《分解因式法》設(shè)計(jì)

《分解因式法》教學(xué)設(shè)計(jì)（1）一.本周教學(xué)內(nèi)容：二次三項(xiàng)式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的應(yīng)用

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.熟練掌握二次三項(xiàng)式的意義；了解二次三項(xiàng)式的因式分解與解一元二次方程的關(guān)系；運(yùn)用一元二次方程的求根公式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)將二次三項(xiàng)式分解因式。2.學(xué)會(huì)用列一元二次方程的方法解實(shí)際應(yīng)用題。3.通過(guò)二次三項(xiàng)式的因式分解的學(xué)習(xí)，提高分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力；進(jìn)一步了解認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題的一般規(guī)律，即由一般到特殊，再由特殊到一般。4.通過(guò)一元二次方程的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)；深刻體會(huì)轉(zhuǎn)化，方程，數(shù)形結(jié)合等初等數(shù)學(xué)的思想方法。

二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：1.教學(xué)重點(diǎn)：①應(yīng)用公式法將二次三項(xiàng)式因式分解；會(huì)用列一元二次方程的方法解決實(shí)際應(yīng)用的問(wèn)題。②在列一元二次方程的方法解應(yīng)用題時(shí)，分析題意找出表示全部含義的相等關(guān)系，是能否列出方程的前提和保證。

2.教學(xué)難點(diǎn)：①一元二次方程的根與二次三項(xiàng)式因式分解的關(guān)系；一個(gè)二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解的條件。②在列一元二次方程的方法解應(yīng)用題時(shí)，分析題意找等量關(guān)系是難點(diǎn)；注意求解后，檢驗(yàn)根是否符合實(shí)際意義。

【典型例題】例1.分解因式① ②③ ④⑤分析：前四個(gè)均為二次三項(xiàng)式或二元二次三項(xiàng)式的因式分解，直接用公式進(jìn)行分解。其中為方程的兩根。，其中為關(guān)于x的方程的兩根。第五個(gè)用平方差公式，再用公式法分解二次三項(xiàng)式。解：①令∴②解法1：令，則∴解法2：解法3：③令，解這個(gè)關(guān)于x的方程得：∴④∵∴不能因式分解，在實(shí)數(shù)范圍。⑤∵令，無(wú)實(shí)根?！嘣趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式?！吡睢唷帱c(diǎn)撥：②中三種方法各有千秋，公式法，配方法，十字相乘法，注意結(jié)果寫成冪的形式。③二元時(shí)選其中一元為主元，另一元為已知數(shù)，即可。注意最終結(jié)果的簡(jiǎn)潔形式，④⑤中都要考慮二次三項(xiàng)式可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解的條件是：，⑤要綜合應(yīng)用，并注意因式分解必須徹底。

例2.分解因式：分析：形如的多項(xiàng)式，叫關(guān)于x，y的二元二次多項(xiàng)式，它的因式分解有三種方法：①雙十字相乘法，②待定系數(shù)法，③公式法。解：解法1：∵∴解法2：設(shè)比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)∴解法3：整理為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式令，則∴∴

例3.黃崗百貨商店服裝柜銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂(lè)”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元，為迎接“六·一”，商場(chǎng)決定降價(jià)，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫(kù)存。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價(jià)4元，那么每天平均可多售8件，要想每天平均在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？分析：經(jīng)濟(jì)類問(wèn)題應(yīng)用。要切實(shí)理解減少庫(kù)存是本題需要。解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，解得：因要減少庫(kù)存，∴，答：每件童裝應(yīng)降價(jià)20元。

例4.某中學(xué)的校辦工廠的年產(chǎn)值1998年是50萬(wàn)元，年年增加，到2000年達(dá)萬(wàn)元。問(wèn)（1）平均每年的年產(chǎn)值增長(zhǎng)率是多少？（2）三年總產(chǎn)值多少？分析：儲(chǔ)蓄中復(fù)利計(jì)本利和與生產(chǎn)值增長(zhǎng)率問(wèn)題。假設(shè)年利率為x，本金a，則n年后本利和為，增長(zhǎng)率亦如此。解：（1）設(shè)每年平均增長(zhǎng)率x，則1999年產(chǎn)值萬(wàn)元，2000年產(chǎn)值萬(wàn)元，由題意：解得：（不合題意，舍去）答：平均每年增長(zhǎng)率為10%。（2）答：1998至2000年這三年總產(chǎn)值為萬(wàn)元。點(diǎn)撥：注意舍去不合題意的根，別忽略（2）的計(jì)算與做答。

例5.兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)積為288，求這兩個(gè)數(shù)。分析：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)差2，可設(shè)x，。解：設(shè)這兩個(gè)偶數(shù)分別為x，x＋2，根據(jù)題意，解得：答：這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)是16，18或－18，－16。點(diǎn)撥：如果兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)也可這樣設(shè)，但更好的設(shè)法是：，就有∴更簡(jiǎn)單。

例6.一個(gè)矩形的硬紙片，它的長(zhǎng)比寬的2倍少4厘米，在它的四個(gè)角上各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形，然后折成一個(gè)無(wú)底的小盒子，如果這個(gè)小盒的體積為484立方厘米，求原來(lái)矩形紙片的長(zhǎng)和寬。分析：設(shè)原矩形寬為x厘米，那么長(zhǎng)厘米，在四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形折成無(wú)蓋小盒，則小盒底面寬為厘米，長(zhǎng)為厘米，高為2厘米。解：設(shè)原矩形紙片的寬為x厘米，則長(zhǎng)為厘米，根據(jù)題意列方程，得：∴（負(fù)值舍去）∴答：原矩形紙片的長(zhǎng)為26厘米，寬為15厘米。點(diǎn)撥：列一元二次方程可解決體面積有關(guān)的應(yīng)用題，注意舍根。

例7.一個(gè)直角三角形，斜邊，兩條直角邊長(zhǎng)相差，求這個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)。分析：在Rt△中，三邊a，b，c滿足，這是構(gòu)造方程的相等關(guān)系。解：設(shè)一條直角邊長(zhǎng)為xcm，則另一條邊長(zhǎng)為。根據(jù)題意列方程解得（不合題意，舍去）。答：兩條直角邊長(zhǎng)分別是8cm和4點(diǎn)撥：很多幾何題求邊時(shí)，用方程思想解決，而相等關(guān)系多由勾股定理提供，掌握本題很重要，體現(xiàn)了“幾何問(wèn)題代數(shù)化”。

例8.用100cm的金屬絲，作成矩形的框子，使面積分別為（1）500cm2；（2）625cm2；（3）800cm分析：可列方程組解決面積問(wèn)題。解：設(shè)矩形長(zhǎng)為x（cm），寬為y（cm），則（1）由為方程的兩根。答：面積為500cm2時(shí)，長(zhǎng)約是36.2cm，寬約是（2）易知x，y是方程的兩根，答：面積為625cm2時(shí)，長(zhǎng)是25cm，寬也是25cm（3）x，y為方程的兩根，無(wú)實(shí)根。答：面積800cm2，周長(zhǎng)100點(diǎn)撥：解題后，思考三小題：用100cm長(zhǎng)的鐵絲圍成500cm2的矩形做成了；再圍大點(diǎn)，面積625cm2，圍成了正方形；再大點(diǎn)，面積

［總結(jié)擴(kuò)展］（1）用公式法將二次三項(xiàng)式因式分解的步驟是先求出方程的兩個(gè)根，再將形式。（2）二次三項(xiàng)式因式分解的條件是：當(dāng)，二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可以分解；時(shí)，二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不可以分解。（3）聯(lián)系所學(xué)知識(shí)總結(jié)出遇見(jiàn)二次三項(xiàng)式因式分解的步驟：①首先考慮能否提取公因式；②其次考慮能否選用十字相乘法；③最后考慮公式法。（4）通過(guò)二次三項(xiàng)式因式分解的學(xué)習(xí)，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；通過(guò)結(jié)論探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)、產(chǎn)生的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義思想教育，滲透認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律。（5）注意：①在進(jìn)行類似分解因式時(shí)，千萬(wàn)不要漏掉字母y；②因式分解一定進(jìn)行到不能再分解為止；③分解時(shí)注意二次三項(xiàng)式因式分解的條件。（6）“一元二次方程的應(yīng)用”是“一元一次方程的應(yīng)用”的繼續(xù)和發(fā)展。由于用一元一次方程（或一次方程組）解的應(yīng)用題，一般都可以用算術(shù)方法解，而用一元二次方程來(lái)解的應(yīng)用題，一般說(shuō)是不能用算術(shù)法來(lái)解的。所以，通過(guò)學(xué)習(xí)大家要認(rèn)識(shí)到用代數(shù)方法解應(yīng)用題的優(yōu)越性和必要性。（7）列方程解應(yīng)用題的方法來(lái)說(shuō)，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題類似，都是根據(jù)問(wèn)題中的相等關(guān)系列出方程，解方程，判斷根是否適合題意，作出正確的答案。列出一元二次方程，其應(yīng)用相當(dāng)廣泛，如在幾何、物理及其他學(xué)科中都有大量問(wèn)題存在。（8）善于將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，嚴(yán)格審題，弄清各數(shù)據(jù)相互關(guān)系，正確布列方程。由此培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，滲透轉(zhuǎn)化與方程的思想方法。（9）進(jìn)一步體會(huì)數(shù)字在實(shí)踐中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）一、選擇題1.下列多項(xiàng)式不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解的是A. B.C. D.2.多項(xiàng)式實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解如下A.B.C.D.3.兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和的平方比它們的平方和大112，則這兩個(gè)正整數(shù)是A.5，6 B.7，8 C.8，9 D.6，74.某印刷廠一月印50萬(wàn)冊(cè)，二，三月共印132萬(wàn)冊(cè)，問(wèn)二、三月平均每月增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)是A.20% B. C.10% D.15%5.某工廠計(jì)劃在長(zhǎng)24米，寬20米的空地中間劃出一塊A.14米 B.C.14米或8米 D

二、填空題6.因式分解①＝②＝③＝④＝⑤＝7.一個(gè)兩位數(shù)等于它個(gè)位數(shù)的平方，且個(gè)位數(shù)比十位數(shù)大3，則這個(gè)兩位數(shù)是_________。8.某藥品經(jīng)兩次降價(jià)，從原來(lái)每箱60元降為每箱元，平均每次降價(jià)率為_________。9.有兩個(gè)數(shù)不等，和17，積比小點(diǎn)數(shù)的平方大30，用方程求這兩數(shù)，設(shè)_________，根據(jù)題意，列方程得_________。10.一矩形面積132cm2，周長(zhǎng)46cm，則矩形長(zhǎng)是_________，寬是11.連續(xù)兩個(gè)正奇數(shù)的平方和等于202，這兩個(gè)奇數(shù)中較小的是_________。

三、解答題：12.已知二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，求m的值。13.面積為150m2的矩形雞場(chǎng)，長(zhǎng)邊靠墻（墻長(zhǎng)18m14.一批上衣原來(lái)每件500元，第一次降價(jià)，銷售甚慢，第二次大幅降價(jià)的百分率是第一次的2倍，結(jié)果以每件240元價(jià)格迅速售出，求每次降價(jià)的百分率。15.在長(zhǎng)為a的線段AB上有一點(diǎn)C，且AC是AB、BC的比例中項(xiàng)，求線段AC的長(zhǎng)。

【試題答案】一、選擇題1.C 2.B 3.B 4.A 5.B

二、填空題6.①②③④⑤7.25或368.10%9.小數(shù)為x，10.12cm，11.9

三、解答題：12.解：∵原二次三項(xiàng)式是完全平方式∴13.解：設(shè)籬笆長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意，解得：檢驗(yàn)：，雞場(chǎng)長(zhǎng)超過(guò)墻長(zhǎng)是不可能的，舍去。又答：雞場(chǎng)長(zhǎng)為15m，寬為1014.設(shè)第一次降價(jià)的百分率為x，則第二次降價(jià)的百分率為2x，依題意即∴（不合題意，舍去）又答：第一次降價(jià)20%，第二次降價(jià)40%。15.解：由題意，（舍負(fù)）∴答：線段AC長(zhǎng)為a。

【勵(lì)志故事】駱駝的無(wú)奈在動(dòng)物園里的小駱駝問(wèn)媽媽：“媽媽媽媽，為什么我們的睫毛那么的長(zhǎng)？”駱駝媽媽說(shuō)：“當(dāng)風(fēng)沙來(lái)的時(shí)候，長(zhǎng)長(zhǎng)的睫毛可以讓我們?cè)陲L(fēng)暴中都能看得到方向?！毙●橊?dòng)謫?wèn)：“媽媽媽媽，為