對(duì)高中數(shù)學(xué)新課程中立體幾何部分若干問(wèn)題的思考

摘

中”張勁松要幾A關(guān)詞年4月教育部正式頒布實(shí)施《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）。依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》編寫的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》于004年季開(kāi)始在山東、廣東、海南、寧夏進(jìn)行實(shí)驗(yàn)2005秋季又?jǐn)U大到江蘇，到2006年季，福建、浙江、安徽、遼寧、天津加入。目前共有十?。▍^(qū)、直轄市）使用《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》。這次高中數(shù)學(xué)課程改革比較突的特點(diǎn)是在“構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺(tái)”的前提下，“提供多樣課程，適應(yīng)個(gè)性選擇”“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)”“注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)等具做法是課程內(nèi)容分為諸多模塊和專題，突出數(shù)學(xué)教科書的“數(shù)學(xué)味”，注重從現(xiàn)實(shí)情境引入數(shù)學(xué)知識(shí)，用數(shù)學(xué)處理具體的實(shí)際問(wèn)題等等。實(shí)事求是地講《標(biāo)準(zhǔn)》設(shè)計(jì)的理念和路都是非常好的，作為《標(biāo)準(zhǔn)》最主要的載體——教材在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，有很多積極的評(píng)價(jià)。但也存在不少問(wèn)題，比較突出的是《標(biāo)準(zhǔn)》把“內(nèi)容與要求”合在一起寫。雖然表述容易，但有些內(nèi)容不明確，教還是不教，難以把握，彈性很大。具體到教材的編寫，不同版本的教材存在一定的差異。/8本文依《標(biāo)準(zhǔn)的要求編《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)A版的思考，結(jié)合教材實(shí)驗(yàn)的實(shí)際情況以及實(shí)驗(yàn)教師的反映地闡述對(duì)高中數(shù)學(xué)新課程體幾何”部分若干問(wèn)題的思考。希望對(duì)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)有一定的幫助。一“體何部到包哪內(nèi)？“立體幾何”是高中數(shù)學(xué)非常經(jīng)典的內(nèi)容?；仡櫳蟼€(gè)世紀(jì)九十年代以后開(kāi)始的近二十年的高中數(shù)學(xué)課程改革，1997年，“立體幾何”部分單獨(dú)成冊(cè)《立體幾何》，與《代數(shù)》（上冊(cè)）同時(shí)開(kāi)設(shè)，在高一兩個(gè)學(xué)期完成，《立體幾何》約57課時(shí)1997年，《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》把“立體幾何”部分的內(nèi)容縮為一章“直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體”，再加上“研究性學(xué)習(xí)課題

多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)”，共39課時(shí)翻看《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（高中部分）》（修訂本）和《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》，其教學(xué)內(nèi)容和具體要求（或教學(xué)目標(biāo)）都是分開(kāi)表述，學(xué)什么，達(dá)到什么目標(biāo)，比較清晰?！稑?biāo)準(zhǔn)》把“立體幾何”部分的內(nèi)容，放在數(shù)學(xué)“立體幾何初步”、選修2-1“空間向量與立體幾何”，以及系列3和系列4的部專題中，如“選修3-3

球面上的幾何”中等等，而且必修課程和選修課程分的比較開(kāi)。由于選修系1（望在人文社科學(xué)等方面發(fā)展）學(xué)生只學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)2中的“立體幾何初步”，選修系2的生學(xué)習(xí)“空間向量與立體幾何以們?yōu)橹袛?shù)學(xué)新課程中立體幾何部分包括數(shù)學(xué)2中立體幾何初步”和選修中“空向量與立體幾何”，它們共30課時(shí)（）中學(xué)課中立幾”分教內(nèi)是是去“線平、單何”容真集單從課時(shí)上看，容易產(chǎn)生這種印象：高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的教學(xué)內(nèi)容是過(guò)去“直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體”內(nèi)容的真子集。實(shí)際是這種情況嗎？答案是否定的。從《標(biāo)準(zhǔn)》和《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2》A版（以下簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)2》看高數(shù)學(xué)新課程“立體幾何部分新增加了一些內(nèi)容行投影中心投影三視圖。這些內(nèi)容與義務(wù)教育階段“空間與圖形”中的“視圖與投影”緊密銜，而“直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體沒(méi)有這部分內(nèi)容增加這部分內(nèi)容的主要目的是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)空間圖形過(guò)/8視圖以及空間幾何體與其三視圖互相轉(zhuǎn)化空間圖形有比較完整的認(rèn)識(shí)養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力，更全面地把空間幾何。投影是視圖的基礎(chǔ)，投影分為平行投影和中心投影。立體幾何中研究的圖形都是平行投影下的圖形心投影在日常生活中非常普遍不高立體幾何究主要內(nèi)容。有了投影，才有視圖。除了“平行投影、中心投影，三視圖”的內(nèi)容外，他容是“直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體”的真子集。（）中學(xué)課中立幾”分教內(nèi)結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》的學(xué)習(xí)和教科書的編寫，概括一下，高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的教學(xué)內(nèi)容：．空間幾何體棱柱。棱錐。棱臺(tái)。圓柱。圓錐。圓臺(tái)。球。柱體、錐體、臺(tái)體、球體的簡(jiǎn)單組合體。簡(jiǎn)單空間圖（長(zhǎng)方體球圓柱圓錐棱柱等的簡(jiǎn)易組合的三視圖。斜二測(cè)畫法。簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖。平行投影下的空間圖形。中心投影下的空間圖形。球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓的表面積和體積。．點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面及其基本性質(zhì)。平行直線。對(duì)應(yīng)邊分別平行的角。異面直線所成的角。直線和平面平行的判定與性質(zhì)。直線和平面垂直的判定和性質(zhì)。點(diǎn)到平面的距離。斜線在平面上的射影。直線和平面所成的角。三垂線定理及其逆定理。平面與平面平行的判定與性質(zhì)。二面角及其平面角。平面與平面垂直的判定與性質(zhì)。．空間向量與立體幾何空間向量及其加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算?？臻g向量基本定理。空間向量的正交分解。/8空間向量的坐標(biāo)表示?？臻g向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示?？臻g向量的數(shù)量積?？臻g向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示。直線的方向向量。平面的法向量（）于角距《標(biāo)準(zhǔn)》在選修“間向量與立體幾何”中明確提出：“能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用?！?。角度是“立體幾何”中的一種度量。異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角等內(nèi)容在“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”必須介紹，穿插在相關(guān)內(nèi)容之中，盡管在“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”中沒(méi)有明確提到。距離是“立體幾何”中的另一種度量。點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、平行直線之間的距離異直線之間的離直與平面之間的距離平與平面之間的距離的本質(zhì)是兩點(diǎn)之間的距離點(diǎn)間的距離是以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量的模或長(zhǎng)度空間中的距離問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為向量的?；蜷L(zhǎng)度問(wèn)題?？梢?jiàn)，用空間向量及其運(yùn)算，特別是數(shù)量積運(yùn)算，是處理夾角和距離問(wèn)題的首選方法。（）于三線理其定”很多教師都說(shuō)，整個(gè)高中立體幾何就是“三垂線定理”。盡管說(shuō)得過(guò)分些，但從另外一個(gè)角度說(shuō)明，“三垂線定理”在整個(gè)高中“立體幾何”中的地位和作用。確實(shí)，“三垂線定理是整個(gè)立體幾何內(nèi)容的個(gè)典型代表在整個(gè)立體幾何知識(shí)的樞紐位置綜合了很多知識(shí)內(nèi)容：直線與直線線與平面平與平面的垂和平。在數(shù)學(xué)“直、平之間的位置關(guān)系”中雖然沒(méi)有明確提到“三垂線定理”，但在選2“間向量與立體幾何中提“用向量方法明有關(guān)線位置關(guān)系的一些定包括三垂線定理。按照這種提法材中必須明確提三線定理生應(yīng)該知道這個(gè)定理于放《數(shù)學(xué)2》中，還是放在《選修2》中，則是另外一個(gè)問(wèn)題。實(shí)際上，考慮到目前“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”一章僅有10課時(shí)而且直線與平面、平面與平面平行和垂直的判定定理僅僅要求歸納得出，在《數(shù)學(xué)2中沒(méi)有嚴(yán)格的證明。我們認(rèn)為，“三垂線定理”放在《選修2-1》中比較合適，而且要求了解其內(nèi)容，并用向量方法證明，不要求運(yùn)用此定理證明有關(guān)的命題。有了“三垂線定理”，“三垂線定理的逆定理”也就順理成章了，無(wú)非是斜線與斜線在平面內(nèi)的射影的位互了一下。/8在教材實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教師非常關(guān)注“三垂線定理及其逆定理”的教學(xué)。一方面是它在過(guò)去整個(gè)高中“立體幾何”中的地位和作用；另一方面，它也是過(guò)去高考的核心內(nèi)容，目前的高考試卷中，如果是用綜合法處理的“立體幾何”方面的大題，于“三垂線定理及其逆定理”的。但是，隨著空間向量及其運(yùn)算引入“立體幾何”內(nèi)容中，用空間向量及其運(yùn)算的向量方（坐標(biāo)方法處有關(guān)垂直和平行問(wèn)題成為一種普適的方法，三線定理及其逆定理綜方法退其次中數(shù)學(xué)新課程中強(qiáng)調(diào)用空間向量及其運(yùn)算處理立體幾何中的角度、距離，淡化綜合方法處理角度問(wèn)題和距離問(wèn)題。（）于目前《標(biāo)準(zhǔn)》只要求認(rèn)識(shí)球的結(jié)構(gòu)特征，了解球的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶）。由于在系列3中的“選修球面的幾何”專門講述涉及球以及球面的幾何，因此現(xiàn)在新課程“立體幾何部分不涉及球面上距離等內(nèi)容球的表面積和體積公式也不要求推導(dǎo)，教學(xué)時(shí)一定不要增加這方面的內(nèi)容。二怎把這分教要？由于《標(biāo)準(zhǔn)》把“內(nèi)容與要求”合在一起寫，對(duì)教學(xué)要求的把握相對(duì)來(lái)說(shuō)，容易一些。但在教材編寫和教材實(shí)驗(yàn)中，也存在不少問(wèn)題。（）柱棱、臺(tái)些間何要到么度按照《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，教材首先通過(guò)實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征。結(jié)構(gòu)特征是這些空間幾何體的本質(zhì)特征，我們需要抽象概括出這些空間幾何體的概念棱柱為例抽出它的本質(zhì)特征后要不要講斜棱柱、直棱柱、正棱柱以及棱柱的一些性質(zhì)？由于《標(biāo)準(zhǔn)》在選2“間向量與立體幾何”中有“參考案例”例1，例1中確提出“直三棱柱……”，所以必須講。至于放到哪部分內(nèi)容中下我們談到結(jié)體系時(shí)，會(huì)詳細(xì)闡述錐也有類似的問(wèn)題，正棱錐怎么講？在何處講？（）于視與何觀力空想能視圖和投影是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》新增的內(nèi)容，作為與初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的銜接，“空間幾何體”包括視圖和投影的內(nèi)容。要求到什么程度？1．三視圖是不是要求到“長(zhǎng)對(duì)、高平齊、寬相等”？與初中階段的相關(guān)內(nèi)容如何銜接？/82．對(duì)于平行投影和中心投影下視圖與直觀圖，如果只是“通過(guò)觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。”，是不是要求太低了？3．如果不明確給出直棱柱、正柱、斜棱柱等的概念，棱柱的三視圖能否講清楚？因?yàn)槔庵娜晥D涉及棱柱的高概念。增加三視圖的有關(guān)內(nèi)容，對(duì)于進(jìn)步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力具有重要的促進(jìn)作用。過(guò)去的“立體幾”內(nèi)容相對(duì)來(lái)說(shuō)，這方面比較薄弱。三視圖的有關(guān)內(nèi)容在一定程度上改善了這種狀形既需要直觀地感覺(jué)需思辨地論證們學(xué)生能夠畫出空間幾何體的三視圖和觀圖從幾何體的直觀圖畫出它的三視圖視圖畫出它的直觀圖等等。使得生能通過(guò)“實(shí)物模型—三視圖—直觀圖”樣一個(gè)相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程認(rèn)識(shí)空間幾何體活動(dòng)是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的有效途徑，立體何的教學(xué)目標(biāo)加全面基于以上原因，我們認(rèn)為，教師學(xué)生應(yīng)該知正圖、側(cè)視圖、俯視圖的“擺放”位置，以長(zhǎng)齊寬等”的要求尺寸線體怎么畫不作嚴(yán)格要求。這部分內(nèi)容是初中“投影與視圖的基礎(chǔ)上的發(fā)展。一個(gè)現(xiàn)實(shí)情況是空何體8個(gè)課的容量，留給“空間幾何體的三視圖和直觀圖有2個(gè)課時(shí)間容無(wú)法展開(kāi)想說(shuō)的很清楚沖破2個(gè)課限制，這顯然違背《標(biāo)準(zhǔn)》的要求。因，很多內(nèi)容“點(diǎn)到為止”，要求不高，像上面提到點(diǎn)在平面的射影幾何體的高行影中投下視和觀幾個(gè)問(wèn)題須提到，但要求較低。（三）關(guān)于推理論證的要求從必修課程·數(shù)學(xué)、課程列2·修2-1的內(nèi)容與要求”看，“立體幾何”部分推理論證的要求有所變化關(guān)直線面置系一定定理用向量方法加以證明經(jīng)典的“立體幾何養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力外強(qiáng)調(diào)推理論證能力推證能力在最突出的位置整義務(wù)教育階段對(duì)幾何的推理論證能力的要求有所降低教階相接高數(shù)新程面的教學(xué)要求有很大變化。6/8是不是《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)幾何推理論證的要求降低了呢？對(duì)“立體幾何”部分的教學(xué)要求降低了呢？這種看法有一定的片面性。從《準(zhǔn)》和整套教材看，不難發(fā)現(xiàn)，在“立體幾何”中對(duì)于推理論證的要求不是一步到位，而是分階段、分層次、多角度的：對(duì)空間幾何體的認(rèn)識(shí)，先直觀感受、操作確認(rèn)，不做任何推理論證的要求。以長(zhǎng)方體為載體（包括其他的實(shí)物模型、身邊的實(shí)際例子等）對(duì)圖形（模型）進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)和說(shuō)理，引入合情推理。嚴(yán)格的推理論證，如選修課程系2·修中關(guān)直線與平面、平面與平面平行和垂直的判定定理的證明。在修課程系列2·選修2-1中空間向量與立體幾何”中引入空間向量，用空間向量處理平行、垂直、距離和夾角等問(wèn)題。幾何的現(xiàn)實(shí)性與論理性是幾何的兩個(gè)方面幾里得公理體系把幾何與邏輯結(jié)合起來(lái)，幾何就與演繹推理結(jié)下了不解之緣久以來(lái)幾何學(xué)就成為訓(xùn)練邏輯推理的素材主的東西去理解客觀世界，把握客觀世界，以期對(duì)客觀世界有更理性的認(rèn)識(shí)。從幾何推理的角度來(lái)看，既有合情推理，又有演繹推理，而且從數(shù)學(xué)自身發(fā)展的過(guò)程來(lái)看即演繹推理也并非幾何獨(dú)有廣泛存在于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中近幾十年的國(guó)際數(shù)學(xué)教育改革對(duì)幾何推理的要求發(fā)生了一些變化當(dāng)化演繹推理多地強(qiáng)調(diào)從具體情境或前提出發(fā)進(jìn)合情推理從純強(qiáng)調(diào)幾何的邏輯推理向更全面地體現(xiàn)幾何的教育價(jià)值，特別是幾何在發(fā)展學(xué)生空間觀念，以及觀察、操作、試驗(yàn)、探索、合情推理等“過(guò)程性”方面的教育價(jià)值。立體幾何初步特別注意，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般體到抽象的過(guò)程逐認(rèn)識(shí)直線與平面、平與平面的位置關(guān)系，在推理過(guò)程中滲透公理化思想言必有據(jù)的理性思維精神。/8（四）關(guān)于幾何模型的作用與價(jià)值《標(biāo)準(zhǔn)》中多次提到“數(shù)學(xué)模型”一詞，目的是進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。數(shù)學(xué)模型是把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象概括，再?gòu)臄?shù)學(xué)角度來(lái)反映或近似地反映實(shí)際問(wèn)題時(shí)，所得出的關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的描述學(xué)模型的形式是多樣的，它們可以是幾何圖形可以是方程式、函數(shù)解析式等等。實(shí)際問(wèn)題越復(fù)雜，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型也越復(fù)雜。從形狀的角度反映現(xiàn)實(shí)世界的物體時(shí)，經(jīng)過(guò)抽象得到的空間幾何體就是現(xiàn)實(shí)世界物體的幾何模型于體幾何學(xué)習(xí)知識(shí)內(nèi)容與學(xué)生的聯(lián)系非常密切間何體是很多物體的幾何模型，這些模型可以描述現(xiàn)實(shí)世界中的許多物體們直觀、具體，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力有很大的幫助?？臻g幾何體，特別是長(zhǎng)方體，其中的棱與棱、棱與面、面與面之間的位置關(guān)系研究直線與直線線與平面面與平面位置關(guān)系的直觀載體習(xí)，一方面要引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)學(xué)習(xí)的知識(shí)與周圍的實(shí)物聯(lián)系起來(lái)另一方面要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)的生活抽象空間圖形的過(guò)程重探索空間圖形的位置關(guān)系歸納概它們的