【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第2章§2.4函數(shù)的奇偶性與周期性精品課件 理 北師大

§2.4函數(shù)的奇偶性與周期性

考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考§2.4函數(shù)的奇偶性與周期性雙基研習(xí)?面對(duì)高考雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．函數(shù)的奇偶性定義f(－x)與f(x)的關(guān)系奇函數(shù)一般地，圖像關(guān)于_______對(duì)稱的函數(shù)叫作奇函數(shù).__________________偶函數(shù)一般地，圖像關(guān)于_______對(duì)稱的函數(shù)叫作偶函數(shù).__________________原點(diǎn)y軸f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)思考感悟奇偶函數(shù)的定義域有何特點(diǎn)？它是函數(shù)具有奇偶性的什么條件？提示：由于定義中對(duì)任意一個(gè)x都有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，說明定義域中任意一個(gè)x都有一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的－x在定義域中，即說明奇偶函數(shù)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．它是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．2．函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性______，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性__________3．周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在非零常數(shù)T，對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值，都有f(x＋T)＝________，我們就把f(x)稱為周期函數(shù)，T稱為這個(gè)函數(shù)的周期．相反．f(x)相同(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中_____________正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期．存在一個(gè)最小課前熱身答案：D答案：B3．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(－3)＝－2，則f(3)＋f(0)＝(

)A．3

B．－3C．2 D．7解析：選C.由題意得f(3)＋f(0)＝－f(－3)＋f(0)＝2＋0＝2.故選C.4．(2011年淮北月考)若f(x)＝2x＋2－xlga是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.5．(教材改編題)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c為偶函數(shù)的充要條件是________．答案：b＝0

考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判定1．判斷函數(shù)的的奇偶性，應(yīng)應(yīng)該首先分析析函數(shù)的定義義域，在分析析時(shí)，不要把把函數(shù)化簡(jiǎn)，，而要根據(jù)原原來的結(jié)構(gòu)去去求解定義域域，如果定義義域不關(guān)于原原點(diǎn)對(duì)稱，則則一定是非奇奇非偶函數(shù)．．2．若定義域關(guān)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱稱，則可用下下述方法進(jìn)行行判斷：(1)定義判斷：f(－x)＝f(x)?f(x)為偶函數(shù)，f(－x)＝－f(x)?f(x)為奇函數(shù)．(2)等價(jià)形式判斷斷：f(－x)－f(x)＝0?f(x)為偶函數(shù)，f(－x)＋f(x)＝0?f(x)為奇函數(shù)．例1【思路點(diǎn)撥】判斷函數(shù)的奇奇偶性，首先先要檢驗(yàn)其定定義域是否關(guān)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱稱，若關(guān)于原原點(diǎn)對(duì)稱，再再嚴(yán)格按照奇奇偶性的定義義或其等價(jià)形形式進(jìn)行推理理判斷．且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函數(shù)又又是偶函數(shù)．．(4)函數(shù)定義域?yàn)闉?－∞，0)∪(0，＋∞)．當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴對(duì)任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)為奇函數(shù)．【失誤點(diǎn)評(píng)】本例(4)要對(duì)定義域內(nèi)內(nèi)的自變量分分兩種情況考考察．如果只只有x＞0或x＜0就說f(－x)＝－f(x)，從而判斷它它是奇函數(shù)是是錯(cuò)誤的、不不完整的．考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用研究函數(shù)奇偶性主要用其來解決函數(shù)圖像的對(duì)稱問題，以及用定義列方程求參數(shù)值等．

(1)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))．求f(x)的解析式．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．例2【思路點(diǎn)撥】(1)由奇函數(shù)在原原點(diǎn)處有定義義，則f(0)＝0可求得b的值后再由對(duì)對(duì)稱性可求得得f(x)的解析式．(2)根據(jù)f(－x)＝f(x)列出關(guān)于a的方程求解．．【解】(1)∵f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，，∴f(0)＝0，∴20＋0＋b＝0，解得b＝－1，∴當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x－1，當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f(x)＝－f(－x)＝－(2－x－2x－1)＝－2－x＋2x＋1，【規(guī)律小結(jié)】(1)利用奇偶性求求解析式的一一般方法是：：①“求誰設(shè)誰”，即在哪個(gè)區(qū)區(qū)間求解析式式，x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)區(qū)間內(nèi)．②要利用已知區(qū)區(qū)間的解析式式進(jìn)行代入．．③利用f(x)的奇偶性寫出出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．(2)利用奇偶性求求參數(shù)值一般般利用f(－x)＝f(x)(或－f(x))列出方程求解解．變式訓(xùn)練設(shè)定義在[－2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，，若f(m)＋f(m－1)＞0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．．考點(diǎn)三函數(shù)的周期性及其應(yīng)用對(duì)函數(shù)周期性性的考查，主主要涉及判斷斷函數(shù)的周期期、利用周期期性求函數(shù)值值，以及解決決與周期有關(guān)關(guān)的函數(shù)綜合合問題．充分分利用題目提提供的信息，，遷移到有定定義的范圍上上進(jìn)行求值是是解答此類問問題的關(guān)鍵．．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，，且對(duì)任意實(shí)實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；；(2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．例3【解】(1)證明明：：∵∵f(x＋2)＝－－f(x)∴f(x＋4)＝－－f(x＋2)＝f(x)∴f(x)是周周期期為為4的周周期期函函數(shù)數(shù)．．(2)當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，，－－x∈[0,2]，由由已已知知得得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－－2x－x2，又f(x)是奇奇函函數(shù)數(shù)，，∴∴f(－x)＝－－f(x)＝－－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又當(dāng)當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周周期期為為4的周周期期函函數(shù)數(shù)，，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.從而而求求得得x∈[2,4]時(shí)，，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－－1.又f(x)是周周期期為為4的周周期期函函數(shù)數(shù)．．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.【規(guī)律律小小結(jié)結(jié)】關(guān)于于函函數(shù)數(shù)周周期期性性常常用用的的結(jié)結(jié)論論：：(1)定義義在在R上的的函函數(shù)數(shù)f(x)，①若有有兩兩條條對(duì)對(duì)稱稱軸軸x＝a，x＝b，則則f(x)是周周期期函函數(shù)數(shù)且且2|a－b|是它它的的一一個(gè)個(gè)周周期期．．②若有有兩兩個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)稱稱中中心心(a,0)，(b,0)，則則f(x)是周周期期函函數(shù)數(shù)且且2|a－b|是它它的的一一個(gè)個(gè)周周期期．．③若有有一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)稱稱中中心心(a,0)和一一條條對(duì)對(duì)稱稱軸軸x＝b，則則f(x)是周周期期函函數(shù)數(shù)且且4|a－b|是它它的的一一個(gè)個(gè)周周期期．．方法感悟方法法技技巧巧1．正正確確理理解解奇奇函函數(shù)數(shù)和和偶偶函函數(shù)數(shù)的的定定義義，，必必須須把把握握好好兩兩個(gè)個(gè)問問題題：：(1)定義義域域在在數(shù)數(shù)軸軸上上關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱是是函函數(shù)數(shù)f(x)為奇奇函函數(shù)數(shù)或或偶偶函函數(shù)數(shù)的的必必要要非非充充分分條條件件；；(如例例1(5))(2)f(－x)＝－－f(x)或f(－x)＝f(x)是定定義義域域上上的的恒恒等等式式．．(如例例2(2))2．奇奇偶偶函函數(shù)數(shù)的的定定義義是是判判斷斷函函數(shù)數(shù)奇奇偶偶性性的的主主要要依依據(jù)據(jù)．．為為了了便便于于判判斷斷函函數(shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性，，有有時(shí)時(shí)需需要要3．奇奇函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱，，偶偶函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像關(guān)關(guān)于于y軸對(duì)對(duì)稱稱，，反反之之也也真真．．利利用用這這一一性性質(zhì)質(zhì)可可簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化一一些些函函數(shù)數(shù)圖圖像像的的畫畫法法，，也也可可以以利利用用它它去去判判斷斷函函數(shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性．．(如課前熱熱身1)4．如果奇奇偶性是是講函數(shù)數(shù)圖像的的對(duì)稱，，那么函函數(shù)的周周期性就就是討論論函數(shù)圖圖像的平平移，而而函數(shù)圖圖像的對(duì)對(duì)稱與函函數(shù)的周周期性也也是密不不可分的的，比如如：若函函數(shù)f(x)的圖像關(guān)關(guān)于直線線x＝a，x＝b(a≠b)對(duì)稱，則則f(x)為周期函函數(shù)，其其周期為為T＝2(b－a)等．(如例3)失誤防范范1．判斷函函數(shù)的奇奇偶性，，首先應(yīng)應(yīng)該判斷斷函數(shù)定定義域是是否關(guān)于于原點(diǎn)對(duì)對(duì)稱．定定義域關(guān)關(guān)于原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱是是函數(shù)具具有奇偶偶性的一一個(gè)必要要條件．．2．判斷函函數(shù)f(x)是奇函數(shù)數(shù)，必須須對(duì)定義義域內(nèi)的的每一個(gè)個(gè)x，均有f(－x)＝－f(x)．而不能能說存在在x0使f(－x0)＝－f(x0)．對(duì)于偶偶函數(shù)的的判斷以以此類推推．考情分析考向瞭望?把脈高考函數(shù)的奇奇偶性、、周期性性是每年年高考必必考的內(nèi)內(nèi)容之一一．主要要涉及函函數(shù)奇偶偶性的判判斷，利利用函數(shù)數(shù)奇偶性性、周期期性求函函數(shù)值，，利用奇奇偶性求求參數(shù)值值以及求求三角函函數(shù)的周周期等．．多以選選擇題和和填空題題形式出出現(xiàn)，與與函數(shù)概概念、圖圖像、性性質(zhì)綜合合在一起起考查，，難度一一般不大大．預(yù)測(cè)2012年高考仍仍將以三三角函數(shù)數(shù)的周期期性和抽抽象函數(shù)數(shù)的奇偶偶性與周周期性為為主要考考點(diǎn)，重重點(diǎn)考查查邏輯推推理與理理解能力力．真題透析例(2010年高考安安徽卷)若f(x)是R上周期為為5的奇函數(shù)數(shù)，且滿滿足f(1)＝1，f(2)＝2，則f(3)－f(4)＝()A．－1B．1C．－2D．2【解析】∵由于函數(shù)數(shù)f(x)的周期為為5，∴f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又f(x)為R上的奇函函數(shù)，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.【答案】A【名師點(diǎn)評(píng)評(píng)】(1)本題易出出現(xiàn)如下下錯(cuò)誤：：①不知道如如何把求求f(3)，f(4)的值轉(zhuǎn)化化到求f(1)，f(2)的值；②這類綜合合應(yīng)用函函數(shù)性質(zhì)質(zhì)的問題題，常常常由于問問題涉及及的知識(shí)識(shí)點(diǎn)與面面比較廣廣，容易易出現(xiàn)無無從下手手的現(xiàn)象象，特別別是抽象象函數(shù)問問題，這這就需要要考生對(duì)對(duì)所學(xué)知知識(shí)要爛爛熟于心心，對(duì)所所學(xué)方法法會(huì)靈活活運(yùn)用．．