【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第10章§10.8離散型精品課件 理 北師大

§10.8離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布

考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考§10.8離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布雙基研習(xí)?面對(duì)高考1．均值(1)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xa1a2…ai…anPp1p2…pi…pn則稱EX＝_____________________________為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝_____________a1p1＋a2p2＋…＋aipi＋…＋anpnaEX＋b.雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理(3)①若X～B(n，p)，則EX＝_____②當(dāng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布時(shí)，它的均值EX＝______2．方差(1)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，我們用_________來衡量X與EX的平均偏離程度，E(X－EX)2是(X－EX)2的期望，并稱之為隨機(jī)變量X的_____，記為____.(2)對(duì)DX的理解：DX表示隨機(jī)變量X對(duì)EX的平均偏離程度，DX越大，表明平均偏離程度____，說明X的取值越_____，反之，DX越小，X的取值越_____在EX附近．np.E(X－EX)2方差DX越大分散集中1．隨機(jī)變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎樣的？【思考·提示】隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨觀測(cè)次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差．思考感悟3．正態(tài)分布

(1)正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝__________________其中μ，σ為參數(shù)，且σ>0，－∞<μ<＋∞，正態(tài)分布通常記作____________(2)正態(tài)變量概率密度函數(shù)的圖像叫作__________，我們把_______________________的正態(tài)分布叫作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．N(μ，σ2)．正態(tài)曲線數(shù)學(xué)期望為0，標(biāo)準(zhǔn)差為14．正態(tài)分布曲線具有以下性質(zhì)(1)函數(shù)圖像關(guān)于直線_______對(duì)稱；(2)σ(σ>0)的大小決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”；σ越大，正態(tài)曲線越扁平；σ越小，正態(tài)曲線越尖陡；(3)在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1；(4)若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝______；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.x＝μ95.4%2．正態(tài)分布中，μ，σ2的實(shí)際意義是什么？【思考·提示】

μ是均值，σ2是方差．思考感悟課前熱身1．若X的分布列為X01Pmn，其中m∈(0,1)，則EX＝(

)A．1－m

B．mnC．m＋nD．m答案：A2．有甲、乙兩種水稻，測(cè)得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計(jì)算出樣本方差分別為DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估計(jì)(

)A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊不能比較答案：B答案案：：B4．(教材材習(xí)習(xí)題題改改編編)已知知X是擲擲兩兩個(gè)個(gè)均均勻勻骰骰子子點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)中中較較大大的的數(shù)數(shù)，，則則EX＝________.5．(2009年高高考考廣廣東東卷卷)已知知離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量X的分分布布列列如如下下表表．．若若EX＝0，DX＝1，則則a＝________，b＝________.考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值1．求求離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的期期望望關(guān)關(guān)鍵鍵是是寫寫出出離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布列列然然后后利利用用公公式式計(jì)計(jì)算算．．2．由由X的期期望望、、方方差差求求aX＋b的期期望望、、方方差差是是常?？伎碱}題之之一一，，常常根根據(jù)據(jù)期期望望和和方方差差的的性性質(zhì)質(zhì)求求解解．．(2010年高高考考福福建建卷卷)設(shè)S是不不等等式式x2－x－6≤≤0的解解集集，，整整數(shù)數(shù)m，n∈S.(1)記“使得得m＋n＝0成立立的的有有序序數(shù)數(shù)組組(m，n)””為事事件件A，試試列列舉舉A包含含的的基基本本事事件件；；(2)設(shè)ξ＝m2，求求ξ的分布列列及其數(shù)數(shù)學(xué)期望望Eξ.【思路點(diǎn)撥撥】確定A包含的基基本事件件數(shù)后求求出ξ的取值，，再求出出隨機(jī)變變量的概概率即可可寫出分分布列，，由分布布列求期期望．例1【解】(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基基本事件件為：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不不同取值值為－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不不同取值值為0,1,4,9，故ξ的分布列列為【名師點(diǎn)評(píng)評(píng)】(1)隨機(jī)變量量的數(shù)學(xué)學(xué)期望等等于該隨隨機(jī)變量量的每一一個(gè)取值值與取該該值時(shí)對(duì)對(duì)應(yīng)的概概率乘積積的和．．(2)均值(數(shù)學(xué)期期望)是隨機(jī)機(jī)變量量的一一個(gè)重重要特特征數(shù)數(shù)，它它反映映或刻刻畫的的是隨隨機(jī)變變量取取值的的平均均水平平，均均值(數(shù)學(xué)期期望)是算術(shù)術(shù)平均均值概概念的的推廣廣，是是概率率意義(3)EX是一個(gè)實(shí)數(shù)，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而EX是不變的．變式訓(xùn)訓(xùn)練1(2009年高考考全國國卷Ⅰ)甲、乙乙二人人進(jìn)行行一次次圍棋棋比賽賽，約約定先先勝3局者獲獲得這這次比比賽的的勝利利，比比賽結(jié)結(jié)束．．假設(shè)(1)求甲獲得這次比賽勝利的概率；(2)設(shè)ξ表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：記記Ai表示事事件：：第i局甲獲獲勝，，i＝3,4,5.Bj表示事事件：：第j局乙獲獲勝，，j＝3,4.(1)記C表示事事件：：甲獲獲得這這次比比賽的的勝利利．因前兩兩局中中，甲甲、乙乙各勝勝一局局，故故甲獲獲得這這次比比賽的的勝利利當(dāng)且且僅當(dāng)當(dāng)在后后面的的比賽賽中，，甲先先勝2局，從從而C＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5.由于各各局比比賽結(jié)結(jié)果相相互獨(dú)獨(dú)立，，故P(C)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.(2)ξ的可能能取值值為2,3.由于各各局比比賽結(jié)結(jié)果相相互獨(dú)獨(dú)立，，所以以P(ξ＝2)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.P(ξ＝3)＝1－P(ξ＝2)＝1－0.52＝0.48.故ξ的分布列為為ξ23P0.520.48Eξ＝2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的方差均值僅體現(xiàn)現(xiàn)了隨機(jī)變變量取值的的平均大小小，但有時(shí)時(shí)僅知道均均值大小還還是不夠的的．比如：：兩個(gè)隨機(jī)機(jī)變量的均均值相等了了，這就還還需要知道道隨機(jī)變量量的取值如如何在均值值周圍變化化，即計(jì)算算其方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)．方差大說說明隨機(jī)變變量取值分分散性大；；方差小說說明取值分分散性小或或者說取值值比較集中某市出租車車的起步價(jià)價(jià)為6元，行駛路路程不超過過3km時(shí)，租車費(fèi)費(fèi)為6元，若行駛駛路程超過過3km，則按每超超出1km(不足1km也按1km計(jì)程)收費(fèi)3元計(jì)費(fèi)．設(shè)設(shè)出租車一一天行駛的的路程數(shù)X(按整km數(shù)計(jì)算，不不足1km的自動(dòng)計(jì)為為1km)是一個(gè)隨機(jī)機(jī)變量，則則其收費(fèi)也也是一個(gè)隨隨機(jī)變量．．已知一個(gè)個(gè)司機(jī)在某某一天每次次出車都超超過了3km，且一次的的總路程數(shù)數(shù)可能的取取值是20,22,24,26,28,30(km)，它們出現(xiàn)現(xiàn)的概率依依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2＋3a、4a.例2(1)求這一天中中一次行駛駛路程X的分布列，，并求X的數(shù)學(xué)期望望和方差；；(2)求這一天中中一次所收收租車費(fèi)Y的數(shù)學(xué)期望望和方差．．【思路點(diǎn)撥】(1)由分布列的的性質(zhì)求a的值，然后后根據(jù)分布布列用公式式求均值和和方差；(2)由題意Y＝3X－3，再用性性質(zhì)求均均值和方方差．【解】(1)由分布列列的性質(zhì)質(zhì)有0．12＋0.18＋0.20＋0.20＋100a2＋3a＋4a＝1.∴100a2＋7a＝0.3，∴1000a2＋70a－3＝0，X202224262830P0.120.180.200.200.180.12∴EX＝20×0.12＋22×0.18＋24×0.20＋26×0.20＋28×0.18＋30×0.12＝25(km)．DX＝52×0.12＋32×0.18＋12×0.20＋12×0.20＋32×0.18＋52×0.12＝9.64.(2)由已知Y＝3X－3(X>3，X∈Z)，∴EY＝E(3X－3)＝3EX－3＝3×25－3＝72(元)，DY＝D(3X－3)＝32DX＝86.76.【名師點(diǎn)評(píng)評(píng)】求離散型型隨機(jī)變變量的期期望與方方差，首首先要準(zhǔn)準(zhǔn)確寫出出其分布布列，根根據(jù)分布布列用公公式求解解，同時(shí)時(shí)注意性性質(zhì)的應(yīng)應(yīng)用，達(dá)達(dá)到簡(jiǎn)化化運(yùn)算的的目的．．考點(diǎn)三正態(tài)分布正態(tài)分布問題題可利用變換換公式轉(zhuǎn)化為為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分分布問題，標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布布可通過查表表(或提供的數(shù)據(jù)據(jù))進(jìn)行求解．正態(tài)分布有兩兩個(gè)重要的參參數(shù)，平均數(shù)數(shù)(期望、數(shù)學(xué)期期望)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，我們不但要要明白μ和σ在統(tǒng)計(jì)上的意意義，還要對(duì)對(duì)應(yīng)到正態(tài)曲曲線上的曲線線幾何意義，，做到從概率率、統(tǒng)計(jì)、曲曲線、函數(shù)這這四個(gè)方面來來把握和理解解，其中后兩兩個(gè)方面是作作為數(shù)學(xué)工具具來為前兩個(gè)個(gè)方面服務(wù)的的．一次數(shù)學(xué)考試試中，某班學(xué)學(xué)生的分?jǐn)?shù)X～N(110,202)，且知滿分150分，這個(gè)班共共有54人，求這個(gè)班班在這次數(shù)學(xué)學(xué)考試中及格格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)數(shù)．【思路點(diǎn)撥】正態(tài)分布已經(jīng)經(jīng)確定，則總總體的期望μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ就可以求出，，這樣就可以以根據(jù)正態(tài)分分布在三個(gè)常常見的區(qū)間上上取值的概率率進(jìn)行求解．．例3【名師點(diǎn)評(píng)】解答這類問題題的關(guān)鍵是確確定所求隨機(jī)機(jī)變量在哪個(gè)個(gè)區(qū)間內(nèi)取值值，這個(gè)區(qū)間間與應(yīng)該熟記記的三個(gè)區(qū)間間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)之間的關(guān)系．．考點(diǎn)四均值與方差的實(shí)際應(yīng)用一些與現(xiàn)實(shí)生生活有密切聯(lián)聯(lián)系的問題，，主要利用離離散型隨機(jī)變變量的均值與與方差，判斷斷方案優(yōu)劣、、水平高低等等．(2011年廣州模擬)某投資者有10萬元，現(xiàn)有兩兩種投資方案案：一是購買買股票，二是是存入銀行獲獲取利息．買買股票的收益益主要取決于于經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，，假設(shè)可分三三種狀態(tài)：形形勢(shì)好、形勢(shì)勢(shì)中等、形勢(shì)勢(shì)不好(即經(jīng)濟(jì)衰退)．例4若形勢(shì)好，可可獲利40000元；若形勢(shì)中中等，可獲利利10000元；若形勢(shì)不不好，要損失失20000元．如果是存存入銀行，假假設(shè)年利率為為8%，即可得利息息8000元．又設(shè)經(jīng)濟(jì)濟(jì)形勢(shì)好、中中等、不好的的概率分別為為30%、50%和20%，試問該投資資者應(yīng)選擇哪哪一種投資方方案？【思路點(diǎn)撥】買股票的收益益與經(jīng)濟(jì)形勢(shì)勢(shì)有關(guān)，存入入銀行的收益益與經(jīng)濟(jì)形勢(shì)勢(shì)無關(guān)．因此此，要確定選選擇哪一方案案，就必須通通過計(jì)算這兩兩種投資方案案對(duì)應(yīng)的收益益期望值E來進(jìn)行判斷．．【解】由題設(shè)，一年年中兩種投資資方式在不同同的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)勢(shì)下對(duì)應(yīng)的收收益與概率如如下表所示：：購買股票狀態(tài)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好經(jīng)濟(jì)形勢(shì)中等經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好收益4000010000－20000概率0.30.50.2存入銀行狀態(tài)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好經(jīng)濟(jì)形勢(shì)中等經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好收益800080008000概率0.30.50.2從上表可以初初步看出，如如果購買股票票，在經(jīng)濟(jì)形形勢(shì)好和經(jīng)濟(jì)濟(jì)形勢(shì)中等的的情況下是合合算的，但如如果經(jīng)濟(jì)形勢(shì)勢(shì)不好，則采采取存入銀行行的方案比較較好．下面通通過計(jì)算加以以分析：如果購買股票票，其收益的的期望值E1＝40000××0.3＋10000××0.5＋(－20000)×0.2＝13000(元)；如果存入銀銀行，其收益益的期望值E2＝8000×0.3＋8000×0.5＋8000×0.2＝8000(元)．因此，購買買股票的收益益期望值比存存入銀行的收收益期望值大大，按期望收收益最大原則則，應(yīng)選擇購購買股票．【名師點(diǎn)評(píng)】隨機(jī)變量的均均值反映了隨隨機(jī)變量取值值的平均水平平，方差反映映了隨機(jī)變量量穩(wěn)定于均值值的程度，它它們從整體和和全局上刻畫畫了隨機(jī)變量量，是實(shí)際中中用于方案取取舍的重要的的理倫依據(jù)，，一般先比較較均值，若均均值相同，再再用方差來決決定，從而解解決相關(guān)問題題．變式訓(xùn)練2隨機(jī)抽取某廠廠的某種產(chǎn)品品200件，經(jīng)質(zhì)檢，，其中有一等等品126件、二等品50件，三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)產(chǎn)1件一、二、三三等品獲得的的利潤分別為為6萬元、2萬元、1萬元，而生產(chǎn)產(chǎn)1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤潤(單位：萬元)為ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均均利潤(即ξ的數(shù)學(xué)期望)；(3)經(jīng)技術(shù)術(shù)革新新后，，仍有有四個(gè)個(gè)等級(jí)級(jí)的產(chǎn)產(chǎn)品，，但次次品率率降為為1%，一等等品率率提高高為70%，如果果此時(shí)時(shí)要求求1件產(chǎn)品品的平平均利利潤不不小于于4.73萬元，，則三三等品品率最最多是是多少少？故ξ的分布布列為為ξ621－2P0.630.250.10.02(2)Eξ＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)××0.02＝4.34(萬元)．(3)設(shè)技術(shù)術(shù)革新新后的的三等等品率率為x，則此時(shí)時(shí)1件產(chǎn)品品的平平均利利潤為為Eξ＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋x＋(－2)××0.01＝4.76－x(0≤≤x≤0.29)，依題意意，Eξ≥4.73，即即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03.所以三三等品品率最最多為為3%.方法感悟方法技技巧1．期望望與方方差的的常用用性質(zhì)質(zhì)．掌掌握下下述有有關(guān)性性質(zhì)，，會(huì)給給解題題帶來來方便便：(1)E(aξ＋b)＝aEξξ＋b；E(ξ＋η)＝Eξξ＋Eηη；D(aξξ＋b)＝a2Dξξ；(2)若ξ～B(n，p)，則則Eξξ＝np，Dξξ＝np(1－p)．2．基基本本方方法法(1)已知知隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布列列求求它它的的期期望望、、方方差差和和標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差，，可可直直接接按按定定義義(公式式)求解解；；(如例例1)(2)已知知隨隨機(jī)機(jī)變變量量ξ的期期望望、、方方差差，，求求ξ的線線性性函函數(shù)數(shù)η＝aξξ＋b的期期望望、、方方差差和和標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差，，可可直直接接用用ξ的期期望望、、方方差差的的性性質(zhì)質(zhì)求求解解；；(3)如能能分分析析所所給給隨隨機(jī)機(jī)變變量量是是服服從從常常用用的的分分布布(如兩兩點(diǎn)點(diǎn)分分布布、、二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布等等)，可可直直接接利利用用它它們們的的期期望望、、方方差差公公式式求求解解．．(如例3)失誤防范范1．在沒有有準(zhǔn)確判判斷概率率分布模模型之前前不能亂亂套公式式．2．對(duì)于應(yīng)應(yīng)用問題題，必須須對(duì)實(shí)際際問題進(jìn)進(jìn)行具體體分析，，一般要要將問題題中的隨隨機(jī)變量量設(shè)出來來，再進(jìn)進(jìn)行分析析，求出出隨機(jī)變變量的概概率分布布，然后后按定義義計(jì)算出出隨機(jī)變變量的期期望、方方差或標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差．．考情分析考向瞭望?把脈高考離散型隨隨機(jī)變量量的均值值和方差差是每年年必考的的知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)之一，，題型為為填空題題或解答答題，屬屬中檔題題，常與與排列組組合、概概率等知知識(shí)綜合合命題，，既考查查基本概概念，又又注重考考查基本本運(yùn)算能能力和邏邏輯推理理能力．．預(yù)測(cè)2012年高考中中，離散散型隨機(jī)機(jī)變量的的均值和和方差仍仍然是高高考熱點(diǎn)點(diǎn)，同時(shí)時(shí)應(yīng)特別別注意，，均值與與方差的的實(shí)際應(yīng)應(yīng)用．(本題滿分分12