人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章勾股定理

第十七章

勾股定理17.1勾股定理第1課時(shí)

勾股定理1課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)勾股定理勾股定理與圖形的面積相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？A、B、C的面積有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？ABC讓我們一起探索這個(gè)古老的定理吧！1知識(shí)點(diǎn)勾股定理知1－導(dǎo)我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖1稱為“弦圖”，最早是由三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時(shí)給出的.

弦股勾圖1知1－導(dǎo)ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2(1)觀察圖2-1

正方形A中含有

個(gè)

小方格，即A的面積

是

個(gè)單位面積.正方形B的面積是

個(gè)單位面積.正方形C的面積是

個(gè)單位面積.99918知1－導(dǎo)ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2分“割”成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形=18(單位面積)S正方形c知1－導(dǎo)ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2(2)在圖2-2中，正方形A，B，

C中各含有多少個(gè)小方格？

它們的面積各是多少？(3)你能發(fā)現(xiàn)圖2-1中三個(gè)正方

形A，B，C的面積之間有

什么關(guān)系嗎？SA+SB=SC

即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積.知1－導(dǎo)ABCacbSa+Sb=Sc觀察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想:兩直角邊a、b與斜邊c之間的關(guān)系？a2+b2=c2知1－講┏a2+b2=c2acb

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股弦

勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)知1－講定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2＋b2＝c2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，則a2＋b2＝c2.分清斜邊和直角邊．因?yàn)樵赗t△ABC中，a，b，c是三邊，所以可以用勾股定理解決問題．例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

對(duì)邊分別是a，b，c.(1)已知a＝b＝6，求c；

(2)已知c＝3，b＝2，求a；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.知1－講導(dǎo)引：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.

又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，

解得b＝知1－講解：總

結(jié)知1－講

利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)的方法：一般都要經(jīng)過“一分二代三化簡(jiǎn)”這“三步曲”，即一分：分清哪條邊是斜邊，哪些是直角邊；二代：將已知邊長(zhǎng)及兩邊之間的關(guān)系式代入a2＋b2＝c2（假設(shè)c是斜邊）；三化簡(jiǎn)．1

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊

長(zhǎng)為c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.知1－練（來自《教材》）(1)(2)(3)解：知1－練下列說法中正確的是(

)A．已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，則a2＋b2＝c2B．在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的

平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2C2知1－練3

若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，

斜邊長(zhǎng)為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是(

)A．b2＝c2－a2B．a(chǎn)2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C知1－練【中考·東營(yíng)】在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等于(

)A．10B．8C．6或10D．8或10C4知1－練【中考·陜西】如圖，將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C′落在邊AB上，連接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，則B′C的長(zhǎng)為(

)A．3B．6C．3D.A5知1－練【中考·漳州】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B，C)，若線段AD長(zhǎng)為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有(

)A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)C6知1－練如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，且AB＝4，BD＝5，則點(diǎn)D到BC的距離是(

)A．3

B．4

C．5

D．6A72知識(shí)點(diǎn)勾股定理與面積的關(guān)系知2－導(dǎo)

在一張紙上畫4個(gè)與圖所示的全等的直角三邊形，并把它們剪下來．如圖所示，用這四個(gè)直角三角形進(jìn)行拼擺，將得到一個(gè)以a+b為邊長(zhǎng)的大正方形和以直角形斜邊c為邊長(zhǎng)的小正方形．歸納知2－導(dǎo)

觀察圖形，容易得到大正方形的邊長(zhǎng)為

a+b，所以大正方形的面積是(a+b)2．又因?yàn)榇笳叫问怯?個(gè)全等的直角三角形和中間的正方形拼成的，所以大正方形的面積又可表示成

ab×4+c2．因此有(a+b)2=ab×4+c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c為邊的直角三角形滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．知2－講例2觀察如圖所示的圖形，回答問題：(1)如圖①，△DEF為直角三角形，正方形P的面積

為9，正方形Q的面積為15，則正方形M的面積

為________；(2)如圖②，分別以直角

三角形ABC的三邊長(zhǎng)為直徑向三角形外作三個(gè)半圓，

則這三個(gè)半圓形的面積之間的關(guān)系式是________；(用圖中字母表示)(3)如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為3和4，分別以直角三角形的三邊長(zhǎng)為直徑作半圓，請(qǐng)你

利用(2)中得出的結(jié)論求陰影部分的面積．知2－講(1)根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理可得DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面積＝9＋15＝24；(2)

另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；(3)陰影部分的面積＝兩個(gè)小半圓形的面積和＋直角三角

形的面積－大半圓形的面積，由(2)可知兩個(gè)小半圓形

的面積和＝大半圓形的面積，所以陰影部分的面積＝

直角三角形的面積．導(dǎo)引：知2－講(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)設(shè)兩個(gè)小半圓形的面積分別為S1，S2，大半圓

形的面積為S3，三角形的面積為S△，

則S陰影＝S1＋S2＋S△－S3

＝S△＝×3×4＝6.解：總

結(jié)知2－講

與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結(jié)論：兩直角邊上圖形面積的和等于斜邊上的圖形面積．本例考查了勾股定理及正方形的面積公式，半圓形面積的求法，解答此類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察所給圖形，面積與邊長(zhǎng)、直徑有平方關(guān)系，就很容易聯(lián)想到勾股定理．1

如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊

形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分

別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.知2－練（來自《教材》）SE＝(122＋162)＋(92＋122)

＝400＋225

＝625.解：2(中考·株洲)如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為

邊或直徑，分別向外作等邊三角形，半圓，等腰直

角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1＋S2＝S3的圖形個(gè)數(shù)是(

)A．1B．2C．3D．4知2－練D知2－練3如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面

積分別為3和4，則b的面積為(

)A．3B．4C．5D．7D知2－練如圖，已知△ABC為直角三角形，分別以直角邊AC，BC為直徑作半圓AmC和BnC，以AB為直徑作半圓ACB，記兩個(gè)月牙形陰影部分的面積之和為S1，△ABC的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系為(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2

C．S1＝S2

D．不能確定4C知2－練【中考·溫州】四個(gè)全等的直角三角形按如圖所示方式圍成正方形ABCD，過各較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH，已知AM為Rt△ABM較長(zhǎng)直角邊，AM＝2EF，則正方形ABCD的面積為(

)A．12S

B．10SC．9S

D．8S5C1.勾股定理的適用條件：直角三角形；它反映了直角

三角形三邊關(guān)系．2．由勾股定理的基本關(guān)系式：a2＋b2＝c2可得到一些

變形關(guān)系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2

＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．1知識(shí)小結(jié)

在△ABC中，邊AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長(zhǎng)是(

)A．42B．32C．42或32D．不能確定C2易錯(cuò)小結(jié)本題應(yīng)分△ABC為銳角三角形和△ABC為鈍角三角形兩種情況討論．解本題時(shí)常常容易忽略其中一種情況而出錯(cuò)．易錯(cuò)點(diǎn)：考慮問題不全面而漏解.第十七章

勾股定理17.1勾股定理第2課時(shí)

勾股定理的實(shí)際應(yīng)用1課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)求實(shí)際中長(zhǎng)（高）度的應(yīng)用求實(shí)際中的最短距離的應(yīng)用

如圖所示，一棱長(zhǎng)為3cm的正方體．把所有的面都分成3×3個(gè)小正方形，假若一只螞蟻每秒爬2cm，則它從下底面A點(diǎn)，沿表面爬行至右側(cè)的B點(diǎn)，最少要花幾秒?1知識(shí)點(diǎn)求實(shí)際中長(zhǎng)（高）度的應(yīng)用問題

如圖所示，從電線桿離地面8m處向地面拉一條鋼索，若這條鋼索在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部6m，那么需要多長(zhǎng)的鋼索?知1－導(dǎo)歸納知1－導(dǎo)

應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題，首先需要構(gòu)造直角三角形，把問題轉(zhuǎn)化為已知兩邊求直角三角形中第三邊的問題.然后確定好直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理a2＋b2=c2求出待求的線段長(zhǎng)度，即三角形的邊長(zhǎng).勾股定理在生活中有廣泛應(yīng)用，例如長(zhǎng)度，高度，距離，面積，體積等問題都可以利用勾股定理來解答.可以看出，木板橫著或豎著都不能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能否通過.門框?qū)蔷€AC的長(zhǎng)度是斜著能通過的最大長(zhǎng)度.求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板能否通過.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5.AC=≈2.24.因?yàn)锳C大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內(nèi)通過.例1一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m，

寬2.2m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門框內(nèi)通

過？為什么？知1－講（來自《教材》）分析：解：總

結(jié)知1－講

實(shí)際問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，也就是建立直角三角形模型，利用勾股定理來解答.解：可以看出，BD=OD-OB.

在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，

OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB==1.

在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4

-0.5)2=3.15.OD

=≈1.77,

BD=OD-OB≈l.77-1=0.77.

所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時(shí)，梯子底端并不是也外

移0.5m，而是外移約0.77m.例2如圖,一架2.6m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的

墻AO上，這時(shí)AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿

墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？知1－講（來自《教材》）總

結(jié)知1－講

生活中的一些實(shí)際問題常常通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型(直角三角形)來求解，勾股定理在生活中應(yīng)用面廣，建立的模型有時(shí)并不是已知兩邊求第三邊，而只是告訴了其中的一些關(guān)系，一般可設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)表示它們之間的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理列方程解決問題．1

如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成

直角的AC方向上一點(diǎn)，測(cè)得BC=60m，AC=20m.求A，B兩點(diǎn)間的距離(結(jié)果取整數(shù)).知1－練（來自《教材》）在Rt△BAC中，BC＝60m，AC＝20m，由勾股定理，得AB＝

＝≈57(m)．答：A，B兩點(diǎn)間的距離約為57m.解：2

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)

A(5，0)和B(0，4).求這兩點(diǎn)之間的距離.知1－練（來自《教材》）由點(diǎn)A(5，0)，B(0，4)可知OA＝5，OB＝4，又因?yàn)椤螧OA＝90°，所以根據(jù)勾股定理，得AB＝

＝解：3(中考·安順)如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一

棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹

頂飛到另一棵樹的樹頂，小鳥至少飛行(

)A．8米

B．10米

C．12米

D．14米知1－練B【中考·紹興】如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻腳的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為(

)A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米知1－練4C【中考·黃岡】在黃岡長(zhǎng)江大橋的東端一處空地上，有一塊矩形的標(biāo)語牌ABCD(如圖所示)，已知標(biāo)語牌的高AB＝5m，在地面的點(diǎn)E處，測(cè)得標(biāo)語牌點(diǎn)A的仰角(即∠AEB)為30°，在地面的點(diǎn)F處，測(cè)得標(biāo)語牌點(diǎn)A的仰角(即∠AFB)為75°，且點(diǎn)E，F(xiàn)，B，C在同一直線上，求點(diǎn)E與點(diǎn)F之間的距離．(計(jì)算結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)知1－練5知1－練如圖，作FH⊥AE于H.由題意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，∴AH＝HF，設(shè)AH＝HF＝xm，則EF＝2xm，EH＝

xm，在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5m，∴AE＝2AB＝10m，∴x＋

x＝10，∴x＝5－5，∴EF＝10－10≈7.3(m)，答：點(diǎn)E與點(diǎn)F之間的距離約為7.3m.解：2知識(shí)點(diǎn)求實(shí)際中的最短距離的應(yīng)用知2－導(dǎo)如圖1所示，有一個(gè)圓柱，它的高等于12cm，底面上圓的周長(zhǎng)等于18cm.在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？(1)自己做一個(gè)圓柱，嘗試從點(diǎn)A到點(diǎn)B沿圓柱側(cè)面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？問題圖1知2－導(dǎo)(2)如圖2所示，將圓柱側(cè)面剪開展成一個(gè)長(zhǎng)方形，從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路線是什么？你畫對(duì)了嗎？(3)螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，想吃到點(diǎn)B處的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？(4)若螞蟻先從點(diǎn)A直接爬到點(diǎn)C，然后再從點(diǎn)C沿地面直徑爬到點(diǎn)B，這樣爬的總路程與沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程比較，哪一條更短些？圖2歸納知2－導(dǎo)

最短路徑問題要轉(zhuǎn)化到平面圖形上，建立直角三角形模型，利用勾股定理解答.知2－講例3如圖所示的長(zhǎng)方體的高為4cm，底面是長(zhǎng)為5cm，寬

為3cm的長(zhǎng)方形．一只螞蟻從頂點(diǎn)A出

發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面爬到頂點(diǎn)B.求：(1)螞蟻經(jīng)過的最短路程；(2)螞蟻沿著棱爬行(不能重復(fù)爬行同一

條棱)的最長(zhǎng)路程．(1)螞蟻爬行的最短路線可放在平面內(nèi)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，

線段最短”去探求，而與頂點(diǎn)A，B相關(guān)的兩個(gè)面展開共

有三種方式，先根據(jù)勾股定理求出每一種方式下螞蟻

爬行的最短路程，從而可知螞蟻經(jīng)過的最短路程．(2)最長(zhǎng)路線應(yīng)該是依次經(jīng)過長(zhǎng)為5cm，4cm，5cm，4cm，3cm，4cm，5cm的棱．導(dǎo)引：知2－講(1)將長(zhǎng)方體與頂點(diǎn)A，B相關(guān)的兩個(gè)面展開，共有三

種方式，如圖所示．若螞蟻沿側(cè)面爬行，如圖①，

則爬行的最短路程為

若螞蟻沿側(cè)面和上面爬行，如圖②③，

解：

知2－講

則爬行的最短路程分別為

因?yàn)?/p>

＜4＜3，

所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是cm.(2)5＋4＋5＋4＋3＋4＋5＝30(cm)，所以螞蟻沿著棱

爬行的最長(zhǎng)路程是30cm.總

結(jié)知2－講

幾何體的表面上兩點(diǎn)間的最短路程問題的解決方法是將幾何體表面展開，即將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”去確定路線，最后利用勾股定理計(jì)算．知2－練如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC＝6cm，P是母線BC上一點(diǎn)，且PC＝

BC.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)P的最短距離是(

)A.cm

B．5cm

C．3cm

D．7cm1B知2－練【中考·營(yíng)口】如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC上，BD＝3，DC＝1，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PD的最小值為(

)A．4B．5C．6D．72B知2－練【中考·安徽】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝

S長(zhǎng)方形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA＋PB的最小值為(

)A.B.C．

D.3D1.勾股定理從邊的角度刻畫了直角三角形的重要特征，

應(yīng)用勾股定理可以求出直角三角形中的直角邊或者

斜邊的長(zhǎng)度，在實(shí)際應(yīng)用中要注意：(1)勾股定理的應(yīng)用是以直角三角形存在(或容易構(gòu)造

直角三角形)為基礎(chǔ)；(2)表示直角三角形邊長(zhǎng)的a,b,c不是固定不變的，c不一定是斜邊的長(zhǎng).1知識(shí)小結(jié)2.在直線上找一點(diǎn)，使其到直線同側(cè)的兩點(diǎn)的距離之

和最短的方法：先找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的

對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)的線段與該直線的

交點(diǎn)即為所找的點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)的線段長(zhǎng)就

是最短距離之和．以連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)的線段

為斜邊，構(gòu)造出一個(gè)兩條直角邊已知的直角三角形，

然后利用勾股定理即可求出最短距離之和．

如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C

的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A

爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是(

)A．5

B．25

C．10＋5

D．35B2易錯(cuò)小結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)：求最短路徑時(shí)對(duì)立體圖形展開情況考慮不全面

導(dǎo)致錯(cuò)解.第十七章

勾股定理17.1勾股定理第3課時(shí)

勾股定理的幾何應(yīng)用1課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)用勾股定理在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)勾股定在幾何問題中的應(yīng)用

某拍賣行貼出了如下的一個(gè)土地拍賣廣告：

如下圖，有面積為560英畝的土地拍賣，土地共分三個(gè)正方形，面積分別為74英畝、116英畝、370英畝．三個(gè)正方形恰好圍著一個(gè)池塘，如果有人能計(jì)算出池塘的準(zhǔn)確面積．則池塘不計(jì)入土地價(jià)錢白白奉送．英國數(shù)學(xué)家巴爾教授曾經(jīng)巧妙地解答了這個(gè)問題，你能解決嗎?1知識(shí)點(diǎn)用勾股定理在數(shù)軸上表示數(shù)

我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示

的點(diǎn)嗎？

如果能畫出長(zhǎng)為

的線段，就能在數(shù)軸上畫出表示

的點(diǎn).容易知道，長(zhǎng)為

的線段是兩條直角邊的長(zhǎng)都為1的直角三角形的斜邊.長(zhǎng)為

的線段能是直角邊的長(zhǎng)為正整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？知1－講知1－講

利用勾股定理，可以發(fā)現(xiàn)，直角邊的長(zhǎng)為正整數(shù)2,3的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為

.由此，可以依照如下方法在數(shù)軸上畫出表示

的點(diǎn).

如圖,在數(shù)軸上找出表示3的點(diǎn)A，則OA=3,過點(diǎn)A作直線l垂直于OA，在l上取點(diǎn)B，使AB=2,以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C即為表示

的點(diǎn).總

結(jié)知1－講

類似地，利用勾股定理，可以作出長(zhǎng)為

…的線段(圖1).按照同樣方法，可以在數(shù)軸上畫出表示

…的點(diǎn)(圖2).

圖1圖2利用

a＝

可以作出．如圖2，先作出與已知線段AB垂直，且與已知線段的端點(diǎn)A相交的直線l，在直線l上以A為端點(diǎn)截取長(zhǎng)為2a的線段AC，連接BC，則線段BC即為所求．如圖2，BC就是所求作的線段．例1如圖1，已知線段AB的長(zhǎng)為a，請(qǐng)作出長(zhǎng)為

a的

段．(保留作圖痕跡，不寫作法)知1－講圖1圖2導(dǎo)引：解：總

結(jié)知1－講

這類問題要作的線段一般是直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理由要作的線段確定兩直角邊的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．1在數(shù)軸上做出表示的點(diǎn).知1－練（來自《教材》）如圖所示．作法：(1)在數(shù)軸上找出表示4的點(diǎn)A，則OA＝4；(2)過A作直線l垂直于OA；(3)在直線l上取點(diǎn)B，使AB＝1；(4)以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與

數(shù)軸的交點(diǎn)C即為表示

的點(diǎn)．解：2如圖，點(diǎn)C表示的數(shù)是(

)A．1B.C．1.5D.知1－練D如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，3)，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)P的長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)介于(

)A．－4和－3之間B．3和4之間C．－5和－4之間D．4和5之間知1－練3A2知識(shí)點(diǎn)勾股定在幾何問題中的應(yīng)用知2－講例2如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC

＝10.求BC的長(zhǎng)．導(dǎo)引：題中沒有直角三角形，可以通

過作高構(gòu)建直角三角形；過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，圖中會(huì)出現(xiàn)

兩個(gè)直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，這兩

個(gè)直角三角形有一條公共邊AD，借助這條公共邊，

可建立起直角三角形之間的聯(lián)系．知2－講解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D.∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝

AC＝5.

在Rt△ACD中，AD

在Rt△ABD中，BD∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.總

結(jié)知2－講

利用勾股定理求非直角三角形中線段的長(zhǎng)的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合已知條件，采用推理或列方程的方法解決問題．1

如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)是6.求：(1)高AD的長(zhǎng)；(2)這個(gè)三角形的面積.知2－練（來自《教材》）(1)由題意可知，在Rt△ADB中，

AB＝6，BD＝

BC＝3，∠ADB＝90°.

由勾股定理，

得AD＝(2)S△ABC＝

BC·AD＝×6×3

＝解：如圖是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的“田字格”，只用沒有刻度的直尺在這個(gè)“田字格”中最多可以作出長(zhǎng)度為

的線段________條．知2－練28知2－練3如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則△ABC中，

長(zhǎng)為無理數(shù)的邊有(

)A．0條

B．1條

C．2條

D．3條C知2－練4如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為(

)A．4cmB．5cmC．6cmD．10cmB【2017·宜賓】如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上F處，則DE的長(zhǎng)是(

)A．3B.C．5D.知2－練5C如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC邊上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，則△ABC的周長(zhǎng)等于________cm.知1－練61．勾股定理與三角形三邊平方關(guān)系的綜合應(yīng)用：?jiǎn)我粦?yīng)用：先由三角形三邊平方關(guān)系得出直角三角形后，

再求這個(gè)直角三角形的角度和面積：綜合應(yīng)用：先用勾股定理求出三角形的邊長(zhǎng)，再由三角形

平方關(guān)系確定三角形的形狀，進(jìn)而解決其他問題；逆向應(yīng)用：如果一個(gè)三角形兩條較小邊長(zhǎng)的平方和不等于

最大邊長(zhǎng)的平方，那么這個(gè)三角形就不是直角三角形.1知識(shí)小結(jié)2．應(yīng)用勾股定理解題的方法：(1)添線應(yīng)用，即題中無直角三角形，可以通過作垂線，構(gòu)

造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求解；(2)借助方程應(yīng)用，即題中雖有直角三角形，但已知線段的

長(zhǎng)不完全是直角三角形的邊長(zhǎng)，可通過設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建

方程，解答計(jì)算問題；(3)建模應(yīng)用，即將實(shí)際問題建立直角三角形模型，通過勾

股定理解決實(shí)際問題．如圖，把長(zhǎng)方形紙條ABCD沿EF，GH同時(shí)折疊，B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為________．115.22易錯(cuò)小結(jié)在Rt△PFH中，F(xiàn)H＝

＝10，∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8＋10＋6＝24.設(shè)△PFH的邊FH上的高為h，則h＝

＝4.8，∴S長(zhǎng)方形ABCD＝24×4.8＝115.2.易錯(cuò)點(diǎn)：忽視題目中條件而求不出答案.解此題時(shí)要靈活運(yùn)用折疊前后對(duì)應(yīng)線段相等，從而求出BC的長(zhǎng)，然后再運(yùn)用面積法求出△PFH中FH邊上的高，本題容易因忽視條件而求不出答案．易錯(cuò)總結(jié)：第十七章

勾股定理17.2勾股定理的逆定理第1課時(shí)

勾股定理的逆定理1課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)逆命題、逆定理勾股定理的逆定理勾股數(shù)勾股定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2＋b2＝c21知識(shí)點(diǎn)逆命題、逆定理如果兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么這

兩個(gè)命題稱為互逆命題，如果把其中一個(gè)叫做

原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題．知1－導(dǎo)2．如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那

么它也是一個(gè)定理，稱其為原定理的逆定理，

這兩個(gè)定理稱為互逆定理．知1－講導(dǎo)引：根據(jù)題目要求，先判斷原命題的真假，再將原命題

的題設(shè)和結(jié)論互換，寫出原命題的逆命題，最后判

斷逆命題的真假．例1判斷下列命題的真假，寫出逆命題，并判斷逆命題

的真假：(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)如果a＞b，那么a2＞b2；(3)如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零；(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.知1－講解：(1)原命題是真命題．逆命題為：如果兩條直線只有

一個(gè)交點(diǎn)，那么它們相交．逆命題是真命題．(2)原命題是假命題．逆命題為：如果a2＞b2，那么a

＞b.逆命題是假命題．(3)原命題是真命題．逆命題為：如果兩個(gè)數(shù)的和為

零，那么它們互為相反數(shù)．逆命題是真命題．(4)原命題是假命題．逆命題為：如果a＞0，b＜0，

那么ab＜0.逆命題是真命題．知1－講總

結(jié)知1－講

寫出逆命題的關(guān)鍵是分清楚原命題的題設(shè)和結(jié)論，然后將它的題設(shè)和結(jié)論交換位置就得到這個(gè)命題的逆命題．判斷一個(gè)命題是真命題需要進(jìn)行邏輯推理，判斷一個(gè)命題是假命題只需要舉出一個(gè)反例就可以了．1

說出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？(1)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等；(3)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；(4)在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角

的平分線上.知1－練（來自《教材》）知1－練（來自《教材》）(1)逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行．逆命題

成立．(2)逆命題：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這

兩個(gè)實(shí)數(shù)相等．逆命題不成立．(3)逆命題：三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

逆命題不成立．(4)逆命題：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相

等．逆命題成立．解：已知下列命題：①若a>b，則ac>bc；②若a＝1，則

＝a；③內(nèi)錯(cuò)角相等．其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是(

)A．0B．1C．2D．3知1－練2A下列定理中，沒有逆定理的是(

)A．直角三角形的兩銳角互余B．若三角形三邊長(zhǎng)a，b，c(其中a＜c，b＜c)

滿足a2＋b2＝c2，則該三角形是直角三角形C．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等D．互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0知1－練3C2知識(shí)點(diǎn)勾股定理的逆定理知2－導(dǎo)勾股定理的逆定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形.a2+b2=c2互逆定理知2－講例2判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.分析：根據(jù)勾股定理及其逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直

角三角形，只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于最

大邊長(zhǎng)的平方.解：(1)因?yàn)?52+82=225+64=289,172=289，所以152+82=172

，

根據(jù)勾股定理的逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形.(2)因?yàn)?32+142=169+196=365，152=225，所以132+142≠

152，根據(jù)勾股定理，這個(gè)三角形不是直角三角形.（來自《教材》）總

結(jié)知2－講

判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形有兩種方法：(1)利用定義，即如果已知條件與角度有關(guān)，可借助三角

形的內(nèi)角和定理判斷；(2)利用直角三角形的判定條件，即若已知條件與邊有關(guān)，

一般通過計(jì)算得出三邊的數(shù)量關(guān)系(即a2＋b2＝c2)來判

斷，看是否符合較短兩邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方．知2－講例3如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”

號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固

定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16nmile，

“海天”號(hào)每小時(shí)航行12nmile.它們離開港口一個(gè)

半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile.如

果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方

向航行，能知道“海天”號(hào)

沿哪個(gè)方向航行嗎？知2－講分析：在圖中可以看到，由于“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向已知，

如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道

“海天”號(hào)的航向了.解：根據(jù)題意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，

QR=30.

因?yàn)?42+182=302，即PQ2+PR2=QR2，

所以∠QPR=90°.

由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知，∠1=45°.

因此∠2=45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行.（來自《教材》）總

結(jié)知2－講

用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)解決生活實(shí)際問題的關(guān)鍵是：建模思想，即將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；這里要特別注意弄清實(shí)際語言與數(shù)學(xué)語言間的關(guān)系；如本例中：“點(diǎn)與點(diǎn)之間的最短路線”就是“連接這兩點(diǎn)的線段”，“點(diǎn)與直線的最短距離”就是“點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)”．1

如果三條線段長(zhǎng)a，b，c滿足a2=c2–b2，這三

條線段組成的三角形是不是直角三角形？為

什么？知2－練（來自《教材》）這三條線段組成的三角形是直角三角形，因?yàn)槿龡l線段長(zhǎng)a，b，c滿足a2＝c2－b2，即a2＋b2＝c2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知，三角形是直角三角形．