③，令x=，則f（）=，，，，，，．

∵，∴f（）=．

∴f（）+f（）=．

故答案為：．

【分析】由條件求出f（）,f(

)=

f(

)=,再結(jié)合及非減函數(shù)概念得f（），則答案可求.三、解答題20.答案：解：（1）如圖所示：的單調(diào)遞減區(qū)間為：，單調(diào)遞增區(qū)間為：，（2）令則所以又函數(shù)為偶函數(shù)，即所以當時所以【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于軸對稱，即可畫出函數(shù)在軸右側(cè)的圖象，再由函數(shù)圖像即可寫出其單調(diào)區(qū)間。（2）已知時的解析式，只需計算出的解析式，根據(jù)則與即可使用時的解析式解出的解析式。21.答案：解：（1）由于函數(shù)過點，故，所以.函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù).

（2）函數(shù)在上遞增，證明如下：任取，則，由于，所以，所以函數(shù)在上遞增，且最大值為.【分析】（1）利用點列方程，解方程求得的值.根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷出函數(shù)的奇偶性.（2）首先判斷出函數(shù)在上遞增，然后利用單調(diào)性的定義，證明出單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)的最大值